担保と割引カーブ

債券や金利スワップの評価やリスク管理を担当する人は、担保の契約の条件に応じて、取引ごとに割引に使う金利を選びます。

担保の条件と割引の金利

担保付きのデリバティブを評価するときの割引の金利は、担保の条件で決まります。担保の契約のもとでは、取引の時価がプラスの側が相手から担保を受け取り、受け取った担保に付く金利（付利）を相手に払います。Fujii らの 2009 年の論文は、担保によく使われるのは米ドル、ユーロ、円のような先進国の通貨の現金で、その付利にはその通貨の翌日物金利を使うのが通例だと説明しています¹。

店頭デリバティブの担保の受け渡しは、一般に、デリバティブの基本契約に付ける担保の条項であるクレジット・サポート・アネックス（CSA）に基づいて行います²。CSA で決める主な条件と、割引への影響は次のとおりです。

図の説明

最初の質問は、時価の全額を現金の担保で（ほぼ）絶えず受け渡す取引かです。日次の受け渡しは、この前提に近い取引です。「いいえ」なら、付利の金利で割り引く考え方の前提の外で、閾値までの担保のない部分や、受け渡しの間隔が空く間の時価の変動は別に考えます。「はい」なら次の質問に進みます。2 つ目は、担保の通貨が 1 つで、受け払いと同じ通貨かです。「いいえ」なら、付利の金利に通貨の違いによる差が加わり、担保を差し入れる側がいつでも通貨を入れ替えられる契約では、割引の金利が最も高くなる通貨が選ばれます。「はい」なら、担保の付利の金利で割り引きます。前提の外の扱いは「担保のない取引の割引」、通貨の違いは「担保を別の通貨で受け渡す取引」と、その小節で扱います。

担保の付利で割り引く理由

時価の全額を現金の担保で絶えずやりとりする取引では、将来の受け払いを担保の付利の金利で割り引きます⁴。L 銀行が、将来に現金を受け取る取引を持っていて、時価がプラスだとします。L 銀行はすぐに時価と同じ額の現金の担保を受け取り、その担保に付利を払い、最後に全額を返します。これは、L 銀行が付利の金利で資金を借りて取引の持ち高をまかなっているのと同じです。反対に時価がマイナスなら、L 銀行が差し入れる担保は、同じ金利で相手に貸した資金にあたります⁵。どちらの場合も持ち高の資金が付利の金利でまかなわれるため、割引の金利も付利の金利になります。

式で書くと、満期 $T$ に $V(T)$ を受け取る取引の時点 $t$ の価値 $V(t)$ は次のとおりです⁴。

$$V(t) = E^{Q}_t\left[ e^{-\int_t^T c(s)\,ds}\, V(T) \right]$$

$c(s)$ は時点 $s$ の付利の金利（年率）、$E^{Q}_t$ は時点 $t$ の情報のもとでのリスク中立評価の期待値です。担保付きの取引では、無リスク金利ではなく付利の金利が割引に入ります。

受け取る額が決まっている取引では、$e^{-\int_t^T c(s)\,ds}$ の期待値がそのまま割引係数になります。付利が翌日物金利なら、この割引係数は、固定金利と翌日物金利の複利を交換する OIS の市場の固定金利から求まります⁶。割引係数のカーブの作り方はマルチカーブで扱います。

深掘り担保の口座から割引の式を導く

担保の口座の残高を $X(s)$、取引の価値を $V(s)$、無リスク金利を $r(s)$ とし、$y(s) = r(s) - c(s)$ とします。受け取った担保は無リスク金利で運用でき、付利の金利を相手に払うので、口座の残高は差の $y(s)$ で増えます。取引を $a(s)$ 単位持つと、口座の残高の変化は次の式になります⁷。

$$dX(s) = y(s)\,X(s)\,ds + a(s)\,dV(s)$$

最初の残高を取引の価値と同じ $X(t) = V(t)$ にし、持つ単位を $a(s) = e^{\int_t^s y(u)\,du}$ にすると、満期の残高は $X(T) = e^{\int_t^T y(s)\,ds}\, V(T)$ になります。この口座の今の価値を無リスク金利で割り引いた期待値として求めると、$r(s) - y(s) = c(s)$ なので、本文の式になります。

$$V(t) = E^{Q}_t\left[ e^{-\int_t^T r(s)\,ds}\, X(T) \right] = E^{Q}_t\left[ e^{-\int_t^T c(s)\,ds}\, V(T) \right]$$

