ポアソン過程

強度が一定の値 $\lambda$ のポアソン過程では、時間 $t$ の間に出来事がちょうど $n$ 回起こる確率は、次の式です。平均の回数は $\lambda t$ です¹。

$$P(N_t = n) = \frac{e^{-\lambda t}(\lambda t)^n}{n!}, \qquad n = 0, 1, 2, \dots$$

強度 $\lambda = 1$（1 年に平均 1 回）のポアソン過程で、1 年間の回数を数える架空の例で考えます。0 回の確率は $e^{-1} = 0.3679$、1 回も 0.3679、2 回は 0.1839、3 回は 0.0613 です。平均が 1 回でも、1 年に 1 回も起こらない確率が約 37% あり、2 回以上起こる確率も約 26% あります。

ポアソン過程は 1 回ごとの大きさを持たず、数えるだけです。ジャンプの大きさも表したいときは、ポアソン過程が数える回数ごとに、別の確率変数の値を足すか掛けます。この形を複合ポアソン過程といいます¹。

注

1. 久田祥史「ジャンプ拡散過程を用いたオプション価格付けモデルについて」（日本銀行金融研究所「金融研究」2003 年 6 月）の補論 1（70〜71 ページ）の式 (A-3) と複合ポアソン過程の定義。平均と例の確率は式から計算しています。 ↩ ↩²