ボラティリティ・スマイルとサーフェス

トレーディングデスクやリスク管理の担当者は、建値のない行使価格のオプションを評価し、デルタなどのリスクを計算するときに、ボラティリティ・サーフェスを使います。

行使価格と満期で決まるボラティリティの面

ブラック・ショールズ・モデルの前提どおりなら、同じ原資産のオプションのインプライド・ボラティリティは、行使価格と満期によらず同じ値になります。実際の市場では行使価格や満期で値が違い、その形も時間とともに変わります¹。前提と市場の違いはブラック・ショールズ・モデルで扱います。

行使価格 $K$、満期 $T$ のコールの市場価格を $C_{\text{mkt}}(K, T)$ とすると、ボラティリティ・サーフェス $\sigma(K, T)$ は次の式を満たす値として決まります¹。

$$C_{\text{mkt}}(K, T) = C_{\text{BS}}(S, K, T, r, \sigma(K, T))$$

$C_{\text{BS}}$ はブラック・ショールズの式のコールの価格、$S$ は原資産の価格、$r$ は金利です。ヨーロピアン・オプションなら、プット・コール・パリティにより、同じ行使価格と満期のプットも同じ値になるため、コールとプットで 1 つの面になります²。満期を 1 つに決めた断面がボラティリティ・スマイルで、行使価格を 1 つに決めた断面が満期による違い（期間構造）です。

株価指数のサーフェス（価格 100、金利 1%）の架空の例で考えます。以降の計算例は、次の表の値を使います。

どの満期でも行使価格が低いほど値が高く、行使価格 80 と 120 の差は、3 か月で 16.0%、1 年で 13.0%、2 年で 9.0% です。満期が短いほど傾きが急で、2 年では平らに近づきます。

図の説明

上の表の 1 年の行を、横軸を行使価格、縦軸をインプライド・ボラティリティ（%）として折れ線で結んだ図です。行使価格 80 の 28% から 120 の 15% まで右下がりです。縦の破線は原資産の価格 100 です。ブラック・ショールズの前提どおりなら、どの行使価格でも 20% の水平な線になります。2 本の線は行使価格 100 で交わり、それより低い行使価格では前提より高く、高い行使価格では低くなります。この右下がりの形をスキューといいます（次の節で扱います）。

資産ごとのスマイルの形と満期による違い

株式と株価指数のオプションでは、満期ごとに見ると、行使価格が高いほどインプライド・ボラティリティが低くなる右下がりの形（スキュー）が一般的です。この傾きは満期が短いほど急です³。1987 年のウォール街の株価の暴落より前には、市場にスキューはほとんどありませんでした⁴。満期が長くなるとスキューは平らになり、傾きがおよそ満期の平方根に反比例して小さくなるという経験則があります。ただし、無裁定の条件から、この経験則は満期の長いところまでは成り立ちません⁵。

通貨オプションは、行使価格ではなくデルタごとに建値します。満期ごとに、ATM のボラティリティと、25 デルタなどのリスクリバーサルとバタフライ（資料によってはストラングル）でスマイルを示し、リスクリバーサルが傾きを、バタフライが曲がり方を表します⁶。ここでのバタフライは建値に使うボラティリティの値で、「無裁定の制約」の節のバタフライ（オプションの組み合わせ）とは別のものです。リスクリバーサルの符号によって、コールの側とプットの側のどちらが高いかが変わります。

金利のオプションにもスマイルがあります。2021 年 9 月の円金利のスワップションの例では、インプライド・ボラティリティは ATM の近くで低く、アウト・オブ・ザ・マネーに行くほど高くなる形でした⁷。スワップションには、行使価格と満期に加えて、原資産の金利スワップの期間（年限）の軸があります。3 つの軸で並べた値をボラティリティ・キューブといいます⁷。

行使価格を 1 つに決めて満期の方向に見ると、インプライド・ボラティリティは満期とともに上がることも下がることもあります。2013 年のコロンビア大学の講義資料によると、満期が長くなると一定の値に近づき、短い満期では、満期が短いほど大幅に高い右下がりの形（逆の形）になることがよくあります。市場が不安定なときに特にそうなります⁸。