担保のない取引の割引

担保のない取引は、担保の付利ではなく、調達した資金に応じた金利（ファンディング・レート）に合わせて評価します。担保付きの取引で担保に合わせた OIS の金利を使うのと同じく、資金をまかなう手段に合わせた割引の金利を使うのが理論上整合的だという考え方です。2018 年の日本銀行金融研究所の論文は、その時点では LIBOR で評価するのが市場の慣例のようだとしています⁸。その後、パネル銀行による円 LIBOR の公表は 2021 年 12 月末に終わりました⁹。

資金の費用は、割引の金利に入れる方法のほかに、評価の調整（FVA）として別に扱う方法があり、どちらも担保のない取引の資金の費用を時価に反映します。金融危機の後は、担保のない取引（一部だけ担保がある取引を含む）で、自社の調達金利をもとにした評価の調整が一般的になりました¹⁰。担保でカバーされない部分には、取引相手と自分の信用リスクの調整（CVA と DVA）も反映します¹¹。

2018 年ごろの日本では、事業会社どうしの取引や、金融機関が事業会社の取引を清算機関に取り次ぐクライアント・クリアリングで、担保の差し入れが必ずしも求められていませんでした。そのため、市場の慣行や規制が行き渡るまでは、事業会社を中心に、担保のない取引が一定の割合で残ると見込まれていました¹²。

担保を別の通貨で受け渡す取引

受け払いの通貨と担保の通貨が違う取引では、割引の金利に 2 つの通貨の差が加わります。受け払いの通貨を $i$、担保の通貨を $j$ とし、通貨 $k$ の無リスク金利と付利の金利の差を $y^{(k)} = r^{(k)} - c^{(k)}$ と書きます。2 つの通貨の差を $y^{(i,j)} = y^{(i)} - y^{(j)}$ とすると、取引の価値は次の式になります¹³。

$$V^{(i)}(t) = E^{Q_i}_t\left[ e^{-\int_t^T \left(c^{(i)}(s) + y^{(i,j)}(s)\right) ds}\, V^{(i)}(T) \right]$$

$Q_i$ は通貨 $i$ の金利で割り引くときのリスク中立確率、$V^{(i)}$ は通貨 $i$ で表した価値です。担保が受け払いと同じ通貨なら $y^{(i,i)} = 0$ で、担保の付利で割り引く式に戻ります。$y^{(i,j)}$ がマイナスなら割引の金利が下がり、通貨 $j$ の担保でカバーした受け払いの今の価値は、通貨 $i$ の担保のときより大きくなります。

無リスク金利そのものは市場で観察できないため、$y^{(i,j)}$ は 通貨スワップの市場の値から求めます。2010 年の論文は、通貨スワップの市場のスプレッド（通貨ベーシス）から、ユーロとドル、円とドルの $y$ の差を取り出しました。論文の期間では、通貨スワップのスプレッドの動きの大きな部分が、この差の動きから来ていました¹⁴。

2009 年ごろの市場では、複数の通貨の受け払いがある取引で担保にドルがよく使われ、ドルと円の通貨スワップにはドルの現金の担保を付けるのが通例でした¹⁵。2010 年の市場のデータを使った論文では、10 年後の円の受け払いの今の価値が、円ではなくドルの担保でカバーすると 3% ほど大きくなりました。ドルの担保は、差し入れる側から見て割高になりやすいということです¹⁶。

