グリークス

オプションを建値して売買するトレーダーは、持ち高のデルタを見て、ヘッジで売買する原資産の株数を決めます。リスク管理の担当は、ガンマやベガを見て、原資産の価格やボラティリティが動いたときの損益を見積もります。

グリークスは何を表すか

グリークスは、オプションの価格（プレミアム）を決める入力のうち 1 つだけが少し動いたとき、価格がどれだけ変わるかを表す量です。価格の動きを数値でつかみ、ヘッジの量を決めたり、損失の大きさを見積もったりするのに使います¹²。

原資産の価格 100、行使価格 100、残存期間（満期までの期間）1 年のヨーロピアン・オプションのコール・オプション（コール）の架空の例で考えます。無リスク金利（信用リスクなどのない金利）は年 1%（連続複利）、配当はなし、ボラティリティは 20% とします。

オプションの理論価格を原資産の価格、行使価格、残存期間、金利、ボラティリティから求めるブラック・ショールズの式では、このコールの理論価格は 8.43 です。求め方はブラック・ショールズ・モデルで扱います。このコールのデルタは 0.5596 で、デルタから見積もると、原資産の価格が 1 上がったときにコールの価格はおよそ 0.56 上がります。

オプションの価格は、原資産の価格、ボラティリティ、残存期間、金利などで変わります。グリークスはその 1 つずつに対応していて、主なものは次の 5 つです³。コールとプットの基本はオプションの基本（コールとプット）で扱います。

このページでは、ベガとローをボラティリティや金利の 1%（0.01）あたり、セータを 1 日（1 年を 365 日とする）あたりの値で示します。資料によっては 1.00（100%）あたりや 1 年あたりの値で書くため、ほかの資料の数値と比べるときは単位をそろえます⁴。値は小数第 4 位までに丸めています。

深掘り偏微分としての定義とコールの式

グリークスは、オプションの価格 $C$ を入力で偏微分した値です。デルタは $\partial C / \partial S$、ガンマは $\partial^2 C / \partial S^2$、ベガは $\partial C / \partial \sigma$ です⁵。ローは $\partial C / \partial r$ です⁶。セータは残存期間 $T$ が減る向きの変化で、$-\partial C / \partial T$ です⁵。

配当利回り $q$ のある原資産のコールでは、デルタ、ガンマ、ベガ、セータは次の式になります⁵。$N(\cdot)$ は標準正規分布の累積分布関数、$\phi(\cdot)$ は標準正規分布の密度関数で、$d_1$、$d_2$ はブラック・ショールズの式と同じです。

$$d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r - q + \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}$$ $$d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$$ $$\text{デルタ} = e^{-qT} N(d_1)$$ $$\text{ガンマ} = \frac{e^{-qT}\phi(d_1)}{\sigma S \sqrt{T}}$$ $$\text{ベガ} = e^{-qT} S \sqrt{T} \phi(d_1)$$ $$\text{セータ} = -\frac{e^{-qT} S \phi(d_1) \sigma}{2\sqrt{T}} + q e^{-qT} S N(d_1) - r K e^{-rT} N(d_2)$$

この式のベガはボラティリティ 1.00 あたり、セータは 1 年あたりの値です。このページの単位に直すときは、ベガを 100 で割り、セータを 365 で割ります。例のコールでは、式のベガ 39.4479 が 0.3945 に、式のセータ −4.4201 が −0.0121 になります。

原資産の価格が十分高いと、$N(d_1)$ と $N(d_2)$ は 1 に近づき、$S\phi(d_1)$ は 0 に近づきます。配当がなければ、セータの式は最後の項 $-rKe^{-rT}$ だけが残ります。例のコールと同じ条件（行使価格 100、残存期間 1 年、金利 1%）では、1 日あたり $-0.01 \times 100 \times e^{-0.01} \div 365 \approx -0.0027$ です。「原資産の価格によるグリークスの変化」の節で、コールのセータが 0 ではなく金利の分に近づくのはこのためです。

