バミューダン・スワップション

解約や行使の日が複数ある金利取引を、価格付けし、ヘッジする場面で出てくる商品です。

行使日が複数あるスワップション

バミューダン・スワップションは、あらかじめ決めた複数の日のどれかで、スワップションの権利を行使できるオプションです。行使すると、その日に金利スワップが始まり、スワップはあらかじめ決めた満期の日まで続きます¹。行使日が遅いほど、始まるスワップの期間は短くなります。満期に 1 回だけ行使できるヨーロピアンのスワップションはスワップションで扱います。

取引の呼び方は、満期とノンコール期間を並べます。「5NC1」は、満期が 5 年で、最初の 1 年は行使できず（ノンコール）、その後に行使できるという意味です。同じ形の「3NC1」は、最初の 1 年は行使できず、その後に行使すると始まるスワップが当初から 3 年後までのものを指します²。

G 社が、想定元本 1 億円、行使金利 2% の 5NC1 のペイヤーズ・スワップションを買う架空の例で考えます。ペイヤーズは、固定金利を払い、変動金利を受け取る側でスワップを始める権利です。行使できるのは、年 1 回の 1、2、3、4 年後の 4 つの日で、どの日に行使しても、スワップは 5 年後に終わります。

図 1 は、G 社が 1 年後に行使した場合に始まるスワップの受け払いです。ほかの行使日の期間は上の表のとおりです。

図の説明

G 社が、想定元本 1 億円、行使金利 2% のペイヤーズ・スワップションを、1 年後に行使した場合の図です。行使すると、1 年後に 4 年のスワップが始まり、G 社は 2、3、4、5 年後に、固定金利 2% の支払い（1 億円の 2% で毎回 200 万円）をして、変動金利を受け取ります。変動金利の額は決まっていないため、矢印の長さは目安です。

行使日の市場の固定金利（スワップレート）が行使金利 2% を上回れば、G 社は行使して、市場より低い固定金利で払えます。2 年後の市場の固定金利が 3% の架空の例で考えます。3 年のスワップを 2% で払える分、市場の水準より年 100 万円（1 億円の 1%）少ない支払いになります（割り引く前の額です）。2% 以下なら、その日は行使しても得になりません。1 年後に市場の固定金利が 1.5% なら、行使すると市場より年 50 万円多く払うことになるため、行使しません。G 社は買ったときにプレミアムを払っているため、最後まで行使しなければ、払ったプレミアムの分だけ損になります。プレミアムの額は、シミュレーターのモデルでは 1,642,137 円です。

固定金利を払う側が解約の権利を持つコーラブル・スワップは、通常のスワップとレシーバーズ・スワップションを組み合わせたものにあたり、解約できる日が複数のものがバミューダン型です³。

価値は最大のヨーロピアン以上、合計以下

バミューダン・スワップションの価値は、行使日ごとのヨーロピアンのスワップションのうち最大のもの以上で、すべての合計以下です⁴。ここでのヨーロピアンは、バミューダンと行使金利と満期が同じで、行使日が 1 つだけのスワップションです。この関係は、バミューダンの定義から導けます。

下限は、バミューダンの買い手が、どの行使日でも行使できることから決まります。最大のヨーロピアンと同じ行使日を選べば、そのヨーロピアンと同じ受け取りになるため、バミューダンはそれより低くなりません。上限は、1 回行使すると、受け取れるのは 1 つの行使日の分だけで、全部の日の分を受け取る場合の合計を超えないことから決まります。

深掘り下限と上限を数式で導く

行使日を $i = 1, \dots, n$ とし、行使日 $i$ に行使するときの受け取りの割引現在価値を $D_i X_i$ と書きます。$D_i$ は行使日 $i$ までの割引係数、$X_i$ は、その日に始まるスワップの価値が正のときはその価値、負のときは行使しないため 0 とします。$X_i \ge 0$ です。行使日 $i$ のヨーロピアンの価値は、リスク中立の期待値で $V_i = E[D_i X_i]$ と書けます。