担保の通貨を選べる契約

CSA が担保に使える通貨を複数認め、担保を差し入れる側がいつでも通貨を入れ替えられるなら、差し入れる側は自分に有利な通貨を選びます¹⁷。担保を差し入れるのは時価がマイナスの側で、時価の絶対値を小さくしたいので、割引の金利が最も高くなる通貨を選びます。使える通貨の組を $C$ とすると、通貨 $i$ の割引係数は、付利の金利の割引係数に次の値を掛けたものになります¹⁷。

$$E^{Q_i}_t\left[ e^{-\int_t^T \max_{j \in C} y^{(i,j)}(s)\,ds} \right]$$

2010 年の論文は、この選ぶ権利を "cheapest-to-deliver"（CTD）のオプションと呼んでいます。ユーロとドルのどちらかを選べる契約の例（2010 年 3 月 16 日の市場のデータ）では、通貨を最適に選ぶと、$y$ の差の年率のボラティリティが 50bp でも、実効的な割引の金利が年 50bp ほど上がりました¹⁸。この権利を評価する調整は CTDVA と呼ばれます。CTDVA のように複雑なオプションの性質を持つ評価の調整は、ヘッジを難しくすることがあります。2017 年ごろには、このオプションの性質を避けるために、担保に使える資産を限る動きもみられました¹⁹。2010 年ごろも、事務の負担を減らすために担保の通貨を 1 つにする CSA に向かう傾向があった一方、自国の通貨とドルを担保に認める契約も珍しくなかったようです¹⁸。

計算例：5 年後に受け取る 100 億円

L 銀行が、E 社から 5 年後に 100 億円を受け取ることが決まっている取引を、担保の条件だけを変えて評価します。金利が期間を通じて一定で、連続複利で表す架空の例で考えます。円の翌日物金利を付利にしたときの割引の金利を 1.00%、円とドルの差 $y^{(\text{円},\text{ドル})}$ を −0.30%、担保のない取引で使う L 銀行の資金調達の金利を 1.50% とします。このとき、割引係数は $e^{-\text{割引の金利} \times 5}$ です。

ドルの担保の割引の金利は、1.00% − 0.30% で 0.70% です。今の価値は、円の担保より 1.44 億円大きく、担保がないときより 3.79 億円大きくなります²¹。担保がないときは、円の担保のときより 2.35 億円小さくなります。L 銀行が 100 億円を払う側なら、同じ条件で負債の今の価値が同じだけ変わります。担保のない取引と比べると、担保付きの取引では、時価がプラスの側は安い付利で資金をまかなえて得をし、時価がマイナスの側は差し入れた担保の運用が付利にとどまって損をします⁵。

円かドルを選べる契約では、担保を差し入れるのは時価がマイナスの E 社です。$y$ が −0.30% なら、E 社は割引の金利が高い円（1.00%）を選び、今の価値は円だけのときと同じ 95.12 億円です。$y$ が +0.20% に変わると、ドルの割引の金利は 1.00% + 0.20% で 1.20% になり、E 社はドルに入れ替えます。L 銀行から見た今の価値は 94.18 億円に下がり、0.94 億円の損になります。E 社から見ると、負債が同じ額だけ小さくなります。この計算は金利を一定としており、$y$ が変動する分のオプションの価値は入っていません。

清算機関の変動証拠金の付利

清算機関の日本証券クリアリング機構（JSCC）が清算する金利スワップでも、変動証拠金に利息を付けて受け渡します。JSCC の金利スワップの清算では、変動証拠金を受け渡す清算約定（担保型）と、変動証拠金の代わりに時価の変動を毎営業日に決済する損益差金を受け渡す清算約定（決済型）があります²²。

担保型では、JSCC と清算参加者が、変動証拠金に係る利息を、営業日ごとにその清算約定の通貨で受け渡します²³。利率にする基準金利は、円の清算約定では日本銀行が公表する無担保コールオーバーナイト物レートの加重平均値（TONA）、米ドルの清算約定では Federal Funds Rate です。円の利息は、前営業日に預けられている変動証拠金 × 基準金利 × 前営業日から算出日までの日数 ÷ 365 で求めます。決済型では、損益差金に係る調整金を、同じ式で求めます²⁴。円の変動証拠金の付利が翌日物金利なので、上の割引の考え方に当てはめると、この担保でカバーした円の受け払いの割引の金利は、円の翌日物金利になります。

