二項モデル

オプションの価格付けを担当する人は、満期の前に行使できるアメリカン・オプションの価格を、二項モデルのツリーで求めます。トレーダーは、ツリーから求まるデルタ（原資産の価格が動いたときのオプションの価格の動き）を、ヘッジの量の目安にします。

1 期間の二項モデルでコールを複製する

二項モデルでは、原資産の価格が 1 期間の後に決まった 2 つの値のどちらかになると考えます。そのうえで、オプションの 2 通りの受け取りを、原資産と資金の貸し借りの組み合わせで作ります。同じ受け取りを作る組み合わせの費用が、オプションの価格になります¹。同じ受け取りを作る組み合わせ（複製）から価格が決まる考え方は無裁定と複製で扱います。

配当のない B 社の株式を原資産とする架空の例で考えます。原資産の今の価格は 100 で、1 期間後には 110 か 90 のどちらかになるとします（価格の単位は省きます）。この株式を行使価格 100 で買うコール・オプション（コール）の期末の受け取りは、原資産が 110 なら 10、90 なら 0 です。1 期間の無リスク金利（信用リスクなどのない金利）は 2% とし、1 期間後の金額を今の値に直す（割り引く）ときは 1.02 で割ります。

このコールの受け取りは、原資産 0.5 単位の買いと 44.12 の借入れで作れます。0.5 単位は、2 通りの受け取りの差（10 − 0 = 10）を原資産の価格の差（110 − 90 = 20）で割って求めます。原資産が 90 に下がると 0.5 単位の価値は 45 なので、期末に 45 を返す借入れにすれば、手元に残る額はコールと同じ 0 になります。今借りる額は 45 ÷ 1.02 = 44.12 です。

組み合わせを今作る費用は、原資産の代金 0.5 × 100 = 50 から借入れの 44.12 を引いた 5.88 です。期末の受け取りがどちらの場合もコールと同じなので、コールの価格も 5.88 になります。

コールの価格（プレミアム）が 6.00 なら、コールを売って組み合わせを 5.88 で作ると、今 0.12 が手元に残ります。期末には組み合わせの受け取りでコールの支払いをちょうどまかなえるため、この 0.12 は損をする場合のない利益です。逆に 5.50 なら、コールを買い、原資産 0.5 単位を空売りして 44.12 を貸せば、今 0.38 が残ります。このような裁定取引の機会をなくす価格が 5.88 です²。取引の費用と空売りの制約は、ここでは無視しています。

複製に使う原資産の単位数 0.5 は、原資産の価格が動いたときにコールの価格がどれだけ動くかを表すデルタでもあります。コールを売った人は、原資産を 0.5 単位持てば、原資産の値動きによる損益を打ち消せます³。

確率を使わずに価格が決まる

前の節の 5.88 の計算には、原資産が 110 になる確率も 90 になる確率も出てきません。複製の費用は、期末の 2 つの価格、行使価格、金利だけで決まるためです⁴。上がる見込みが高いと予想する人にとっても、低いと予想する人にとっても、同じ受け取りを作る費用は 5.88 です。

それでも、価格 5.88 は、次の確率 $p$ で重みを付けた受け取りを 1.02 で割った値として書き直せます。上昇の倍率を $u$（この例では 1.1）、下落の倍率を $d$（0.9）、1 期間の金利を $r$（0.02）とすると、$p$ は次の式で求まります⁵。

$$p = \frac{(1 + r) - d}{u - d}$$

この例では $p$ = (1.02 − 0.9) ÷ (1.1 − 0.9) = 0.6 で、コールの価格は (0.6 × 10 + 0.4 × 0) ÷ 1.02 = 5.88 と、複製の費用に一致します。$p$ は行使価格やオプションの受け取りによらず、原資産の 2 つの価格と金利だけで決まります⁴。同じ $p$ を使えば、同じ原資産のほかのオプションの価格も同じ手順で求められます。

$p$ はリスク中立確率と呼ばれますが、原資産が現実に上がる確率ではありません。なぜ期待値の形で価格が書けるのか、$p$ がどんな世界の確率なのかは、リスク中立評価で扱います。

