理解度チェック: 評価モデル

下書きです。公開前の確認のために表示しています。

「評価モデル」の章の内容を確かめる 6 問の問題です。選択肢を選んで「回答する」を押すと、正解と解説が出ます。「正解と解説」を開いて、先に答えを見ることもできます。

1. 問 1

   架空の例として、ハル・ホワイト・モデルで、短期金利のボラティリティ $\sigma$ を 1%、平均回帰の速さ $a$ を年あたり 0.2 とします。このモデルでの、5 年後の短期金利の標準偏差はいくつですか。

   1. A.約 2.24%
   2. B.約 1.78%
   3. C.約 1.47%
   正解と解説

   正解: C

   標準偏差は約 1.47% です。$t$ 年後の短期金利の標準偏差は $\sigma\sqrt{(1 - e^{-2at})/(2a)}$ で、ここでは $2at = 2 \times 0.2 \times 5 = 2$ です。$e^{-2} = 0.1353$ なので、$(1 - 0.1353)/(2 \times 0.2) = 2.1617$ で、平方根は 1.470 です。これに $\sigma = 1\%$ を掛けると 1.47% になります。

   2.24% は、平均回帰がない（$a$ が 0 の極限）場合の $\sigma\sqrt{t} = 1\% \times \sqrt{5}$ です。短期金利が水準へ引き戻される分だけ、実際のばらつきはこれより小さくなります。1.78% は、式の指数の 2 を落とした $\sigma\sqrt{(1 - e^{-at})/a}$ の値で、$(1 - 0.3679)/0.2 = 3.1606$ の平方根 1.778 に $\sigma$ を掛けた値です。

   詳しくは: ハル・ホワイト・モデル

2. 問 2

   架空の例として、LIBOR マーケット・モデル（LMM）で、あるフォワードレートの変化率のボラティリティが時間だけの関数で、最初の 1 年は 10%、次の 1 年は 30% です。このフォワードレートの値は 2 年後に決まります。このフォワードレートのキャップレットをブラック・モデルの式で表すとき、使うボラティリティはいくつですか。

   1. A.約 22.36%
   2. B.約 20.00%
   3. C.約 5.00%
   正解と解説

   正解: A

   使うボラティリティは約 22.36% です。ブラックの式のボラティリティは、LMM のボラティリティの 2 乗を、2 年の間で時間平均して、平方根をとった値です。2 乗の値は最初の 1 年が $0.10^2 = 0.01$、次の 1 年が $0.30^2 = 0.09$ なので、時間平均は $(0.01 \times 1 + 0.09 \times 1)/2 = 0.05$ です。平方根をとると 0.2236 です。

   20.00% は、10% と 30% を単純に平均した値です。2 乗してから平均するため、大きい方のボラティリティの影響が強く出て、20% を上回ります。5.00% は、2 乗の時間平均 0.05 の平方根をとらず、そのまま % にした値です。ボラティリティは 2 乗の値の平均の平方根なので、最後に平方根をとる必要があります。

   詳しくは: LIBOR マーケット・モデル（LMM）

3. 問 3

   架空の例として、SABR モデルの 4 つのパラメータ $\alpha$、$\beta$、$\rho$、$\nu$ のうち、ボラティリティ自身の変動の大きさを表すパラメータ $\nu$ だけを大きくし、ほかは変えません。ある満期のオプションのボラティリティ・スマイルは、どう変わりますか。

   1. A.曲線全体が上に動き、曲がりは変わらない
   2. B.曲がりが強くなり、中央はほとんど動かない
   3. C.曲がりが弱くなり、中央はほとんど動かない
   正解と解説

   正解: B

   $\nu$ を大きくすると、スマイルの曲がりが強くなり、両端のインプライド・ボラティリティが上がります。中央（フォワードの近く）の値は、ほとんど動きません。

   曲がりが弱くなるのは $\nu$ を小さくしたときです。曲線全体が上に動くのは $\alpha$ を上げたときです。傾きが急になるのは、$\rho$ を負の方向に大きくしたときや、$\beta$ を小さくしたときです。