買いと売り、コールとプットでの符号

グリークスの符号は、コールかプットか、買いか売りかで決まります。コールの買いのデルタは 0 から 1 の間のプラスで、プット・オプション（プット）の買いのデルタは −1 から 0 の間のマイナスです³。売りでは、同じオプションの買いと符号が逆になります³。通貨オプションで使うデルタの種類は、通貨オプションの市場慣行（デルタ、ATM、リスクリバーサル）で扱います。例のコールと同じ条件のプットの値を並べると、次のとおりです。

コールのデルタからプットのデルタを引くと 0.5596 − (−0.4404) = 1 です。配当のない原資産では、同じ行使価格と満期のコールとプットのデルタの差は 1 になります⁷。この関係はプット・コール・パリティから出てきます。同じ理由で、ガンマとベガはコールとプットで同じ値になります⁸。どちらも買いならプラスで、ボラティリティが上がるとコールもプットも価格が上がります。

セータは、オプションの買いでは多くの場合マイナスです。時間がたつと、オプションの時間価値が減るためです⁹。ただし、金利が高いときの深いイン・ザ・マネー（今行使すれば利益が出る状態）のプットのように、買いのセータがプラスになる場合もあります¹⁰。ローは、この例ではコールがプラス、プットがマイナスで、金利が上がるとコールの価格は上がり、プットの価格は下がります。残存期間の短いオプションでは、ローを考えに入れる必要はあまりありません³。同じ条件で残存期間を 0.1 年にすると、コールのローは 0.0493 で、1 年のときの 0.4753 の 10 分の 1 ほどです。

価格の変化を見積もる計算例

グリークスに入力の変化の大きさを掛けると、価格の変化の見積もりになります。例のコールで、原資産の価格、ボラティリティ、時間、金利を 1 つずつ動かし、グリークスによる見積もりと、ブラック・ショールズの式で価格を計算し直した結果を比べます。動かす前の価格は 8.4333 です¹¹。

どの行も、見積もりと実際の変化の差は 0.01 以下です。原資産の価格の行では、実際の変化 0.5694 が見積もり 0.5596 より 0.0098 大きくなります。原資産の価格が 100 から 101 へ動く間に、デルタもガンマの分（およそ 0.0197）だけ増えるためです。動きが 2 倍なら見積もりも 2 倍にしますが、動きが大きいほどずれも大きくなります（「見積もりが外れる場面」の節）。

原資産の価格によるグリークスの変化

グリークスの値は、原資産の価格が変わると変わります。例のコールと同じ条件で、原資産の価格だけを変えた値は次のとおりです。

コールの買いのデルタは、原資産の価格が行使価格より十分低いと 0 に近く、十分高いと 1 に近づき、その間を S 字の形で増えます³。ガンマとベガは、原資産の価格が行使価格の近くにあるときに大きく、離れると 0 に近づきます³。コールのセータも、マイナスの幅は行使価格の近くで最も大きくなります。ただし、原資産の価格が十分低いと 0 に近づく一方、十分高いと 0 ではなく金利の分（この例では 1 日あたり −0.0027 ほど。理由は深掘り「偏微分としての定義とコールの式」）に近づきます¹²。

原資産の価格と行使価格が同じ 100 のとき、コールのデルタは 0.5 ではなく 0.5596 です。金利とボラティリティの分だけ、0.5 より少し大きくなります。残存期間が短くなると、デルタの S 字は行使価格の近くで急になります¹³。同じ条件で残存期間を 0.1 年にすると、原資産の価格 90 のデルタは 0.0528、110 のデルタは 0.9400 で、1 年のときの 0.3532、0.7345 より 0 と 1 に近くなります。

取引を組み合わせたときのグリークス

複数のオプションと原資産を組み合わせて持つとき、組み合わせ全体のグリークスは、取引ごとのグリークスに数量を掛けて足したものです。例のコールとプットを 1 単位ずつ買う組み合わせ（ストラドルの買い）では、「買いと売り、コールとプットでの符号」の表の値を足して、次のようになります。