ボラティリティが時間だけで決まり、原資産の価格によらないときは、満期 $T$ のインプライド・ボラティリティ $\sigma(T)$ の 2 乗に $T$ を掛けた値（トータル・バリアンス）が、満期までのボラティリティ $\sigma(u)$ の 2 乗の積み上げになります⁹。

$$\sigma(T)^2 \, T = \int_0^T \sigma(u)^2 \, du$$

満期の長いオプションのインプライド・ボラティリティには、短い満期までの分が含まれます。2 つの満期の間のボラティリティは、2 つのトータル・バリアンスの差から求まります。表の ATM（1 年 20.0%、2 年 20.5%）なら、1 年後から 2 年後までのボラティリティは $\sqrt{0.205^2 \times 2 - 0.20^2 \times 1} = \sqrt{0.04405} \approx 20.99\%$ です¹⁰。

市場の点から面を作る

市場で価格が見えるのは、一部の行使価格のオプションだけです。そのため、面を描くには点の間を補間します¹¹。市場の点には、売りと買いの気配の差（ビッド・アスク・スプレッド）が広いものや、気配の更新が遅れているものがあります。こうした流動性の低いオプションは、面を作るときに除くことがあります¹²。

補間の軸は、市場の建値の形に合わせます。通貨オプションは建値がデルタごとなので、まず満期ごとに、ATM と 10 デルタ、25 デルタの点のボラティリティと行使価格を求めます。ある実装の説明では、その後、行使価格について直線で補間し、いちばん外の行使価格より外は端の値のまま平らに延ばしています¹³。

スワップションでは、点を直線でつなぐ方法も選べますが、確率ボラティリティのモデルの 1 つである SABR モデル（後の「スマイルを扱うモデル」で扱います）でスマイルを補間する方法が、業界の汎用の道具として広く使われています。モデルを使うと、市場の値への当てはまりがよくなり、はっきりした裁定の機会を生む補間を避けられます¹¹。

両端の外へ延ばす部分（ウィング）の傾きにも、無裁定から来る上限があります。行使価格が遠くなっても、インプライド・ボラティリティはある速さより速くは増えません。そのため、両端を延ばす関数には、これより速く増える形を選べません¹⁴。上限の式と、分布の裾との関係は、後の「スマイルとリスク中立の分布」の深掘りで扱います。

無裁定の制約

面の形は自由には決められません。同じ満期で行使価格の違うオプションどうしと、同じ行使価格で満期の違うオプションどうしの価格に、裁定の機会が生まれない並びが要ります¹⁷。市場の面はこの制約を守っていますが、補間した面¹¹や、リスク管理のために動かした面¹⁷では崩れることがあります。制約は次の 3 つです。

1 つ目は、行使価格による価格の並びです。行使価格 $K_1 < K_2$ のとき、コールとプットの価格は次の並びになります¹⁸。

$$C(K_1) \ge C(K_2), \quad P(K_1) \le P(K_2)$$

行使価格の高いプットの払い出しは、低いプットの払い出しを下回らないためです。スキューの傾きが急すぎると、行使価格の低いプットのほうが高くなり、この並びが崩れます¹⁷。

2 つ目は、バタフライです。行使価格 $K - \Delta K$ と $K + \Delta K$ のコールを 1 つずつ買い、$K$ のコールを 2 つ売る組み合わせ（バタフライ）の払い出しは、満期にマイナスになりません¹⁹。そのため、価格も 0 以上です。

$$C(K - \Delta K) - 2C(K) + C(K + \Delta K) \ge 0$$

3 つ目は、カレンダー・スプレッドです。金利と配当が 0 のとき、同じ行使価格のコールの価格は、満期が長いほど低くなりません¹⁷。このとき、ブラック・ショールズの式のコールの価格は $\sigma\sqrt{T}$ が大きいほど高いので、制約はトータル・バリアンス $\sigma(K, T)^2 \, T$ が満期とともに減らないことと同じです²⁰。期間構造が逆の形でも、逆の度合いが強すぎると、この制約が崩れます。

計算例：1 年のスマイルで制約を確かめる

表の 1 年のスマイル（原資産の価格 100、金利 1%）で、コールとプットの価格を求めます²¹。比べるため、ボラティリティがどの行使価格でも 20% の平らな場合の価格も並べます。

