二次変動

ブラウン運動 $W$ では、区間 $[0, T]$ の分け方を細かくすると、増分の 2 乗の和が確率 1 で $T$ に近づきます。この関係を、微小な量の規則として $(dW)^2 = dt$ と書きます。

区間 $[0, 1]$ を 100 等分する架空の例で考えます。増分が $\pm 0.1$ のランダムウォークでは、増分の 2 乗が 0.01 で、100 個の和は 1 です。傾き 1 の直線 $g(t) = t$ では、増分が 0.01、2 乗が 0.0001 で、和は 0.01 です。分割を細かくすると、直線の和は 0 に近づきますが、ブラウン運動の和は 1 のままです。

この性質が、伊藤の補題に追加の項が出る理由です。