組み合わせのデルタは 0.1192 と小さく、原資産の価格が少し動いても価格はあまり変わりません。一方で、ベガは 0.7890 と 1 つのオプションの 2 倍になり、ボラティリティが 1% 上がると組み合わせの価格はおよそ 0.79 上がり、1% 下がるとおよそ 0.79 下がります。セータは −0.0215 で、ほかの条件が同じまま 1 日たつと、価格はおよそ 0.02 下がります。

組み合わせの価格は取引ごとの価格の合計なので、その変化も取引ごとの変化の合計になり、グリークスも足し合わせられます¹⁴。売った取引は、符号を逆にして足します。

原資産そのものは、原資産の価格が 1 上がると 1 だけ値上がりするので、原資産 1 単位のデルタは 1 で、ガンマとベガは 0 です。例のコールを 1 単位買い、原資産を 0.5596 単位売ると、組み合わせのデルタは 0.5596 − 0.5596 = 0 になり、原資産の価格が少し動いても価格の変化はおよそ打ち消し合います。このようにデルタを 0 に近づけるヘッジをデルタ・ヘッジといいます¹。組み合わせのガンマはコールの 0.0197 のまま残るため、原資産の価格が動くとデルタは 0 からずれていきます。ガンマが大きいほどデルタが速くずれ、ヘッジの量を頻繁に直す必要があります¹⁵。

見積もりが外れる場面

グリークスによる見積もりは、入力の小さな変化に対するものです。原資産の価格が大きく動くと、その間にデルタ自体が変わるため、デルタだけの見積もりは実際の変化からずれます。デルタによる見積もり（デルタ × 原資産の価格の変化）にガンマの分（ガンマ × 原資産の価格の変化 × 原資産の価格の変化 ÷ 2）を足すと、実際の変化に近づきます²。例のコールで、原資産の価格が 10 上がる場合と 10 下がる場合を比べます。

図の説明

デルタだけの見積もりは、動かす前の点から離れるほど計算し直した価格より下にずれ、デルタとガンマの見積もりは計算し直した価格のすぐ近くを通ります。例のコールの価格を原資産の価格 90 から 110 まで、計算し直した価格、デルタだけの見積もり、デルタとガンマの見積もりの 3 本で描いた図です（凡例は「再計算」「デルタのみ」「デルタとガンマ」）。3 本は原資産の価格 100 で 8.43 に重なります。110 では、計算し直した価格が 14.94、デルタだけが 14.03、デルタとガンマが 15.02 です。90 では、計算し直した価格が 3.86、デルタだけが 2.84、デルタとガンマが 3.82 です。デルタとガンマの線は、計算し直した価格の線にほぼ重なります。差は丸める前の値で出しているため、表示した値の差とは 0.01 ずれることがあります。

デルタだけの見積もりは、上がる場合に実際の上昇をおよそ 0.9 小さく、下がる場合に実際の下落をおよそ 1.0 大きく見積もります。コールの買いのガンマはプラスなので、原資産の価格が上がるとデルタが増えて上昇が大きくなり、下がるとデルタが減って下落が小さくなるためです。ガンマの分を足すと、差は 0.07 と 0.04 に縮まります。

デルタとガンマで損益を見積もるこの方法は、オプションを含むポートフォリオの損失の大きさを見積もるヒストリカル・バリュー・アット・リスク（VaR）の計算で使われることがあります²。

2013 年の Haugh の資料は、グリークスをブラック・ショールズの式で計算する前提で説明しています。この資料は、このモデルは現実の値動きと合わないところがあるとしています¹⁶。たとえば、デルタは原資産の価格が動いてもボラティリティが変わらないとして計算した値です。原資産の価格とともにボラティリティも動くなら、実際の価格の変化にはベガを通じた分も加わります¹⁷。