プットの価格は行使価格とともに 2.8104、4.6009、7.4383、12.3981、19.8219 と上がり、1 つ目の制約を満たします。行使価格 90、100、110 を中心にしたバタフライ（$\Delta K = 10$）は、1.0468、2.1225、2.4639 で、どれもプラスです。たとえば 100 を中心にしたものは、表の丸めた値から計算すると 15.4965 − 2 × 8.4333 + 3.4927 = 2.1226 で、丸める前の値では 2.1225 です²²。

傾きが急すぎる場合を確かめます。行使価格 100 のボラティリティを 20% のまま、90 のボラティリティを 35% に上げると、90 のプットは 8.3864 になり、100 のプットの 7.4383 を上回ります。このとき、100 のプットを買って 90 のプットを売ると、0.9481 を受け取ったうえで、満期の払い出しはマイナスになりません。90 のプットが 100 のプットと同じ価格になるのは、90 のボラティリティが 32.29% のときで、これより高い値は 1 つ目の制約を破ります²³。

カレンダー・スプレッドは、金利を 0 にした例で確かめます。原資産の価格 100、行使価格 100 で、6 か月のボラティリティが 25%、1 年が 17% なら、6 か月のコールは 7.0432、1 年のコールは 6.7739 で、満期の長いほうが安くなります。トータル・バリアンスも、6 か月が 0.25² × 0.5 = 0.03125、1 年が 0.17² × 1 = 0.0289 と減っています。1 年のボラティリティが 17.68%（0.03125 の平方根）以上なら、この制約は崩れません²⁴。

スマイルとリスク中立の分布

同じ満期のバタフライの価格は、満期の原資産の価格が $K$ の近くに来るリスク中立確率に比例します。$f(K, T)$ を満期 $T$ の原資産の価格の確率密度とすると、バタフライの価格から次の近似が成り立ち、$\Delta K$ を 0 に近づけると右の式になります¹⁹。

$$f(K, T) \approx e^{rT} \frac{C(K - \Delta K) - 2C(K) + C(K + \Delta K)}{(\Delta K)^2}$$ $$f(K, T) = e^{rT} \frac{\partial^2 C}{\partial K^2}$$

面が分かれば、満期ごとの原資産の価格の分布が決まります。2 つ目の制約（バタフライが 0 以上）は、この確率密度がマイナスにならないことにあたります。

前の節の計算例のバタフライから、確率密度の近似を求めます。$e^{0.01} = 1.010050$ です²⁵。

この例のスキューでは、平らな場合と比べて、90 の近くの確率密度が小さく、100 と 110 の近くの確率密度が大きくなります。一方、行使価格 80 のプットは 2.8104 で、平らな場合の 1.0673 の 2.6 倍です。プットの価格は満期に 80 を下回った分の期待値を割り引いた値なので、80 を大きく下回る下落の分が平らな場合より大きいことを表します。反対に 120 のコールは 1.0159 で平らな場合の 2.3406 より低く、120 を上回る上昇の分は小さくなります。

深掘り両端の傾きと分布の裾（モーメント公式）

行使価格の位置を $x = \ln(K / (S e^{rT}))$ と表すと、満期を決めたとき、$|x|$ が十分大きいところでインプライド・ボラティリティは次の上限を満たします¹⁴。

$$\sigma^2(x, T) \le \frac{2|x|}{T}$$

右側の端で $\sigma^2 T / |x|$ が近づく値の上限を $\beta_R$、左側の端の値を $\beta_L$ とすると、どちらも 0 から 2 の間にあります。値は、満期の原資産の価格 $S_T$ について、$E[S_T^{1+p}]$ が有限になる $p$ の上限 $\tilde p$（右側）と、$E[S_T^{-q}]$ が有限になる $q$ の上限 $\tilde q$（左側）だけで決まります¹⁴。

$$\beta_R = 2 - 4\left(\sqrt{\tilde p^2 + \tilde p} - \tilde p\right)$$

$\tilde p$ が小さいほど $\beta_R$ は大きくなり、$\tilde p = 0$ で 2、$\tilde p$ が大きくなると 0 に近づきます²⁶。分布の裾が厚く、有限になる高い次のモーメントが少ないほど、ウィングの傾きは急になります。左側の $\beta_L$ と $\tilde q$ も同じ関係です。