バミューダンの買い手は、行使する日 $\tau$（$1, \dots, n$ のどれか。各時点で、そこまでに分かっている情報だけで決めます）を選びます。価値は、選び方についての最大値で、$V_B = \sup_\tau E[D_\tau X_\tau]$ です。

下限は、選び方を「いつも日 $i$ に行使する」（$\tau = i$）に決めたものが、選び方の 1 つにすぎないことから出ます。この選び方の価値は $V_i$ で、最大値はそれ以上のため、すべての $i$ で $V_B \ge V_i$、つまり $V_B \ge \max_i V_i$ です。

上限は、$X_i \ge 0$ から、どのシナリオでも $D_\tau X_\tau \le \sum_{i=1}^{n} D_i X_i$ となることから出ます。左辺は 1 つの項で、右辺は同じ項を含む非負の項の和だからです。両辺の期待値をとると、どの $\tau$ でも $E[D_\tau X_\tau] \le \sum_i V_i$ で、最大値もこれを超えないため、$V_B \le \sum_{i=1}^{n} V_i$ です。

したがって、$\max_i V_i \le V_B \le \sum_i V_i$ です。

次の表は、G 社の例を、このサイトのシミュレーターで計算した結果です。想定元本 1 億円あたりで、カーブは平らな年 2% です。短期金利のボラティリティ（σ）は 80bp で、実務で使うスワップションのボラティリティとは別のものです⁵。ヨーロピアンの価格は、「ツリー」（短期金利を二項ツリーで動かす数値計算）と「解析解」（数式で求めた値）の 2 通りで並べています。ツリーと解析解の差は、1 年後が最大で、相対差 0.26% です。「バミューダン」の列は、その行使日までのすべての日に行使できる場合の価格です。

4 つの日すべてで行使できるバミューダンは、1,642,137 円（想定元本の 164.21bp）です。最大のヨーロピアン（2 年後）の 1,275,881 円より 366,256 円高く、ヨーロピアン 4 つの合計 4,110,240 円より低くなります⁶。この 366,256 円は、2 年後以外の行使日も選べることの、このモデルでの値です。G 社が払うプレミアムが 1,642,137 円なら、行使日を 4 つもつことで、最大のヨーロピアンだけを買う場合より 366,256 円多く払う計算です。1 年後だけのバミューダンは、行使日が 1 つなので、ヨーロピアンと同じ 1,212,092 円です。

条件を変えると、差は次のように動きます。表の「差」は、バミューダンから最大のヨーロピアンを引いた値です。

σ を 60bp から 100bp に上げると、バミューダンは 1,230,538 円から 2,054,339 円に増え、差も 274,125 円から 458,747 円に増えます。ノンコールを 2 年にして行使日を 3 つに減らすと、差は 173,667 円に縮みます。

レシーバーズでも見ておきます。同じ行使金利 2% のレシーバーズ（固定金利を受け取る側）のバミューダンは 1,631,320 円で、ペイヤーズより 10,817 円低くなります。アット・ザ・マネーでは、ヨーロピアンのペイヤーズとレシーバーズは同じ価格ですが、バミューダンは最適な行使のタイミングが違うため、同じにはなりません。

このシミュレーターの計算の前提

シミュレーターの価格は、学習のために単純にした設定での値で、実際の市場の価格とは一致しません。主な前提は次のとおりです。

• モデルは Ho-Lee の短期金利の二項ツリーです。短期金利は 1 段ごとに、確率 1/2 で上か下に同じ幅だけ動きます。各段の水準は、ツリーの割引債の価格が、平らなカーブの割引係数に合うように決めます。
• σ は短期金利の年率の正規ボラティリティ（bp）で、市場で取引されるスワップションの正規ボラティリティそのものではありません。実務で「スワップションのボラティリティが 80bp」と言うときの 80bp とは別のものです。
• カーブは平らで、年 1 回複利の金利が全期間で同じです。フォワードレートもスワップレートも同じ値になり、金利の動きの要因は 1 つ、ボラティリティのスマイルはありません。
• 固定金利と変動金利の受け払いは年 1 回で、期間は 1 年とみなします。変動金利の側は額面で評価します。
• ツリーには、段数に応じた誤差があります。既定値の 4 つの行使日で、ヨーロピアンのツリーの価格を解析解と比べると、1 年あたり 48 段で相対差は最大 0.26% です。

