インプライド・ボラティリティ

インプライド・ボラティリティは、オプションを建値するトレーダー、評価システムで価格を逆算する開発者、持ち高のリスクを測るリスク管理の担当が、日々の業務で使う値です。

価格をボラティリティで言い換えた値

インプライド・ボラティリティは、オプションの価格から逆に求めたボラティリティで、「予想変動率」とも呼ばれます¹。ブラック・ショールズ・モデルの式は、ボラティリティなどの条件からオプションの価格（プレミアム）を出します。インプライド・ボラティリティは、その向きを逆にして、市場で付いている価格から、式が同じ価格を出すボラティリティを探したものです²。

たとえば、F 社の株式を原資産にしたヨーロピアン型のコール・オプション（コール）の架空の例で考えます。原資産の価格 100、行使価格 100、残存期間（満期までの期間）1 年、無リスク金利（信用リスクなどのない金利）年 1%（連続複利）、配当なしとします。ボラティリティを 20% とすると、ブラック・ショールズの式の価格は 8.43 です。このコールに市場で 10.00 の値が付いていれば、式が 10.00 を出すボラティリティは 23.97% で、これがインプライド・ボラティリティです。

インプライド・ボラティリティを使うことは、ボラティリティが本当に一定だと考えることを意味しません。割引債の価格を最終利回り（一定の金利で割り引いたときに価格と合う金利）で示しても、金利が一定だと考えているわけではないのと同じです。インプライド・ボラティリティは、オプションの価格を別の形で言い表したものです³。

市場価格から逆に解く方法

インプライド・ボラティリティは、ブラック・ショールズの式の価格が市場価格と等しくなるボラティリティ $\sigma$ を解いて求めます。配当利回り $q$ のある原資産のコールの価格は、原資産の価格 $S$、行使価格 $K$、残存期間 $T$（年）、無リスク金利 $r$（連続複利）を使って次の式で表します⁴。

$$C_{\text{BS}}(\sigma) = S e^{-qT} N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2)$$ $$d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r - q + \sigma^2/2)\,T}{\sigma\sqrt{T}}$$ $$d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$$

$N(\cdot)$ は標準正規分布の累積分布関数です。市場価格を $C_{\text{mkt}}$ とすると、解く式は次のとおりです⁵。

$$C_{\text{BS}}(\sigma) = C_{\text{mkt}}$$

この式は $\sigma$ についての非線形方程式で、値を変えながらくり返し計算して解きます⁶。手順は次のとおりです。

1. 市場で付いているコールの価格を受け取り、市場価格の取りうる範囲（下限と上限）に入っているかを確かめる。範囲の外なら、合うボラティリティはない。
2. ボラティリティを仮に置き、ブラック・ショールズの式の価格を出す。
3. 式の価格と市場価格を比べる。差が残るときは、ボラティリティを更新して手順 2 に戻る。
4. 差が決めた値以下になったら、そのボラティリティをインプライド・ボラティリティとする。

答えは市場から返ってくるのではなく、逆算の計算で求めます。更新の方法がニュートン法と二分法です。

答えが 1 つに決まるのは、ブラック・ショールズの式の価格がボラティリティについて連続で、ボラティリティが高いほど高くなるためです⁷。ボラティリティが上がると原資産の値動きの幅が広がり、満期にイン・ザ・マネーになる見込みも高まるため、価格が上がります⁸。

ボラティリティを 0 に近づけると価格は無裁定の下限に、限りなく大きくすると上限に近づきます⁹。配当のない原資産のコールでは、下限は原資産の価格から行使価格の現在価値を引いた額（0 を下回るときは 0）です¹⁰。同じく配当のないコールでは、ボラティリティを限りなく大きくすると、上の式の $N(d_1)$ は 1 に、$N(d_2)$ は 0 に近づくため、上限は原資産の価格です。市場価格がこの範囲の外にあると、合うボラティリティはありません。

くり返しの計算の方法には、ニュートン法と二分法があります。ニュートン法は、今のボラティリティでの価格の曲線の傾きを使い、接線が市場価格と交わる点を次のボラティリティにする方法です¹¹。価格をボラティリティで微分した値はベガ $\nu$ なので、次の式で更新します。

$$\sigma_{n+1} = \sigma_n - \frac{C_{\text{BS}}(\sigma_n) - C_{\text{mkt}}}{\nu(\sigma_n)}$$

