特性関数

確率変数 $X$ の特性関数は、$\varphi_X(u) = E[e^{iuX}]$ です。$e^{iu} = \cos u + i \sin u$ なので、実数の $u$ ごとに複素数の値をとります。MIT の講義資料は、どんな確率変数でも、どの $u$ でも定義できることを、特性関数の利点に挙げています。独立な $X$ と $Y$ の和の特性関数は、それぞれの特性関数の積になります¹。

たとえば、$X$ が $+1$ と $-1$ を等しい確率 0.5 でとるなら、$\varphi_X(u) = (e^{iu} + e^{-iu})/2 = \cos u$ です。

金融では、満期の対数株価の特性関数が、多くのモデルで簡単な式で書けます。一方、確率密度は、式で書けないか、数値計算に向かない形のことが多いと、Janek らの論文は説明します。そこで、特性関数からオプションの価格を数値積分で求める方法（フーリエ逆変換を使う Carr と Madan の方法）が使われます²。ヘストン・モデルでは、対数株価の特性関数が閉じた式で書け、ヨーロピアン・オプションの価格を速く求められます。式と数値の不安定さは、関連する記事のページにあります。

注

1. Scott Sheffield「Lecture 12: DeMoivre-Laplace and weak convergence」（Massachusetts Institute of Technology、18.175 Theory of Probability、2014 年春学期）の 14 ページ「Characteristic functions」。本文は変数の記号を $t$ から $u$ に置き換えています。 ↩

2. Agnieszka Janek ほか「FX smile in the Heston model」（arXiv）の 1.3.4 節（9 ページ）。Carr と Madan の方法が特性関数を使い、フーリエ逆変換で価格を求めること、対数株価の特性関数は多くのモデルで簡単な形で、確率密度は式で書けないか数値計算上複雑なことが多いこと、ヘストン・モデルでは $E\{\exp(i\varphi \log S_T)\}$ が式 (1.17) の $f_2$ で表されること。 ↩