$p$ が 0 と 1 の間に収まるのは、下落の倍率が 1.02 より小さく、上昇の倍率が 1.02 より大きいときです⁶。たとえば下落の倍率が 1.03 なら、お金を借りて原資産を買うと、下がった場合でも 103 − 102 = 1 が残り、損をする場合のない利益が出てしまいます。二項モデルは、このような裁定取引の機会がない 2 つの倍率を前提にしています。

深掘り1 期間の複製の一般の式

今の原資産の価格を $S$、期末の価格を $uS$ か $dS$、それぞれの場合のオプションの受け取りを $C_u$、$C_d$ とします。複製に使う原資産の単位数 $\Delta$ は次のとおりです⁵。

$$\Delta = \frac{C_u - C_d}{uS - dS}$$

資金の貸し借りの額 $B$（借入れならマイナス）は、期末に下がった場合の受け取りを合わせる条件から次のようになります。

$$B = \frac{u C_d - d C_u}{(1 + r)(u - d)}$$

オプションの価格 $C = \Delta S + B$ に 2 つの式を入れて整理すると、$p$ を使った次の形になります。

$$C = \frac{p C_u + (1 - p) C_d}{1 + r}$$

前の節の例の値（$S = 100$、$u = 1.1$、$d = 0.9$、$C_u = 10$、$C_d = 0$、$r = 0.02$）では、$\Delta = 0.5$、$B = -44.12$、$C = 5.88$ です。

多期間のツリーを満期からさかのぼる

原資産の価格の枝分かれを、段ごとの点と枝で描いた図を二項ツリーといいます。残存期間（満期までの期間）を何段にも分けたツリーでは、満期の受け取りから始めて、1 段ごとに 1 期間のモデルと同じ計算を繰り返し、今の価値までさかのぼります⁷。各点の価値は、その点から枝分かれした次の段の 2 つの点の価値に、$p$ と $1 - p$ で重みを付けて足し、1 段分の金利の倍率（この例では 1.02）で割って求めます。

前の節と同じく、1 段ごとに原資産の価格が 1.1 倍か 0.9 倍になり、1 段の金利が 2% の 2 段のツリーで、行使価格 100 のプット・オプション（プット）を評価します。ここでは満期にだけ行使できるヨーロピアン・オプションとします。上がってから下がっても、下がってから上がっても原資産の価格は 99 になり、枝が合流するため、2 段目の点は 3 つです。$p$ は前の節と同じ 0.6 です。

図 1 は、この計算を 2 段のツリーに描いたものです。各点の上の数字が原資産の価格、下の数字がプットの価値です。

図の説明

原資産の価格 100 から、1 段ごとに 1.1 倍か 0.9 倍になる 2 段のツリーです。1 段目は 110 と 90、2 段目は 121、99、81 で、上がってから下がっても下がってから上がっても 99 になるため、点は 3 つです。行使価格 100 のプットの価値は、満期の 2 段目で 0、1、19 です。1 段目は 110 の点で 0.39、90 の点で 8.04、時点 0 で 3.38 です。1 段の金利は 2%（割引の倍率 1.02）で、上がる確率は 0.6 です。満期の価値から 1 段ずつ割り引いて戻すと、時点 0 の価値が決まることが読み取れます。

時点 0 のプットの価格は 3.38 です。この計算は、各点で 1 期間の複製を組むことと同じ意味を持ちます。ただし、複製に使う原資産の単位数は点ごとに違います。時点 0 では、原資産 0.3824 単位の売りです。1 期間のときと同じく、次の段の 2 つの点の価値の差を原資産の価格の差で割って求めます（(0.3922 − 8.0392) ÷ (110 − 90)）。1 段目に 110 の点へ進めば 0.0455 単位の売りに、90 の点へ進めば 1 単位の売りに組み替えます。多期間のツリーでオプションを複製するには、原資産の値動きに合わせて組み合わせを組み替え続ける必要があります⁸。

アメリカン・プットの早期行使を判定する

満期の前にも行使できるアメリカン・オプションをツリーで評価するときは、満期の前の各点で、今すぐ行使したときの値と持ち続けたときの値を比べ、大きいほうをその点の価値にします⁹。前の節のプットを、アメリカンに替えて評価し直します。満期の 3 つの点の価値は同じです。