ベガは $\nu = S e^{-qT} \sqrt{T}\, \phi(d_1)$ で、$\phi(\cdot)$ は標準正規分布の密度関数です¹²。ただし、ニュートン法では、ベガが 0 に近いところで更新の幅（価格の差 ÷ ベガ）が大きくなり、次の値が答えから遠く離れることがあります。

二分法は、答えをはさむ 2 つのボラティリティから始め、中点の価格が市場価格より高いか低いかで、答えのある側の半分に区間を縮めていく方法です¹³。二分法は価格がボラティリティについて増えることだけを使い、微分を使いません⁶。

深掘りニュートン法と二分法の進み方の違い

二分法では、答えのある区間の幅が 1 回ごとに半分になります。はじめの区間の幅を $b - a$ とすると、$i$ 回目の幅は $(b - a)/2^i$ です¹³。一方、ニュートン法では、答えの近くで、次の誤差がひとつ前の誤差の 2 乗に比例して小さくなります（二次収束）¹⁴。そのため、答えに近い値から始めると、ニュートン法は数回で答えに近づきます。

計算例：市場価格 10.00 のコール

F 社のコールに、市場で 10.00 の値が付いているとします。ボラティリティ 20% での価格 8.43 は、ブラック・ショールズ・モデルの計算例と同じ条件の値です。ボラティリティ 20% から始めて、ニュートン法で求めます。ベガは、ボラティリティが 1% 上がったときの価格の変化（1% あたり）で示し、ボラティリティも % で書きます。そのため、更新の幅は「価格の差 ÷ 1% あたりのベガ」の % になります。

1 回目は、20 + 1.566681 ÷ 0.394479 = 20 + 3.9715 = 23.9715% です。2 回目は、23.9715 + 0.001333 ÷ 0.393769 = 23.9715 + 0.0034 = 23.9749% です。3 回目には式の価格が小数第 6 位まで 10.000000 に一致し、インプライド・ボラティリティは 23.97% と求まります¹⁵。

同じ問題を二分法で解くと、答えに近づく速さの違いが分かります。ボラティリティ 10% の価格は 4.4852、40% の価格は 16.2754 で、市場価格 10.00 はこの間にあるため、区間 10〜40% から始めます。

6 回くり返しても区間の幅は 0.4688% あり、幅を 0.0001% より狭くするには 19 回かかります（30% を 2 で 19 回割ると約 0.00006%）。ニュートン法が 2 回で小数第 4 位までそろったのと比べ、二分法は遅いものの、答えをはさんだ区間から外れることがありません。

同じ条件のヨーロピアン型のプット・オプション（プット）の市場価格が 9.0050 なら、プットから求めたインプライド・ボラティリティも 23.97% です。9.0050 は、10.00 − 100 + 99.0050 で求めた値で、99.0050 は $100 \times e^{-0.01}$ です。プットがコールと同じインプライド・ボラティリティになる関係は、プット・コール・パリティから出ます¹⁶。

市場価格とベガによる変わり方

インプライド・ボラティリティは、市場価格が高いほど高くなります。F 社のコールでは、市場価格が 1.00 上がるごとに、インプライド・ボラティリティはおよそ 2.5% 上がります。

価格の違いに対するインプライド・ボラティリティの動き方は、ベガの大きさで変わります。価格の変化が小さく、その間でベガがあまり変わらなければ、インプライド・ボラティリティの変化はおおよそ「価格の変化 ÷ 1% あたりのベガ」の % です。ベガは行使価格の近くで大きく、満期に近づくと 0 に近づきます¹⁷。次の表は、原資産の価格 100、無リスク金利 1%、ボラティリティ 20% で付けた価格に、0.05 を足したときと引いたときのインプライド・ボラティリティです。