面から決まるのは、満期ごとの原資産の価格の分布だけです。いくつかの時点の価格の組み合わせ（同時分布）は、面からは決まりません¹⁹。そのため、満期の払い出しだけで決まるデジタル・オプションの価格は、コールの価格を行使価格で微分した $-\partial C / \partial K$ として面から決まり、スキューの傾きが価格に効きます²⁷。途中の価格で払い出しが変わるバリア・オプションの価格は、面だけでは決まりません²⁸。

相場が動いたときの面の動き方

原資産の価格が動くと、面の形も動きます。面の動き方の見方には、行使価格ごとのインプライド・ボラティリティが動かないとみる sticky strike と、行使価格と原資産の価格の比（マネーネス）ごとの値が動かないとみる sticky delta があります²⁹³⁰。2013 年のコロンビア大学の講義資料によると、株式の市場はデルタを計算するときに sticky strike を使うことが多く、為替の市場は sticky delta を使うことが多いとされています²⁹。

1 年のスマイルの例で、同じ日に原資産の価格が 100 から 105 に上がった場合を考えます（残存期間は 1 年のままとします）。sticky strike なら、行使価格 100 のコールのボラティリティは 20% のままで、価格は 11.4698 です。sticky delta なら、行使価格 100 は、動く前の面での 100 × 100 ÷ 105 = 95.24 の位置にあたります。90 と 100 の間を直線で補間すると 24 − 4 × 0.5238 = 21.90% で、価格は 12.2087 です。価格の上がり方は、sticky strike で 3.0365（8.4333 → 11.4698）、sticky delta で 3.7754（8.4333 → 12.2087）です。見方の違いで 0.74 ほどの差が出て、sticky delta のほうが原資産の価格に大きく反応します³¹。

sticky strike で計算するデルタは、ボラティリティを動かさないブラック・ショールズの式のデルタです。ボラティリティが原資産の価格とともに動くとみるなら、デルタにはベガ $\nu$ を通じた分が加わります²⁹。

$$\Delta = \frac{\partial C_{\text{BS}}}{\partial S} + \nu \, \frac{\partial \sigma(K, T)}{\partial S}$$

この例のような右下がりのスキューで sticky delta とみると、原資産の価格が上がると行使価格 100 のボラティリティが上がります（$\partial \sigma / \partial S > 0$）。そのため第 2 項はプラスになり、デルタは sticky strike より大きくなります³²。

実際の面の日々の動きは、この 2 つの見方よりも複雑です。米国と英国の株価指数のオプションのデータを分析した研究では、日々の変化の大部分を、全体の水準の上下、行使価格の低い側と高い側が逆に動く傾きの変化、曲がり方の変化の 3 つで説明しています³³。

スマイルを扱うモデル

スマイルを表すには、ブラック・ショールズ・モデルを広げる必要があります。広げ方は、ボラティリティを原資産の価格などの関数にする、ボラティリティ自体を確率的に動かす、価格の飛び（ジャンプ）を加える、の 3 通りに分けられます³⁴。

ローカル・ボラティリティ・モデルは、ボラティリティを原資産の価格と時点の決まった関数 $\sigma(S, t)$ にするモデルです。今日の面のオプションの価格すべてに合う関数を、コールの価格の行使価格と満期による微分から求められます（デュピールの式）³⁵。確率ボラティリティ・モデルは、ボラティリティが原資産の価格と時点だけでは決まらず、別の乱数で動くモデルです³⁶。ヘストン・モデルもその 1 つです。スワップションで使われる SABR モデルは確率ボラティリティのモデルの 1 つで、インプライド・ボラティリティを近似式で速く計算でき、市場の慣行のブラック・モデルとの関係もはっきりしています³⁷。実務では、2 つを組み合わせたモデル（確率ローカル・ボラティリティ・モデル）も使われます³⁴。

モデルを面に合わせる手順はキャリブレーションで扱います。モデルの違いは、面に合わせた後にも残ります。「スマイルとリスク中立の分布」で見たとおり、面が決めるのは満期ごとの分布だけです。同じ面に合う 2 つのモデルでも、時点の間の価格のつながり方が違えば、バリア・オプションの価格は違う値になることがあります³⁸。

注

1. Martin Haugh "Black-Scholes and the Volatility Surface"（Columbia University、2013 年）の 3 節 "The Volatility Surface" の式 (14)（4 ページ）。 ↩ ↩²

