CVA と DVA

CVA と DVA は、デリバティブの価格付けと評価を担う CVA デスクや、リスク管理と損益の変動を見る担当者が、無担保に近い取引の時価に取引相手の信用リスクを反映し、反映した後の損益の動きを説明するときに使います。

CVA が表す損失

CVA が損失になるのは、取引相手がデフォルトしたときの取引の時価が、自社にとってプラスの場合だけです。時価がプラスなら、自社の債権は回収率の分しか戻りません。マイナスなら、自社の債務は全額を払います¹。損失は、デフォルト時の時価のプラスの部分に、デフォルト時の損失率（LGD、1 から回収率を引いた値）を掛けた額です。

取引相手が自社より先にデフォルトする場合に限ると、この損失は、デフォルト時の時価を原資産とする行使価格 0 のコール・オプションを売った形になります²。

5 つの調整の定義と向き、CVA デスクの概要、5 年の基本の計算例は、XVA の全体像で扱います。記号は XVA の全体像と同じで、時価がプラスの部分の期待値を $\mathrm{EE}$、割引係数を $D$、区間のデフォルト確率を $\mathrm{PD}_i$、損失率を $\mathrm{LGD}$ とします。

CVA の式の導出

取引相手のデフォルト時点を $\tau$、満期を $T$ とし、リスク中立確率での期待値で考えます。取引相手が時点 $t$ まで生き残る確率を $S(t)$、ハザード率を $\lambda(t)$ とすると、$S(t) = e^{-\int_0^t \lambda(s)\,ds}$ です。時点 $t$ の直後の短い期間 $dt$ にデフォルトが起きる確率は $\lambda(t) S(t)\,dt$ で、生存確率の減少分 $-dS(t)$ に等しくなります³。

時点 $t$ にデフォルトが起きると、自社の損失は $\mathrm{LGD} \times V(t)^+$ で、現在価値は割引係数 $D(t)$ を掛けて求めます。$V(t)$ は取引相手がデフォルトしないとした時価（担保があれば差し引いた後の値）、$V(t)^+ = \max\{V(t), 0\}$ です。これにデフォルトの確率を掛けて満期まで積分したものが CVA です。

$$\mathrm{CVA} = \mathrm{LGD}\int_0^T D(t)\,\mathbb{E}[V(t)^+ \mid \tau = t]\,\lambda(t) S(t)\,dt$$

取引相手のデフォルトと市場の値動きが互いに関係しないとすると、デフォルト時点の条件が外れ、期待値は期待エクスポージャー $\mathrm{EE}(t) = \mathbb{E}[V(t)^+]$ になります⁴。

$$\mathrm{CVA} = \mathrm{LGD}\int_0^T D(t)\,\mathrm{EE}(t)\,\lambda(t) S(t)\,dt$$

積分を計算するときは、時点 $0 = t_0 < t_1 < \dots < t_n = T$ を置き、区間 $(t_{i-1}, t_i]$ のデフォルトを区間の終わりの $t_i$ に集めます。区間のデフォルト確率は $\mathrm{PD}_i = S(t_{i-1}) - S(t_i)$ です。

$$\mathrm{CVA} = \mathrm{LGD}\sum_{i=1}^{n} D(t_i)\,\mathrm{EE}(t_i)\,\mathrm{PD}_i$$

区間の中で EE や割引係数が大きく動くなら、区間を細かくしないと積分との差が大きくなります。連続の形は 2017 年の日本銀行金融研究所の論文の式にあたり、離散の形は 2018 年の同研究所の論文の式にあたります⁵。

クレジット・カーブとハザード率

$\mathrm{PD}_i$ の入力は、取引相手のクレジット・スプレッドから作る、時点ごとの生存確率のカーブ（クレジット・カーブ）です。クレジット・スプレッドは、社債の利回りから同じ満期の国債の利回りを引いた差で、デフォルトの損失への補償のほか、社債の市場流動性の低さなども含みます⁶。社債のスプレッドや CDS のスプレッドから、リスク中立確率でのデフォルト確率を推計してカーブを作るのが一般的な方法です。最も信頼できるのは、取引相手を直接参照するクレジット・デフォルト・スワップ（CDS）です⁷。