今すぐ行使したときの値は、その点の本質的価値（プットなら行使価格から原資産の価格を引いた額。マイナスなら 0）です。持ち続けたときの値は、前の節と同じく次の段の 2 つの点から求めます。1 段目で 90 の点では、行使すれば 100 − 90 = 10 を今受け取れます。持ち続けると次の段の受け取りは 1 か 19 で、$p$ で重みを付けて割り引いた値は 8.04 にとどまるため、この点では行使するほうが有利です。時点 0 の持ち続けたときの値は、90 の点の価値を 10 に置き換えて (0.6 × 0.3922 + 0.4 × 10) ÷ 1.02 = 4.15 になります。

アメリカン・プットの価格 4.15 は、同じ条件のヨーロピアン・プットの 3.38 より 0.77 高く、この差が満期の前に行使できることの価値です。

配当のない原資産のアメリカン・コールでは、満期の前に行使するほうが有利な点は現れず、価格はヨーロピアン・コールと同じになります⁹。同じ 2 段のツリーで行使価格 100 のコールを評価すると、1 段目で 110 の点の持ち続けたときの値は 0.6 × 21 ÷ 1.02 = 12.35 で、行使したときの値 10 を上回ります。そのため、アメリカンでもヨーロピアンでも価格は 7.27 です。

ツリーの倍率をボラティリティから決める

実際の評価では、上昇の倍率 $u$ と下落の倍率 $d$ を、原資産のボラティリティと段の間隔 $\Delta t$ から決めます。コックス・ロス・ルビンシュタイン（CRR）のツリーでは、下落の倍率を上昇の倍率の逆数（1 ÷ $u$）にし、ボラティリティが高いほど、また段の間隔が長いほど、上昇の倍率を大きくします¹⁰。名前は、1979 年にこの二項モデルの論文を発表したコックス、ロス、ルビンシュタインの 3 人から来ています¹¹。

原資産の価格 100、ボラティリティ 20%、残存期間 1 年を 3 段に分ける架空の例で考えます。段の間隔は 1/3 年で、上昇の倍率は 1.1224、下落の倍率は 1 ÷ 1.1224 = 0.8909 になります。金利は年 5%（連続複利）とし、1 段の間の金利の倍率は 1.0168 です。$p$ は (1.0168 − 0.8909) ÷ (1.1224 − 0.8909) = 0.5438 です¹²。1 段で価格が 1.1224 倍に上がると 112.24、0.8909 倍に下がると 89.09 になり、3 段目の点は 141.40、112.24、89.09、70.72 の 4 つです。

深掘りCRR のツリーの倍率と確率の式

ボラティリティを $\sigma$（年率）、段の間隔を $\Delta t$（年）とすると、CRR のツリーの上昇と下落の倍率は次のとおりです¹⁰。

$$u = e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}$$ $$d = \frac{1}{u}$$

金利を連続複利の $r$ とすると、1 段の間の金利の倍率は $e^{r \Delta t}$ で、$p$ は次の式になります。前の節の式の $1 + r$ を $e^{r \Delta t}$ に置き換えた形です。

$$p = \frac{e^{r \Delta t} - d}{u - d}$$

上の例では $\sigma = 0.2$、$\Delta t = 1/3$ で、$\sigma \sqrt{\Delta t} = 0.11547$、$u = e^{0.11547} = 1.1224$ です。1 段の間の金利の倍率は $e^{0.05/3} = 1.0168$ です。

段数を増やしたときの価格の近づき方

段数を増やしていくと、ヨーロピアン・オプションのツリーの価格は、ブラック・ショールズ・モデルの式で求めた価格に近づきます¹⁰。前の節の条件（原資産の価格 100、残存期間 1 年、金利 5%、ボラティリティ 20%）で、行使価格 100 のヨーロピアン・プットのツリーの価格を段数ごとに比べます。ブラック・ショールズの式の価格は 5.57（5.5735）です。

この例では、段数が偶数ならツリーの価格はブラック・ショールズの価格より低く、奇数なら高くなり、上下に振れながら近づきます。満期の点が行使価格に対してどこに並ぶかが、段数の偶数と奇数で変わるためです¹³。差の大きさは、段数を 10、20、50、100 と増やすと 0.197、0.099、0.040、0.020 と縮み、段数を 2 倍にすると差はおよそ半分になります¹⁴。