2. Martin Haugh "Black-Scholes and the Volatility Surface" の 4 ページの注 5。アメリカン・オプションが多い個別株のオプションでは、コールとプットで面が違うことも 5 ページで述べています。 ↩

3. Martin Haugh "Black-Scholes and the Volatility Surface" の 4 ページ（Eurostoxx 50 指数の 2007 年 11 月 28 日の面の例）と、5 ページの "Why is there a Skew?"。 ↩

4. Martin Haugh "Black-Scholes and the Volatility Surface" の 6 ページ。 ↩

5. Roger W. Lee "Implied Volatility: Statics, Dynamics, and Probabilistic Interpretation" の 3 節（11 ページ）と、3.1.1 節 Remark 3.1（13 ページ）。 ↩

6. OpenGamma "Vanilla Forex Options: Garman-Kohlhagen and Risk Reversal/Strangle"（2012 年 5 月、Version 1.5）の 3 節 "Smile"（2〜3 ページ）。資料は本文のバタフライを strangle と書いています。 ↩

7. 服部孝洋「スワップション入門（モデル編）―ノーマル（ブラック）・モデルおよびSABRモデルについて―」（財務省「ファイナンス」2021 年 10 月号）の 4.4 節（64〜65 ページ）。2021 年 9 月の円金利スワップションのサーフェスの図を示し、資料の表記は「サーフィス」です。 ↩ ↩²

8. Martin Haugh "Black-Scholes and the Volatility Surface" の 4 ページ（行使価格を決めたとき、インプライド・ボラティリティは満期とともに上がることも下がることもあり、満期が長くなると一定の値に近づき、短い満期では逆の形が多く、市場のストレスのときに特にそうなること）。 ↩

9. Lee "Implied Volatility" の 2.1 節（4〜5 ページ）。 ↩

10. 本文の式から、$\sigma_{1,2}^2 \times (2 - 1) = 0.205^2 \times 2 - 0.20^2 \times 1 = 0.08405 - 0.04 = 0.04405$ で、平方根は 0.209881 です。 ↩

11. 服部孝洋「スワップション入門（モデル編）―ノーマル（ブラック）・モデルおよびSABRモデルについて―」（財務省「ファイナンス」2021 年 10 月号）の 4.1 節（61〜62 ページ）。補間が要ること、SABR モデルが汎用の道具であること、直線補間も選べること、モデルを使う利点を述べています。 ↩ ↩² ↩³

12. Martin Haugh "Black-Scholes and the Volatility Surface" の 20 ページの演習 8 の注記。気配の売りと買いの差が広いオプションは情報が少なく、流動性の低いオプションは気配の更新が遅れていることがあり、面を作るときは除くほうがよいことが多いとしています。 ↩

13. OpenGamma "Vanilla Forex Options: Garman-Kohlhagen and Risk Reversal/Strangle" の 3 節 "Smile"（3 ページ）。その実装が、デルタごとの行使価格を求めた後に直線で補間し、外側を平らに延ばすとしています。 ↩

14. Lee "Implied Volatility" の 3.1.2 節 式 (3.5) と Application 3.2（13 ページ）、モーメント公式（14 ページ）。資料はインプライド・ボラティリティを $I$ と書き、ウィングを $x^{1/2}$ より速く増える関数で当てはめないよう勧めています。 ↩ ↩² ↩³

15. OpenGamma "Vanilla Forex Options: Garman-Kohlhagen and Risk Reversal/Strangle" の 5 節 "Implementation"（4 ページ）。資料は本文のバタフライを strangle と書いています。 ↩

16. 服部孝洋「スワップション入門（モデル編）―ノーマル（ブラック）・モデルおよびSABRモデルについて―」（財務省「ファイナンス」2021 年 10 月号）の 4.3 節 式 (6)（63 ページ）と 64 ページ（ブローカーの気配の値を市場価格に使うこと）。 ↩ ↩²

17. Martin Haugh "Black-Scholes and the Volatility Surface" の 5 ページ "Arbitrage Constraints on the Volatility Surface"。市場の面は制約を破らないが、リスク管理で面を動かすときは守らせるのが難しいと述べています。 ↩ ↩² ↩³ ↩⁴