行使価格 100 で残存期間 1 年のコールでは、価格が 0.05 違ってもインプライド・ボラティリティは 0.13% ほどしか動きません。行使価格 140 で残存期間 0.25 年のコールは、価格が 0.0013 しかありません。0.05 足すとインプライド・ボラティリティは 28.31% になり、0.05 引くと価格がマイナスになって求められません。このようなオプションでは、価格の端数の違いがインプライド・ボラティリティの大きな違いになります。この行では、0.05 ÷ 0.0009 で見込むおよそ 56% の上昇に対して実際の上昇は 8.31% で、ベガがここまで小さいと「価格の変化 ÷ ベガ」の近似は大きくずれます。

ヒストリカル・ボラティリティとの違い

ヒストリカル・ボラティリティは、過去の原資産の価格の動きから求めるボラティリティです。過去の一定の期間について、1 営業日ごとの価格の変化率を求め、その標準偏差を年率に直します¹⁸。年率に直す計算は確率・統計の基礎で扱います。オプションの理論価格の計算には、過去の値であるヒストリカル・ボラティリティではなく、市場の取引価格から逆算したインプライド・ボラティリティが使われます¹⁹。

ヒストリカル・ボラティリティは、過去の変動率をもとに将来の変動率を見積もるときに使う値です¹⁸。インプライド・ボラティリティは、今の市場で付いているオプションの価格から求める値で、重要な経済指標が大きく変わったときや政情不安のときには、株価の変動を見込んで大きくなります²⁰。2 つの値は、同じ原資産でも一致するとは限りません²¹。

インプライド・ボラティリティを使う場面

Lee の 2002 年の原稿によると、オプションの市場では、トレーダーがオプションの価格をボラティリティの値（ボラティリティの「ポイント」）で建値する慣行があります²²。価格そのものは行使価格、満期、原資産で水準が大きく違いますが、インプライド・ボラティリティに直すと、違う行使価格や満期、違う原資産、違う時点のオプションを同じ尺度で比べられます。市場価格を、自分の見込む妥当な価格と比べる尺度にもなります²²。

Haugh の 2013 年の資料によると、市場の参加者は、ブラック・ショールズ・モデルが実際の値動きと合わないことを承知していますが、このモデルの尺度（インプライド・ボラティリティやグリークス）で話すことが広く行われています。トレーディングの部署は、ブラック・ショールズ・モデルのインプライド・ボラティリティのサーフェス（行使価格と満期ごとの値の面）を計算し、グリークスもこのモデルで計算して使います²³。モデルの前提がはっきり合わない商品でも、価格をインプライド・ボラティリティで示すことがあります。金利の市場のキャップレット（金利キャップの 1 つの期間の分のオプション）やスワップション、クレジットの市場のクレジット・デフォルト・スワップ（CDS）のオプションが、その例です²⁴。

VIX のように、オプションの価格から求めたボラティリティの指数もあります。Lee の原稿は、取引所がインプライド・ボラティリティの指数をリアルタイムで更新していると述べています²²。

前提と限界：行使価格と満期で違う値

ブラック・ショールズ・モデルが正しければ、同じ原資産のインプライド・ボラティリティは、行使価格と満期によらず同じ値になるはずです。実際の市場では行使価格や満期で値が違い、行使価格との関係をボラティリティ・スマイルといいます²⁹。

個別株のオプションの多くはアメリカン・オプションです³⁰。Haugh の 2013 年の資料によると、アメリカン・オプションでは、コールとプットから求めたインプライド・ボラティリティが通常は違う値になります³⁰。

注

1. 日本取引所グループ「インプライド・ボラティリティ（IV）」（用語集）。 ↩

2. Roger W. Lee "Implied Volatility: Statics, Dynamics, and Probabilistic Interpretation"（2002 年 11 月の原稿。Recent Advances in Applied Probability、Springer、2004 年）の 1.1 節と 1.3 節（1〜3 ページ）。 ↩

3. 同じ資料の 1.1 節（2 ページ）。ボラティリティが一定だと信じることを伴わないこと、割引債の最終利回りとの類比、価格の別の表し方であることを述べています。 ↩

4. Martin Haugh "Black-Scholes and the Volatility Surface"（Columbia University、2013 年）の 3 ページの式 (13)。資料は $\Phi$、$\log$、$T - t$ と書いており、本文ではそれぞれ $N$、$\ln$、$T$ と書いています。 ↩

