ハル・ホワイト・モデル

短期金利 $r_t$ の動きを $dr_t = (\theta(t) - a r_t)\,dt + \sigma\,dW_t$ で決めます。$a$ は平均回帰の速さ、$\sigma$ はボラティリティ、$\theta(t)$ は時点ごとに決める関数です。1990 年にハルとホワイトが、バシチェック・モデルを拡張した形で示しました。

平らな 2% のカーブ（連続複利）に $a = 0.1$、$\sigma = 1\%$ のモデルを合わせる架空の例で考えます。$\theta(t)$ は 0.002 から 0.0025 に向けて上がり、10 年後の短期金利の標準偏差は 2.08% です。

短期金利は正規分布に従うため、マイナスの値もとります。1 つの要因で動き、スマイルは平らな形しか表せません。記事のページに、式と計算例があります。