18. Lee "Implied Volatility" の 3.1.1 節 "Slope bounds" の式 (3.1)（12 ページ）。 ↩

19. Martin Haugh "Black-Scholes and the Volatility Surface" の 6 ページ "What the Volatility Surface Tells Us" の式 (18) とその後。 ↩ ↩² ↩³

20. 金利と配当が 0 のとき、コールの価格は $\sigma\sqrt{T}$ について増えるので、満期について減らないことと $\sigma^2 T$ が減らないことは同じです。 ↩

21. src/lib/simulators/black-scholes.ts の blackScholesPrice で計算し、小数第 4 位に丸めた値です。 ↩

22. 丸める前の値で計算すると 2.122471 です。本文の式の値は、表の丸めた値から計算したため、小数第 4 位がずれます。 ↩

23. 価格は src/lib/simulators/black-scholes.ts の blackScholesPrice の値です（90 のプット 8.386415、100 のプット 7.438302）。32.29% は、90 のプットがその価格になるボラティリティを二分法で求めた値です。 ↩

24. 価格は src/lib/simulators/black-scholes.ts の blackScholesPrice で、金利と配当を 0 にして計算した値です（7.043198、6.773861）。0.03125 の平方根は 0.176777 です。 ↩

25. バタフライは表の値のもとになった丸める前の価格で計算し、確率密度は $1.010050 \times \text{バタフライ} \div 10^2$ を小数第 4 位に丸めた値です（100 を中心にした例では 1.010050 × 2.122471 ÷ 100 = 0.021438）。 ↩

26. $\tilde p = 0$ のとき $\beta_R = 2$ で、$\tilde p$ が大きくなると $\beta_R$ は 0 に近づきます。 ↩

27. Martin Haugh "Black-Scholes and the Volatility Surface" の 6 節 "Pricing Exotics" の "Pricing a Digital Option"（14 ページ）と例 3。 ↩

28. Martin Haugh "Black-Scholes and the Volatility Surface" の 16 ページ "Pricing Other Exotics"。面は株価の周辺分布しか決めないため、バリア・オプションの価格は面からは決められないとしています。 ↩

29. Martin Haugh "Black-Scholes and the Volatility Surface" の 8 ページ（4 節、デルタの式の後の段落）。資料は sticky-by-strike、sticky-by-delta と書いています。 ↩ ↩² ↩³

30. Lee "Implied Volatility" の 24 ページ（4.2 節 Remark 4.3）。 ↩

31. 価格は src/lib/simulators/black-scholes.ts の blackScholesPrice で、原資産の価格 105、行使価格 100、1 年、金利 1% として計算した値です（11.469827、12.208697）。補間は 21.90% で計算し、動く前の価格は 8.433319 です。 ↩

32. 本文の $\Delta$ の式の第 2 項の向きです。sticky delta では、行使価格 100 の位置が原資産の価格の上昇とともに行使価格の低い側（ボラティリティの高い側）へ移るので、$\partial \sigma / \partial S > 0$ です。コールのベガはプラスなので、第 2 項はプラスになります。 ↩

33. Lee "Implied Volatility" の 4.2 節（24〜25 ページ）。Cont と da Fonseca の S&P 500 と FTSE の分析、リスク管理のシミュレーションへの利用（Application 4.4）、価格付け用の無裁定のドリフトを意図していないことを述べています。 ↩ ↩² ↩³

34. 服部孝洋「スワップション入門（モデル編）―ノーマル（ブラック）・モデルおよびSABRモデルについて―」（財務省「ファイナンス」2021 年 10 月号）の 4.2 節（62 ページ）と注 17。 ↩ ↩²

35. Lee "Implied Volatility" の 2.2 節（5〜6 ページ）の式 (2.1)、(2.3)、(2.4)。 ↩

36. Lee "Implied Volatility" の 2.3 節（8 ページ）。 ↩

37. 服部孝洋「スワップション入門（モデル編）―ノーマル（ブラック）・モデルおよびSABRモデルについて―」（財務省「ファイナンス」2021 年 10 月号）の 4.1 節と 4.2 節（62 ページ）。 ↩

38. Martin Haugh "Black-Scholes and the Volatility Surface" の 7 ページの Example 2。周辺分布が同じで同時分布の違う 2 つの証券は同じ面を持つが、ノックイン・プットの価格は同じとは限らないことを問いの形で示しています。 ↩