ここでの $s$ は CDS のスプレッドで、社債の利回りの差であるクレジット・スプレッドとは別のものです。ハザード率が満期まで一定なら、CDS のスプレッド $s$ と回収率 $R$ から、ハザード率を次の式で見積もれます。CDS で払うスプレッドの現在価値と、デフォルト時に受け取る額 $1 - R$ の期待値の現在価値が等しいという条件から出る関係で、クレジット・トライアングルと呼ばれます⁸。

$$\lambda = \frac{s}{1 - R}$$

CDS のスプレッドが 150bp（1.5%）、回収率が 40% の架空の例で考えます。ハザード率は $\lambda = 1.5\% \div 0.6 = 2.5\%$ です。3 年後まで生き残る確率は $e^{-0.025 \times 3} = 92.77\%$、3 年のうちにデフォルトする確率は 7.23% です。この式は目安です。

満期の違う複数の CDS がある場合は、すべての価格を再現するように、区間ごとのハザード率を短い満期から順に求めます（カーブの校正）⁸。区間ごとに一定のハザード率なら、区間 $i$ のデフォルト確率は、区間の初めまでの生存確率 $S(t_{i-1})$ に $1 - e^{-\lambda_i (t_i - t_{i-1})}$ を掛けた値です。

取引相手を直接参照する流動性のある CDS がないときは、取引相手の債券のスプレッドや、似た企業を参照する CDS で代用します。格付け、地域、業種ごとに作ったカーブを、取引相手の特徴に合わせて割り当てる金融機関もあります⁷。デフォルト確率を推計するときに置いた LGD は、CVA の LGD にも同じ値を使います⁹。

CDS から求めたハザード率は、リスク中立確率のもとでの値で、現実にデフォルトが起きる確率とは違います³。

計算例：N 社との 3 年の無担保の取引

CVA を計算する手順は次のとおりです。

1. CDS のスプレッドと回収率を集める。
2. ハザード率から生存確率を求め、その差を区間ごとのデフォルト確率（PD）にする。
3. 市場の動きのシミュレーションで、時点ごとの EE と割引係数を求める。
4. 区間ごとに、LGD（回収率から求める）、割引係数、EE、PD を掛ける。
5. 区間の値を足して CVA にする。

信用とエクスポージャーを別々に作って最後に掛け合わせる点が、独立の前提の形です（前提の中身は「CVA の式の導出」の節にあります）。

自社が N 社と担保なしで期間 3 年の取引を結んでいる架空の例で考えます。自社の CVA を求めます。時点は 1 年、2 年、3 年の年末の 3 つで、LGD は 60%（回収率 40%）です。N 社のハザード率は、区間ごとに 1%、2%、3% と上がっていくとします。年末の生存確率は累積のハザード率から $S(t_i) = e^{-\sum \lambda_j}$ で求め、その差が各区間のデフォルト確率です。

EE を金利などの動きを多数のシナリオでシミュレーションして求めた値とし、割引係数を 1 年、2 年、3 年の年末で 0.98、0.96、0.94 とする架空の例で考えます。各区間の寄与は、LGD × 割引係数 × EE × PD です。

たとえば最初の区間は、$0.6 \times 0.98 \times 6{,}000 \times 0.009950 = 35.1$ 万円です。CVA は 206.3 万円で、CVA を反映した時価は、リスク・フリーの時価より 206.3 万円低くなります¹⁰。XVA の全体像の例は各年のデフォルト確率が同じでしたが、この例では区間ごとに違うため、生存確率を通した計算になります。

CVA は何によって変わるか

CVA を動かす要因は、取引相手の信用スプレッド、デリバティブの EE、両者の相関の 3 つに分けられます¹¹。上の例で、ほかの条件を変えずに 1 つずつ動かした結果は次のとおりです。

ハザード率が 0.5 ポイント上がるのは、回収率 40% のクレジット・トライアングルでは、CDS のスプレッドが 30bp（$0.5\% \times 0.6$）上がることにあたります。取引相手の信用力が悪化すれば CVA が増え、増えた分が自社の評価の損になります。信用力が改善すれば CVA が減り、減った分が評価の益になります。EE は CVA に比例するため、金利などの動きでエクスポージャーが 50% 増えれば、CVA も 50% 増えます。

スプレッドが 1bp 動いたときの価値の変化額を CS01 といいます。同じ考え方を CVA に当てはめると、この例の CVA の CS01 は 1bp あたり約 1.7 万円です。ハザード率は、スプレッドの上昇分を $1 - R$ で割った分（1bp の上昇で約 1.67bp）だけ上げて求めました¹²。

ただし、スプレッドを動かしても EE は変わらないという前提の値です。実際は、金利などが動いて EE が変わると CVA の CS01 も変わるため、CVA デスクは変動に応じて CDS などで動的にヘッジします¹¹。