評価の手法

バミューダン型のオプションには、解析的な価格の式がなく、金利のモデルを置いて数値で計算します⁷。通常のヨーロピアンのスワップションより、価格付けは難しくなります⁸。

手法は、金利の動きを表す変数の数で分かれます。変数が少ないときは、ツリーや偏微分方程式を数値で解く方法が従来から使われ、変数が多いと、これらは使いにくくなり、モンテカルロ法が候補になります⁷。

バミューダンにモンテカルロ法を使うときは、各行使日で、持ち続けた場合の価値を最小二乗の回帰で近似します。この方法で求めた行使の方針の価格は、真の価格以下になります⁷。この方法は計算負荷が重く、回帰式の置き方によって計算値に偏りが生じやすい方法です⁹。

状態変数が低次元のマルコフ過程になるマルコフ関数モデルを使うと、行使日ごとの条件付き期待値を後ろ向きに繰り返す計算で効率よく価格を求められます¹⁰。

短期金利モデルは、ごく短い期間の金利の動きを表し、その動きから割引債の価格を決めます。このサイトのシミュレーターは、短期金利を二項ツリーで動かす Ho-Lee のモデルで計算します。Ho-Lee のモデルは、1986 年に提案されました¹¹。バミューダンの価格は、各行使日で、行使して得る額と、持ち続ける価値の大きいほうを選びながら、満期から現在へ後ろ向きに計算します¹²。ツリーの一般の説明は二項モデルで扱います。

キャリブレーション

モデルのパラメータを、市場の価格に合わせて決めることを、キャリブレーションといいます¹³。バミューダンでは、行使日ごとに始まるスワップが同じ日に終わることを使い、同じ終了日のヨーロピアンのスワップション（コ・ターミナル・スワップション）に合わせる方法があります。

実務では、行使日（論文でいう満期）とスワップの期間の合計が、バミューダンの満期までの期間に等しいスワップションに、パラメータを合わせることがあります。トレーダーがバミューダンをそのスワップションでヘッジすることが多いためです¹⁴。ハル・ホワイト型のモデルでは、ボラティリティの曲線を同じ終了日のスワップションのインプライド・ボラティリティに合わせるのが通例とされます¹⁵。

G 社の例なら、1 年後から 4 年、2 年後から 3 年、3 年後から 2 年、4 年後から 1 年のスワップションが、合わせる先の 4 つです。価格を付けたいオプションのヘッジに使うスワップションを合わせる先にするのが自然で、比較的単純なバミューダンならスワップションを選ぶことが考えられます¹⁶。

このページのシミュレーターは、市場の価格に合わせず、σ を直接入力します。

評価とヘッジの論点

評価の結果は、モデルによって変わります。同じ市場データに合わせても、モデルが違えば、バミューダンの算出価格は必ずしも一致しません¹⁷。ある計算例では、2 つのモデルの差は、実務上許容できる程度に小さい結果でした¹⁷。

ヘッジは、組み直しの誤差を伴います。市場の動きに合わせて、ヘッジの組み入れを継続的に変える方法では、組み直しが一定の間隔でしかできないため、市場が急に動くと、大きな誤差が出ることがあります¹⁸。研究では、バミューダンを、割引債の組み合わせに対するオプションのポートフォリオで複製し、組み直しを有限の回数にとどめる半静的ヘッジが、アフィン・モデルの形の多因子モデルのもとで提案されています¹⁸。

注

1. Hoencamp ほか（2022 年 2 月）の 4 ページ、「2.2 The Bermudan swaption pricing problem」。 ↩

2. 日本銀行金融研究所 太田晴康「マルコフ関数モデルによる金利オプションの価格付けの実用化」（「金融研究」2010 年 10 月）の 162 ページ、「4 節（2）バミューダン・スワップション価格の算出」。バミューダン型の定義は 133 ページの脚注 3 です。 ↩