   詳しくは: SABR モデル

4. 問 4

   ローカル・ボラティリティ・モデルで、局所ボラティリティが原資産の価格だけの関数のとき、原資産の価格が上がると、モデルが予測するスマイルの動きはどれですか。

   1. A.スマイルが行使価格の高いほうへ動く
   2. B.スマイルが動かず、行使価格ごとの値が残る
   3. C.スマイルが行使価格の低いほうへ動く
   正解と解説

   正解: C

   モデルが予測するスマイルは、行使価格の低いほうへ動きます。フォワードが $f_0$ から $f$ に動いたとき、動いた後のスマイルは、展開の最初の項だけで近似すると、動く前のスマイル $\sigma_0$ を使って $\sigma_0(K + f - f_0)$ と書けます。$K$ は行使価格です。原資産の価格が上がると、同じ行使価格 $K$ の値は、動く前のもっと高い行使価格の位置の値になるので、スマイルは行使価格の低いほうへずれて見えます。

   市場では、原資産の価格とスマイルは同じ向きに動くため、このモデルの予測は市場と逆向きです。「スマイルが動かず、行使価格ごとの値が残る」は、スマイルが行使価格に結びついたまま動かないという見方（sticky strike）です。このモデルでは、局所ボラティリティが原資産の価格だけで決まるため、価格が動くとスマイルの位置もずれます。動かないとする見方は、このモデルの予測と食い違います。

   詳しくは: ローカル・ボラティリティ・モデル

5. 問 5

   架空の例として、ヘストン・モデルで、分散の平均回帰の速さ $\kappa$ を 3、長期の分散 $\bar v$ を 0.04、分散のボラティリティ $\xi$ を 0.4 とします。このとき、分散 $v_t$ の動きとして正しいものはどれですか。

   1. A.フェラー条件を満たし、0 に届かず正にとどまる
   2. B.フェラー条件を満たし、0 に何度も触れる
   3. C.フェラー条件を満たさず、0 に届かず正にとどまる
   4. D.フェラー条件を満たさず、0 に何度も触れる
   正解と解説

   正解: A

   フェラー条件を満たし、分散は 0 に届かず、厳密に正の値にとどまります。条件は $2\kappa\bar v \ge \xi^2$ です。左辺は $2 \times 3 \times 0.04 = 0.24$、右辺は $0.4^2 = 0.16$ なので、条件を満たします。

   条件を満たすときは、分散は 0 に届きません。0 に何度も触れるのは、条件を満たさないときの動きです。左辺の 2 を掛け忘れ、$\kappa\bar v = 0.12$ を $\xi^2 = 0.16$ と比べると、条件を満たさないと誤って読みます。なお、条件を満たさないときも、分散は 0 に触れては戻るだけで、0 にとどまることはありません。

   詳しくは: ヘストン・モデル

6. 問 6

   架空の例として、ワンファクターのガウシアン・コピュラで、損失 0 から 3% までのエクイティ・トランシェの期待損失が 80%、損失 0 から 7% までが 50% でした。それぞれの上端のベース相関で評価した値で、期待損失は各トランシェの想定元本に対する割合です。このとき、3〜7% のトランシェの期待損失はいくつですか。

   1. A.15.7%
   2. B.27.5%
   3. C.30%
   正解と解説

   正解: B

   期待損失は 27.5% です。トランシェ $A$〜$B$ の期待損失は、損失 0 から $B$ までと、0 から $A$ までの期待損失の差で表せます。$E[L_{0,B}]$ は、0〜$B$ のトランシェの期待損失（想定元本に対する割合）です。$A$、$B$ を % の数字（3 と 7）で書くと、式は $(B \times E[L_{0,B}] - A \times E[L_{0,A}])/(B - A)$ です。分子は $7 \times 0.5 - 3 \times 0.8 = 1.1$ です。分母は $7 - 3 = 4$ です。割ると $1.1/4 = 0.275$（27.5%）になります。

   15.7% は、分母を $B - A = 4$ ではなく $B = 7$ で割った $1.1/7$ の値です。3〜7% のトランシェの大きさは 4% 分なので、その大きさで割ります。30% は、80% と 50% の差をそのまま使った値で、範囲の広さの違いを考えていません。

   詳しくは: クレジットのコピュラ