前提と限界

付利の金利で割り引く式は、担保を絶えず受け渡し、担保が時価の全額を現金でカバーし、閾値が 0 だという単純化のもとで導いています。このとき、相手の破綻による損失は考えなくてよくなります。日次の担保の受け渡しが市場の最良の慣行として広まりつつあったため、2009 年の論文は、この近似は実際から大きく離れないとしています⁷。ただし、2017 年ごろの日本では、担保の受け渡し（マージンコール）は週 1 回が多かったものの、日次の契約が増えていました²⁷。受け渡しの間隔が空くと、その間の時価の変動は担保でカバーされません。

2017 年ごろには、銀行間の取引で閾値を 0 にすることが多くなっていました。証拠金規制も、閾値を 0 として時価に見合う変動証拠金の受け渡しを求めています³。

このページの式は現金の担保を前提にしています。債券の担保は価格が動き、売るのに時間がかかることもあるため、CSA では債券ごとに掛け目（ヘアカット）を決めます。金融危機で格付けの高い債券の価格も急に下がったことから、2017 年ごろには、価格の変動のない現金の担保が欧米を中心に一般的になりつつありました²⁸。当初証拠金の資金の費用は、変動証拠金の付利とは別に、評価の調整（MVA）で扱います¹⁰。

注

1. Masaaki Fujii, Yasufumi Shimada, Akihiko Takahashi "A Note on Construction of Multiple Swap Curves with and without Collateral"（2009 年 6 月初版、2010 年 1 月改訂版）の 3.1 節（9 ページ）。 ↩

2. 斎藤祐一「金融規制の複合的影響を考慮したXVA」（日本銀行金融研究所『金融研究』2017 年 4 月）の 3 章（1）の「CSA 契約」（117〜118 ページ）。論文は、イ．信用極度額、ロ．最低受渡担保額、ハ．評価頻度、ニ．適格担保の 4 つを CSA の主な条項として挙げています。表の条件のうち、付利の金利のほかの 4 つにあたります。 ↩

3. 斎藤祐一「金融規制の複合的影響を考慮したXVA」（日本銀行金融研究所『金融研究』2017 年 4 月）の 2 章（113 ページ）と 3 章（1）の「イ. 信用極度額」（117 ページ）。 ↩ ↩²

4. Fujii, Shimada, Takahashi（2009 年 6 月初版、2010 年 1 月改訂版）の 3.1 節、式 (3.5)（9 ページ）と説明（10 ページ）。論文の $h(t)$ が、このページの $V(t)$ にあたります。 ↩ ↩²

5. 同じ資料の 3.1 節（10〜11 ページ）。論文は、担保のない取引（LIBOR で資金をまかなう取引）と比べて、時価がプラスなら得をし、マイナスなら損をするとしています。 ↩ ↩²

6. Fujii, Shimada, Takahashi（2009 年 6 月初版、2010 年 1 月改訂版）の 3.2 節、式 (3.14)〜(3.16)（11 ページ）。論文は、OIS 自体も担保付きで、翌日物金利が付利だとして、付利の割引係数 $D_{t,T}$ を OIS の固定金利から求めています。 ↩

7. 同じ資料の 3.1 節（9 ページ）。導出は式 (3.1)〜(3.5)。論文は担保の口座を $V(t)$、取引の価値を $h(t)$ と書いており、このページの $X(t)$、$V(t)$ にあたります。 ↩ ↩²

8. 川上高志「ヘッジ取引におけるデリバティブ信用評価調整の影響についての考察」（日本銀行金融研究所『金融研究』2018 年 4 月）の 2 章（1）（123 ページ）。 ↩

9. 日本銀行・金融庁「円LIBOR 移行対応の振り返りと今後の取り組み」（日銀レビュー 2022-J-8、2022 年 5 月）の要旨（1 ページ）。 ↩

10. 斎藤祐一「金融規制の複合的影響を考慮したXVA」（日本銀行金融研究所『金融研究』2017 年 4 月）の 1 章（110 ページ）。 ↩ ↩²

11. 川上高志「ヘッジ取引におけるデリバティブ信用評価調整の影響についての考察」（日本銀行金融研究所『金融研究』2018 年 4 月）の 2 章（1）と図 1（124 ページ）。 ↩