3. Intercontinental Exchange「SDX Interest Rates Help」の「Callable Swap」の冒頭の説明。ヨーロピアン型とバミューダン型の区別と、通常のスワップとレシーバーズ・スワップションの組み合わせであること。 ↩

4. バミューダンの定義から導きます。式は深掘りにあります。 ↩

5. 金額は、シミュレーターの計算結果（ツリーは 1 年あたり 48 段、解析解は Ho-Lee の割引債のオプションの式）を、円未満で四捨五入した値です。 ↩

6. 表の各行使日のヨーロピアン（ツリー）の価格を足すと 4,110,241 円ですが、表の値は円未満を四捨五入しているため 1 円ずれます。合計 4,110,240 円は、四捨五入する前の値の和です。 ↩

7. Hoencamp ほか（2022 年 2 月）の 1 ページ、「1. Introduction」。解析的な価格の式がないこと、従来の方法、モンテカルロ法、回帰による方針の価格が真の価格以下になること。 ↩ ↩² ↩³

8. Natsumi Ochiai、Masamitsu Ohnishi「Pricing of the Bermudan Swaption under the Generalized Ho-Lee Model」（京都大学数理解析研究所「数理解析研究所講究録」1802 号、2012 年）の 256 ページ、「1 Introduction」。 ↩

9. 太田（2010 年 10 月）の 132 ページ、「1. はじめに」。早期行使権付きのオプションでは、Longstaff and Schwartz [2001] の最小二乗モンテカルロ法のような工夫が要り、計算負荷がさらに重くなること、回帰式の設定次第で計算値に偏りが生じやすいこと。 ↩

10. 太田（2010 年 10 月）の 134 ページ（「2. マルコフ関数モデル」の（1）マルコフ関数モデルの概要）。状態変数が低次元のマルコフ過程であるため、早期行使権付きのバミューダン型オプションを含む金利オプションを、条件付期待値を後ろ向きに繰り返す計算で効率的に評価できること。 ↩

11. Ochiai、Ohnishi（2012 年）の 256 ページ、「1 Introduction」。Ho-Lee のモデルは、Ho と Lee（1986 年）が提案した、最初の裁定のない金利の期間構造モデルであること。論文が扱う Generalized Ho-Lee モデルは、その拡張で、二項ツリーの金利モデルであること。 ↩

12. Ochiai、Ohnishi（2012 年）の 256 ページ、「1 Introduction」。バミューダンの価格は、動的計画法で最適性の式を導き、時間を遡って解いて求めること。 ↩

13. 太田（2010 年 10 月）の 132 ページ、「1. はじめに」。モデルのパラメータを市場価格にフィッティングさせることを、キャリブレーションともいうこと。 ↩

14. Yamakami ほか（2022 年 12 月）の 5 ページ、「2.1 Two Factor Hull-White Model」の終わり。 ↩

15. K. E. Feldman「Berms without Calibration」（arXiv、2025 年 12 月 11 日版）の 1 ページ、Introduction。論文は著者個人の見解で、所属する銀行の見解ではありません。 ↩

16. 太田（2010 年 10 月）の 138 ページ、「2. マルコフ関数モデル」の（2）価格付けおよびフィッティングの対象とするオプション（図 2 の説明）。 ↩

17. 太田（2010 年 10 月）の 163 ページ、「4 節（2）バミューダン・スワップション価格の算出」のイ。マルコフ関数モデルと、LIBOR マーケット・モデルに最小二乗モンテカルロ法を使った場合の比較（表 8）。 ↩ ↩²

18. Hoencamp ほか（2022 年 2 月）の 2 ページ（「1. Introduction」の続き）と、要旨。継続的に組み直す動的ヘッジは、取引費用が高いと費用がかさむこと、急な市場の動きと離散的な組み直しで大きなヘッジ誤差が出ることがあること。半静的ヘッジは、割引債のバスケットに対するオプションのポートフォリオで複製し、有限の回数の組み直しですむ提案であること。 ↩ ↩²