取引相手の信用力が下がる局面でエクスポージャーが大きくなるなど、独立の前提が外れる場合は、誤方向リスクのページで扱います。

片方向と双方向、DVA の論点

CVA だけを時価に反映することを片方向の CVA、CVA と DVA の両方を反映することを双方向の CVA といいます¹³。自社の側の調整は、取引の時価がマイナスの部分（自社の債務）を使います。時価がマイナスの部分の期待値を $\mathrm{ENE}(t) = \mathbb{E}[\max\{-V(t), 0\}]$、自社のデフォルト確率を $\mathrm{PD}^{B}_i$、自社の LGD を $\mathrm{LGD}_B$ とすると、独立の前提のもとで、DVA と調整後の時価は次のとおりです¹³。

$$\mathrm{DVA} = \mathrm{LGD}_B\sum_{i=1}^{n} D(t_i)\,\mathrm{ENE}(t_i)\,\mathrm{PD}^{B}_i$$ $$\hat{V} = V - \mathrm{CVA} + \mathrm{DVA}$$

先の例の続きで、自社のハザード率が区間ごとに 0.2%、0.4%、0.6%、自社の LGD が 60%、時価がマイナスの部分の期待値 ENE が 2,000、3,000、4,000 万円の架空の例で考えます。割引係数は同じです。

DVA は 22.6 万円で、双方向の調整は $-206.3 + 22.6 = -183.7$ 万円です。自社のハザード率が 3 区間とも 2 倍になると DVA は 45.0 万円に増え、時価は約 22 万円上がります。反対に自社の信用力が戻れば、DVA が減って時価も下がります。自社の信用力の悪化と時価の上昇が同じ向きに動く点が、DVA の特徴です。

深掘り先にデフォルトする側を扱う双方向 CVA の式

上の離散の式は、自社と取引相手のデフォルトが独立で、先にデフォルトした側だけが取引を終わらせることを、明示的には扱っていません。ブリゴとカポーニの論文は、自社のデフォルト時点を $\tau_B$、取引相手のデフォルト時点を $\tau_C$ とし、先に起きたデフォルトの時点で残りの取引の時価が清算される形で、調整を次のように表しています¹⁴。

$$\mathrm{CVA} = \mathrm{LGD}_C\,\mathbb{E}\left[\mathbf{1}_{\{\tau_C \le \min(\tau_B, T)\}}\,D(\tau_C)\,V(\tau_C)^+\right]$$ $$\mathrm{DVA} = \mathrm{LGD}_B\,\mathbb{E}\left[\mathbf{1}_{\{\tau_B \le \min(\tau_C, T)\}}\,D(\tau_B)\,\big(-V(\tau_B)\big)^+\right]$$

$V(\tau)$ はデフォルト時点の残りの取引のリスク・フリーの時価で、$\mathbf{1}$ は条件が成り立てば 1、成り立たなければ 0 の関数です。

取引相手が先にデフォルトする場合にだけ CVA が、自社が先にデフォルトする場合にだけ DVA が生じます。2 者のデフォルトが独立でハザード率が $\lambda_B$、$\lambda_C$ なら、取引相手が時点 $t$ の直後に先にデフォルトする確率は $\lambda_C(t) S_C(t) S_B(t)\,dt$ で、自社が生き残る確率 $S_B(t)$ が掛かります。

2017 年の日本銀行金融研究所の論文の式では、リスク・フリー金利に両者のクレジット・スプレッドを足した率で割り引く係数 $DF$ が、この生存確率を含んでいます¹⁵。

DVA を時価や損益に入れるかどうかには、いくつかの論点があります。

1 つ目は、価格の合意のしやすさです。双方向の CVA は、CVA と DVA の対称性から、取引の両側で価格が一致しやすくなります。自社の CVA は取引相手から見れば DVA にあたり、自社の DVA は取引相手から見れば CVA にあたるためです。先の例を N 社の側から見ると、CVA が 22.6 万円、DVA が 206.3 万円で、調整は $-22.6 + 206.3 = +183.7$ 万円になります（自社の ENE が N 社の EE にあたります）。自社の調整 $-183.7$ 万円と足すと 0 になり、両者が同じ前提で評価すれば、価格が一致します。信用力に差がある 2 者の取引では、信用力の低い側が調整相当額を負担する形で価格が決まります¹³。