5. 同じ資料の 4 ページの式 (14)（ボラティリティのサーフェスが式 (14) で "defined implicitly" と述べています）。 ↩

6. 一橋大学 小林健太「ヨーロピアンオプションとインプライドボラティリティの数値計算」の「インプライドボラティリティの計算」。 ↩ ↩² ↩³

7. Martin Haugh "Black-Scholes and the Volatility Surface" の 4 ページ。注 4 で、市場に裁定の機会がないことを前提にしています。 ↩

8. 大阪取引所「理論」（北浜投資塾）の「理論価格はボラティリティで決まる」。 ↩

9. Roger W. Lee "Implied Volatility: Statics, Dynamics, and Probabilistic Interpretation" の 1.3 節（3 ページ）。 ↩

10. Martin Haugh "Forwards, Swaps, Futures and Options"（Columbia University、2016 年）の 12 ページ、"Model Free Bounds for Option Prices" の "Put-Call Parity" の式 (9) とそれに続く式。 ↩

11. 大阪大学 舟木剛「数値解析 第二回 代数方程式の求解」（2016 年 10 月 12 日）の 8 ページ「ニュートン法」。資料の $x_i$ と $f(x)$ を、本文では $\sigma_n$ と $C_{\text{BS}}(\sigma) - C_{\text{mkt}}$ に置き換えています。 ↩

12. Martin Haugh "Black-Scholes and the Volatility Surface" の 9 ページのベガの定義と式。 ↩

13. 大阪大学 舟木剛「数値解析 第二回 代数方程式の求解」の 5〜7 ページ「2分法」。 ↩ ↩²

14. 大阪大学 舟木剛「数値解析 第二回 代数方程式の求解」の 11 ページ「ニュートン法で求めた解の誤差」。 ↩

15. 表の値は src/lib/simulators/black-scholes.ts の関数で計算し、端数を四捨五入しています。ベガを小数第 6 位に丸めてから計算し直すと、小数第 5 位以下がずれることがあります。 ↩

16. Martin Haugh "Black-Scholes and the Volatility Surface" の 4 ページの注 5。 ↩

17. 同じ資料の 9 ページ。ベガは行使価格の近くで山になり、満期に近づくと 0 に近づくことを図 5 とともに述べています。 ↩

18. 日本取引所グループ「ヒストリカル・ボラティリティ（HV）」（用語集）。 ↩ ↩²

19. 大阪取引所「理論」（北浜投資塾）の「ボラティリティ」。 ↩

20. 大阪取引所「理論」（北浜投資塾）の「インプライド・ボラティリティ」。 ↩

21. Martin Haugh "Black-Scholes and the Volatility Surface" の 13 ページ（オプションのインプライド・ボラティリティ、原資産のモデルのボラティリティ、実際の変動が等しいとは限らないこと）。 ↩

22. Roger W. Lee "Implied Volatility: Statics, Dynamics, and Probabilistic Interpretation"（2002 年 11 月の原稿）の 1.1 節（2 ページ）。 ↩ ↩² ↩³

23. Martin Haugh "Black-Scholes and the Volatility Surface" の 5 ページ。モデルの不正確さを承知しながら、ブラック・ショールズの言葉が広く使われていることを述べています。 ↩

24. Martin Haugh "Black-Scholes and the Volatility Surface" の 17 ページ。 ↩

25. 大阪大学 舟木剛「数値解析 第二回 代数方程式の求解」の 7〜8 ページの「収束判定」。 ↩

26. Martin Haugh "Black-Scholes and the Volatility Surface" の 4 ページと注 6。 ↩

27. 同じ資料の 11〜12 ページ「Delta-Gamma-Vega Approximations to Option Prices」。 ↩

28. 同じ資料の 13 ページ「Some Answers to Delta-Hedging Questions」。 ↩

29. 同じ資料の 4 ページと 5 ページ「Why is there a Skew?」。 ↩

30. 同じ資料の 5 ページ。個別株のオプションが通常アメリカン型であることと、その場合にコールとプットのサーフェスが通常違うことを述べています。 ↩ ↩²