12. 同じ資料の脚注 15（130 ページ）。 ↩

13. Masaaki Fujii, Akihiko Takahashi "Choice of Collateral Currency"（2010 年 4 月初版、2010 年 12 月改訂版）の 2 章の Theorem 1 の式 (2.4)（3 ページ）と式 (2.6)（4 ページ）。式 (2.4) の $r^{(i)} - y^{(j)}$ を $c^{(i)} + y^{(i,j)}$ と書き換えています。論文の $h^{(i)}$ が、このページの $V^{(i)}$ にあたります。 ↩

14. 同じ資料の 4.2 節（8 ページ）と 5 章（11 ページ）。論文は、無リスク金利は観察できず、付利の金利 $c$ と $y$ の中に入っているとしています。 ↩

15. Masaaki Fujii, Yasufumi Shimada, Akihiko Takahashi "A Note on Construction of Multiple Swap Curves with and without Collateral"（2009 年 6 月初版、2010 年 1 月改訂版）の 3.4 節（12〜13 ページ）。 ↩

16. Masaaki Fujii, Akihiko Takahashi "Choice of Collateral Currency"（2010 年 4 月初版、2010 年 12 月改訂版）の 5 章（9〜10 ページ）と Figure 6。 ↩

17. 同じ資料の 1 章（2 ページ）と 5 章の式 (5.3)（10 ページ）。 ↩ ↩²

18. 同じ資料の 5 章（10 ページ）と Figure 9。論文はハル・ホワイト・モデルで $y$ の差の動きを表しています。 ↩ ↩²

19. 斎藤祐一「金融規制の複合的影響を考慮したXVA」（日本銀行金融研究所『金融研究』2017 年 4 月）の 2 章（113 ページ）と脚注 4。 ↩

20. Masaaki Fujii, Akihiko Takahashi "Choice of Collateral Currency"（2010 年 4 月初版、2010 年 12 月改訂版）の 5 章（10 ページ）と式 (5.3)。 ↩

21. 金額は、100 億円に丸める前の割引係数を掛けてから、億円の小数第 2 位に四捨五入しています。差は、表に示した丸めた値から求めています。 ↩

22. 日本証券クリアリング機構「金利スワップ取引清算業務に関する業務方法書」の第 2 条の（35）の 2、（36）の 2、（36）の 3（8 ページ）。2026 年 9 月 26 日に確かめた内容です。 ↩

23. 同じ資料の第 83 条と第 83 条の 2（68 ページ）。2026 年 9 月 26 日に確かめた内容です。 ↩

24. 日本証券クリアリング機構「金利スワップ取引清算業務に関する業務方法書の取扱い」の第 42 条（40〜41 ページ）。2026 年 9 月 26 日に確かめた内容です。 ↩ ↩²

25. 日本証券クリアリング機構「金利スワップ取引清算業務に関する業務方法書」の第 83 条と第 83 条の 2（68 ページ）。払う清算参加者は算出日の翌営業日の 11 時まで、JSCC から受け取る清算参加者へは翌営業日の 13 時 30 分以降で、外貨建ての清算約定は時刻と営業日の数え方が違います。2026 年 9 月 26 日に確かめた内容です。 ↩

26. 日本証券クリアリング機構「金利スワップ担保・決済」の「当初証拠金、日中証拠金及び清算基金の差入れ及び返戻並びに変動証拠金の決済方法」。変動証拠金の利息は、変動証拠金やクーポン、アップフロント・フィーと合わせて「変動証拠金等」として授受され、円の分は日銀ネットで受け渡されます。2026 年 9 月 26 日に確かめた内容です。 ↩

27. 斎藤祐一「金融規制の複合的影響を考慮したXVA」（日本銀行金融研究所『金融研究』2017 年 4 月）の 3 章（1）の「ハ. 評価頻度」（117 ページ）。 ↩

28. 斎藤祐一「金融規制の複合的影響を考慮したXVA」（日本銀行金融研究所『金融研究』2017 年 4 月）の 3 章（1）の「ニ. 適格担保」（118 ページ）。 ↩