2 つ目は、会計と規制での扱いが分かれる点です。欧米の会計基準（IFRS 第 13 号と米国の Topic 820）は、自社の債務についても DVA を時価に反映することを原則として求めています¹⁶。一方、自己資本比率規制では、モラルハザードを防ぐ観点から DVA を普通株式等 Tier 1 から控除し、CVA の計測は片方向（相手の信用リスクだけ）を前提にしています¹⁷。

3 つ目は、価格に入れるかどうかに市場の合意が得られていない点と、自社の信用力の反映が重なる点です。2017 年の論文の時点で、どの評価調整を価格に織り込むかには、市場のコンセンサスが得られていない部分がありました。DVA と FVA は、ともに自社の信用力による利益を含みうるため、自社のデフォルトによる利益を二重に数えないようにする必要もあります¹⁸。割引でも自社の信用力が入りえます。深掘りで触れた割引係数 $DF$（リスク・フリー金利に両者のクレジット・スプレッドを足した率で割り引く係数）に自社のクレジット・スプレッドを入れると、自社の信用力の低下が CVA を減らしてしまいます。そのため、割引にあたって自社のクレジット・スプレッドを加味しない実務もあります¹⁵。

4 つ目は、ヘッジの難しさです。2018 年の日本銀行金融研究所の論文は、自社を参照する CDS の売買による直接のヘッジは禁止されているとしています。代わりに、似た企業の CDS やインデックスの CDS によるヘッジが現実的な手段になります。自社の社債を買い戻して自社の信用リスクを減らす方法もありますが、機動的な売買は実務上難しく、必ずしも効果的なヘッジではないとされています¹⁹。

前提と限界：CVA のモデルのリスク

CVA の値は、将来のエクスポージャーとデフォルト確率のモデルから計算する推計値です。前提や計算方法を変えれば、値が変わります。

時間幅は、クローズ・アウト期間を考えて置く方法があります²⁴。こうしたモデルのリスクのため、CVA を完全にヘッジすることは難しいとされています²²。規制の側でも、バーゼル銀行監督委員会は、CVA の計測手法が複雑でモデルのリスクが高いことから、内部モデル方式を最終文書で採用しませんでした。標準的方式（SA-CVA）の利用には、当局の承認が必要です²⁵。

注

1. Damiano Brigo、Agostino Capponi「Bilateral counterparty risk valuation with stochastic dynamical models and application to Credit Default Swaps」（arXiv、2018 年版）の 2 節（式 (2.4)、(2.5) の前後）。 ↩

2. 同じ資料の命題 2.1（式 (2.6)、7 ページ）。論文は、デフォルトのリスクがある取引の価値を、リスク・フリーの取引の価値に、行使価格 0 のプット・オプションの買い（自社が最初にデフォルトする場合）と行使価格 0 のコール・オプションの売り（取引相手が最初にデフォルトする場合）を足した形で示しています。 ↩

3. OpenGamma Quantitative Research「The Pricing and Risk Management of Credit Default Swaps, with a Focus on the ISDA Model」の 3.3 節（式 (6)、(7) と、確率が実世界のデフォルト確率を表さないという記述）。 ↩ ↩²

4. 川上高志「ヘッジ取引におけるデリバティブ信用評価調整の影響についての考察」（日本銀行金融研究所『金融研究』2018 年 4 月）の 2 節（2）（125 ページ）。市場リスクと信用リスクの相関を考慮しない条件のもとで式 (1) が成り立つと書いています。 ↩

5. 斎藤祐一「金融規制の複合的影響を考慮したXVA」（日本銀行金融研究所『金融研究』2017 年 4 月）の 2 節（2）の式 (2) の第 1 式（115〜116 ページ）が連続の形、川上高志の前掲の論文の式 (1) の第 1 項（125 ページ）が離散の形です。 ↩

6. 日本銀行「日本の社債発行スプレッドの変動要因」（日本銀行ワーキングペーパー、2010 年 4 月）の 1 節（印刷 2 ページ）。社債の利回りと同じ満期の国債の利回りの差をクレジット・スプレッドとし、デフォルトの損失の期待値のほか、国債より低い社債の市場流動性に伴うプレミアムなども含まれると書いています。 ↩

7. 川上高志「ヘッジ取引におけるデリバティブ信用評価調整の影響についての考察」（日本銀行金融研究所『金融研究』2018 年 4 月）の 2 節（2）（126 ページ）。 ↩ ↩²