アメリカン・プットには、ヨーロピアンのブラック・ショールズの式のような価格の式がないため、ツリーの段数を増やして評価します¹⁵。同じ条件のアメリカン・プットは、3 段のツリーで 6.50、100 段のツリーで 6.08 です。100 段のツリーで比べると、ヨーロピアン・プットは 5.55 なので、満期の前に行使できることの価値は 0.53 です。

注

1. 重川一郎「数理ファイナンス入門」（京都大学、2009 年の愛媛大学理学部集中講義）の「ポートフォリオ」と「単期間のポートフォリオ」（5〜6 ページ）。資料は株価 10 が 20 か 7.5 になる例で、複製（資料の語では duplication）の費用 1 を価格として求めています。 ↩

2. 同じ資料の「単期間のポートフォリオ」（6〜7 ページ）。オプションの売り手と買い手のそれぞれについて、価格が複製の費用と違えば一方が損をする場合なしに利益を得られることを示しています。 ↩

3. Markus K. Brunnermeier "Lecture 10: Multi-period Model, Options – Black-Scholes-Merton model"（Princeton University の講義資料）のスライド 6 "Single-period replication"。 ↩

4. 重川一郎「数理ファイナンス入門」の「リスク中立測度」（8〜9 ページ）。現実の確率（資料の記号では p）は「価格付けに直接には関係しない」と書かれ、式 (1.2) の確率 q には「H には関係していない」（H はオプションの受け取り）との注記があります。資料の q が、このページの $p$ にあたります。 ↩ ↩²

5. Brunnermeier の講義資料のスライド 5〜7（"Single-period replication"、"Risk-neutral probabilities"）。資料の $R$ は 1 期間の金利の倍率（このページの $1 + r$）、$C_u$ と $C_d$ は上がったときと下がったときのオプションの受け取り。 ↩ ↩²

6. Brunnermeier の講義資料のスライド 3 "Assumptions" とスライド 8 "Risk-neutral probabilities"。資料は "No arbitrage: u > R > d" と書いています。 ↩

7. 重川一郎「数理ファイナンス入門」の「多期間 2 項モデル=CRR モデル」（10〜12 ページ）。 ↩

8. Brunnermeier の講義資料のスライド 12〜13 "Two-period binomial tree"。資料は "Synthetic option requires dynamic hedging" と書いています。 ↩

9. New York University Courant Institute の講義資料 "American Options"（Lecture 8）の 1.4 節（10〜11 ページ）。各点での値の比較と、配当のないアメリカン・コールがヨーロピアン・コールと等しいことの説明があります。 ↩ ↩²

10. Brunnermeier の講義資料のスライド 16〜17 "Towards Black-Scholes"。資料は $u = e^{\sigma \sqrt{T/n}}$、$d = 1/u$ とし、段の数 $n$ を大きくするとブラック・ショールズの式が得られるとしています。資料の $T/n$（$T$ は残存期間）が、このページの $\Delta t$ にあたります。 ↩ ↩² ↩³

11. ESMA Working Paper No. 1（2015 年）の 7 ページと 28 ページ（参考文献）。 ↩

12. 倍率と $p$ は小数第 5 位を四捨五入した値です。四捨五入する前の値で計算しても、$p$ は 0.5438 になります。 ↩

13. Paul Johnson "Lecture 5: Analysis of binomial option pricing"（The University of Manchester の講義資料 MATH60082）の 5.2 節 "Errors"（51〜52 ページ）。資料は、この振れを "odd-even effect" と呼んでいます。 ↩

14. 同じ資料の 5.1 節 "Convergence"（49〜50 ページ）。資料は、CRR などの二項モデルの価格はブラック・ショールズの価格に 1/n の速さで近づき、誤差を半分にするには段数を 2 倍にする必要があるとしています。 ↩

15. Paul Johnson の講義資料の 5.4 節 "Exotic options"（55 ページ）と "Summary"（57 ページ）。 ↩

16. Paul Johnson の講義資料の 5.5 節 "Computational Effort"（56 ページ）。 ↩ ↩²