深掘りデルタ・ガンマ・ベガ近似の式

原資産の価格が $\Delta S$、ボラティリティが $\Delta \sigma$ だけ動いたときの価格の変化は、テイラー展開で次のように近似できます²。

$$\Delta C \approx \text{デルタ} \times \Delta S + \frac{1}{2} \times \text{ガンマ} \times (\Delta S)^2 + \text{ベガ} \times \Delta \sigma$$

$\Delta \sigma = 0$ のときをデルタ・ガンマ近似といいます。上の表の「デルタとガンマ」の行は、この式で $\Delta S = 10$ と $\Delta S = -10$ とした値です。ベガをこのページの単位（1% あたり）で使うときは、$\Delta \sigma$ も % の数で入れます。

注

1. 日本取引所グループ「デルタ（用語集）」。 ↩ ↩²

2. Haugh "Black-Scholes and the Volatility Surface" の 11〜12 ページ "Delta-Gamma-Vega Approximations to Option Prices"。 ↩ ↩² ↩³ ↩⁴

3. 大阪取引所「理論（北浜投資塾）」の「リスク管理が最重要」の節（デルタ、ガンマ、セータ、ベガ、ローの説明と、コールとプットの買いと売りでの値の表）。 ↩ ↩² ↩³ ↩⁴ ↩⁵ ↩⁶

4. ベガとローを 1%、セータを 1 日あたりにするのは、このサイトのシミュレーターの単位です。大阪取引所「理論（北浜投資塾）」はローを短期金利 1% の変化で、日本取引所グループ「セータ（用語集）」はセータを 1 日で説明します。Haugh（7〜10 ページ）は、ボラティリティと金利は 1.00（100%）あたり、セータは 1 年あたりの偏微分で定義します。 ↩

5. Martin Haugh "Black-Scholes and the Volatility Surface"（Columbia University、2013 年）の 4 節 "The Greeks"（8〜10 ページ）。$d_1$ と $d_2$ は 3 ページの式 (13) の後。資料は標準正規分布の累積分布関数を $\Phi$ と書いています。 ↩ ↩² ↩³

6. 日本取引所グループ「ロー（用語集）」。ローを「オプション価格の変化額÷短期金利の変化幅」としています。 ↩

7. Haugh "Black-Scholes and the Volatility Surface" の 8 ページ。配当利回り $q$ があるときは、プットのデルタはコールのデルタから $e^{-qT}$ を引いた値です。 ↩

8. Haugh "Black-Scholes and the Volatility Surface" の 7 ページの "Put-Call Parity" と、8〜9 ページのガンマとベガの説明。 ↩

9. 日本取引所グループ「セータ（用語集）」。 ↩

10. Haugh "Black-Scholes and the Volatility Surface" の 11 ページ "Options Can Have Positive Theta"。 ↩

11. 価格は、このサイトのブラック・ショールズの計算（src/lib/simulators/black-scholes.ts）で求め、小数第 4 位までに丸めています。例のコールの価格 8.43 は、8.4333 を小数第 2 位までに丸めた値です。 ↩

12. このサイトのブラック・ショールズの計算（src/lib/simulators/black-scholes.ts）で、例のコールと同じ条件で原資産の価格を 200 にしたときのセータは −0.0027 です。 ↩

13. Haugh "Black-Scholes and the Volatility Surface" の 8 ページ（Figure 2(b) の説明）。 ↩

14. 日本取引所グループ「デルタ（用語集）」は、デルタ 0.3 のコール・オプション 10 単位（1 単位 1,000 株）の買いのデルタを 0.3×10×1,000＝3,000（株）と、1 単位のデルタに数量を掛けて求めています。 ↩ ↩²

15. 日本取引所グループ「ガンマ（用語集）」。 ↩

16. Haugh "Black-Scholes and the Volatility Surface" の 7 ページ（"The Greeks" の節の冒頭）。 ↩

17. Haugh "Black-Scholes and the Volatility Surface" の 8 ページ（デルタの式の後の段落）。 ↩