8. 前掲の OpenGamma Quantitative Research の論文の 4.6 節（式 (30)〜(32)）と 6.2 節（式 (54) の前後）。金利とハザード率が独立で、経過利息を無視した連続払いを前提に、ハザード率が一定のときの式です。スプレッドとハザード率を切り替える目安、カーブの校正の最初の推定値として使えると書いています。 ↩ ↩²

9. 前田壮一、長谷川達也「ＣＶＡリスク計測の枠組みの見直し」（『金融財政事情』2018 年 2 月 12 日号）の「実務におけるＣＶＡ管理」（33 ページ）。 ↩

10. 表の寄与は、PD を小数第 4 位まで（%）、EE と割引係数は表の値で計算し、万円の小数第 2 位を四捨五入した値です。合計は丸める前の寄与の和（206.32 万円）を小数第 1 位に丸めたもので、丸めた寄与の和（35.1、90.3、80.9）とも一致します。 ↩

11. 川上高志「ヘッジ取引におけるデリバティブ信用評価調整の影響についての考察」（日本銀行金融研究所『金融研究』2018 年 4 月）の 5 節（147 ページと 149 ページ）。CVA を構成する要因として、信用スプレッド、期待エクスポージャー、両者の相関を挙げ、CVA デスクが CVA と DVA の変動に応じて CDS などで動的にヘッジする運用も 147 ページに書かれています。 ↩ ↩²

12. CS01 の定義は前掲の OpenGamma Quantitative Research の論文の 8 節。論文は CDS の価格について定義しており、ここでは同じ考え方を CVA に当てはめた、このサイトでの計算値です。 ↩

13. 川上高志「ヘッジ取引におけるデリバティブ信用評価調整の影響についての考察」（日本銀行金融研究所『金融研究』2018 年 4 月）の 2 節（2）（125 ページ）。式 (1) は、デフォルトが独立で、市場リスクとの相関を考えないときの双方向の CVA です。論文は調整と ENE を負の値で書き、本文は 0 以上の金額で表します。 ↩ ↩² ↩³

14. 前掲の Brigo、Capponi の論文の 2 節（式 (2.4)〜(2.6)、6〜7 ページ）。論文の記号を、このページの記号に書き直しています。 ↩

15. 斎藤祐一「金融規制の複合的影響を考慮したXVA」（日本銀行金融研究所『金融研究』2017 年 4 月）の 2 節（2）の式 (2) と脚注 6（116 ページ）。脚注 6 は、割引係数に自社のクレジット・スプレッドを入れると自社の信用力の低下が CVA を減らすため、金融実務では自社のクレジット・スプレッドを加味しない場合もあると書いています。 ↩ ↩²

16. 斎藤祐一「金融規制の複合的影響を考慮したXVA」（日本銀行金融研究所『金融研究』2017 年 4 月）の 1 節（110 ページ）。 ↩

17. 前田壮一、長谷川達也「ＣＶＡリスク計測の枠組みの見直し」（『金融財政事情』2018 年 2 月 12 日号）の「信用評価調整（ＣＶＡ）とは」（33 ページ）。 ↩

18. 斎藤祐一「金融規制の複合的影響を考慮したXVA」（日本銀行金融研究所『金融研究』2017 年 4 月）の 2 節（2）（114 ページ）。 ↩

19. 川上高志「ヘッジ取引におけるデリバティブ信用評価調整の影響についての考察」（日本銀行金融研究所『金融研究』2018 年 4 月）の 5 節（149 ページ）。 ↩

20. 川上高志「ヘッジ取引におけるデリバティブ信用評価調整の影響についての考察」（日本銀行金融研究所『金融研究』2018 年 4 月）の 125 ページの脚注 8。 ↩

21. 同じ資料の 2 節（2）（126 ページ）。 ↩

22. 同じ資料の 5 節（149 ページ）。 ↩ ↩²

23. 同じ資料の 2 節（2）（126 ページ）。 ↩

24. 斎藤祐一「金融規制の複合的影響を考慮したXVA」（日本銀行金融研究所『金融研究』2017 年 4 月）の 119 ページの脚注 12。論文は Gregory の指摘として、CVA と DVA ではクローズ・アウト期間を考えた時間幅を置くと書いています。 ↩

25. 前田壮一、長谷川達也「ＣＶＡリスク計測の枠組みの見直し」（『金融財政事情』2018 年 2 月 12 日号）の「ＦＲＴＢとの整合性」（34 ページ）と「標準的方式（ＳＡ－ＣＶＡ）」（36 ページ）。 ↩