デルタ・ヘッジ

トレーディングでオプションの持ち高を管理する場面では、デルタ・ヘッジが原資産をどれだけ売買するかを決める基準になります。

デルタ・ヘッジで何を打ち消すか

オプションのデルタは、原資産の価格が少し動いたときのオプションの価格の変化の比です。デルタと同じ量の原資産を反対の向きに持つと、原資産の価格の小さな動きによるオプションの損益を、原資産の損益でおよそ打ち消せます。このようにデルタを使ってオプションの値動きのリスクを抑えるヘッジを、デルタ・ヘッジといいます¹。デルタなどのグリークスの定義と符号はグリークスで扱います。

原資産の価格 100、行使価格 100、残存期間 0.5 年、金利 1%（連続複利）のコール・オプション（コール）を 1 単位売る架空の例で考えます。インプライド・ボラティリティは 20% で、コールはブラック・ショールズ・モデルの価格 5.88 で売れたとします。このコールのデルタは 0.5422 なので、売り手は原資産を 0.5422 単位買います。原資産の価格が 100 から 101 に上がると、コールの価格は 5.8760 から 6.4322 へ 0.5562 上がって売り手の損になり、持っている原資産は 0.5422 値上がりして売り手の益になります。打ち消せずに残るのは差の 0.0140 です。原資産の価格が下がるときは、損と益の向きが逆になります²。

オプションと原資産を合わせた持ち高のデルタが 0 になっている状態を、デルタ・ニュートラルといいます³。オプションが何単位もあるときは、1 単位のデルタに数量を掛けてヘッジする原資産の量を求めます¹。たとえば国債先物を原資産にする国債先物オプションでは、オプションのデルタを国債先物の枚数に換算し、国債先物を売買してデルタ・ニュートラルにします³。

ただし、デルタは原資産の価格が動いたり時間がたったりすると変わるため、一度合わせたデルタ・ニュートラルは続きません。デルタが原資産の価格で変わる度合いがガンマです。理論の上ではデルタを絶えず合わせ直しますが、実際には連続して売買できないため、決めた時点ごとに合わせ直します⁴。これをリヘッジといいます。

図の説明

行使価格 100、残存期間 0.5 年、金利 1%、ボラティリティ 20% のコールで、原資産の価格を 70 から 130 まで動かしたときのデルタの曲線です。デルタは原資産の価格が低いほど 0 に近く、価格が上がるにつれて大きくなり、高いところでは 1 に近づきます。行使価格の 100 では約 0.54 です。

ヘッジの手順と損益の計算例

オプションを売った側のデルタ・ヘッジは、次の順に進みます⁵⁶。時点 0 でオプションを売ってプレミアムを受け取り、デルタの量の原資産を買います。買うのに足りない分は借り入れ、現金の残高には金利が付きます。決めた時点ごとにデルタを計算し直し、持っている量との差を売買します。満期にオプションのペイオフ（払い出し）を払い、持っている原資産を売って閉じます。最後に残った現金が、ヘッジした売り手の損益です。

リヘッジの間隔を $\Delta t$、金利を $r$、時点 $k$ の原資産の価格を $S_k$、そこで求めたデルタを $\delta_k$、満期までにヘッジする回数を $n$（時点 $0$ から $n-1$ まで）とすると、時点 $k$ で売買した後の現金の残高 $B_k$ は次の式で求まります。前の残高に金利を付け、デルタが増えた分の原資産の代金を払います（デルタが減ったときは売った代金を受け取ります）。

$$B_k = B_{k-1}\, e^{r \Delta t} - (\delta_k - \delta_{k-1})\, S_k$$

時点 0 の残高は、受け取ったプレミアムから $\delta_0 S_0$ を引いた値です。満期 $T$ では、残高に金利を付け、持っている $\delta_{n-1}$ 単位の原資産を $S_T$ で売り、行使価格 $K$ のコールのペイオフ $\max(S_T - K, 0)$ を払います⁵。

前の節のコールを売り、時点 0、0.125 年、0.25 年、0.375 年の 4 回、原資産を売買する例です。原資産の価格は 100 から 104、98、101 と動き、満期に 103 になったとします。デルタはインプライド・ボラティリティ 20% で求め、原資産の量は小数第 4 位までにします。0.125 年分の金利は、残高に 1.00125078（$e^{0.01 \times 0.125}$）を掛けて付けます。

時点 0 の残高は、プレミアム 5.8760 から原資産の代金 54.2200 を引いた −48.3440 です。0.125 年では、残高に金利を付けた −48.4045 から、原資産 0.1177 単位の代金 12.2408 を引いて −60.6453 になります。満期には、残高に金利を付けた −53.0758 に、原資産 0.5768 単位を 103 で売った 59.4104 を足し、コールのペイオフ 3 を払います。残る現金 3.3346 が売り手の損益で、時点 0 の価値に割り引くと 3.3180 の益です⁷。

同じコールでも、原資産の価格が 108、95、107 と大きく上下し、満期に 97 になった経路では結果が逆になります。満期のコールのペイオフは 0 ですが、売り手の損益は −4.4888（時点 0 の価値で −4.4664）の損です⁷。売り手のデルタ・ヘッジでは、原資産の価格が上がるとデルタが増えて原資産を買い足し、下がるとデルタが減って売ります。値動きが大きいと、高く買って安く売る分が大きくなり、損が出ます。反対に、コールを買ってデルタ・ヘッジした側は、この 2 つの経路で損と益が逆になります。オプションの買い手にとっては、価格が動くと有利な向きにデルタが変わります。そのため、価格が大きく動くと買い手に益が出て、売り手に損が出ます⁸。

A 銀行が同じコールを 100 単位売る架空の例で考えます。表の買う量と損益はすべて 100 倍になり、時点 0 で買う原資産は 54.22 単位です。割り引く前の損益は、100、104、98、101 と動いた経路で 333.46 の益、108、95、107 と動いた経路で 448.88 の損になります。同じ売りでも、原資産の価格の経路によって益にも損にもなります。

リヘッジの回数と損益のばらつき

原資産の価格がインプライド・ボラティリティと同じ大きさで動くなら、間をおいたリヘッジでも損益の平均はほぼ 0 で、ばらつきはリヘッジの回数を 4 倍にするとおよそ半分になります⁹¹⁰。前の節の例と同じコールの売りを、原資産の価格の経路を乱数で 2,000 本作って確かめます（モンテカルロ法）。満期までに実際に起きた値動きの大きさ（年率）を、実現ボラティリティといいます。経路は、実現ボラティリティが 20% になるように作り、原資産の価格は平均して金利と同じ率で増えるとします¹¹。

時点 0 の最初のヘッジを含めて満期までに 50 回ヘッジすると、損益の平均は −0.03（平均の標準誤差 0.02）で、ほぼ 0 です。標準偏差は 0.68 で、2,000 本の経路の 90% は −1.16 から 1.08 の間に入ります。回数を変えたときの損益の標準偏差は次のとおりです。

1 回は、時点 0 にだけヘッジしてその後は直さない場合です。12 回から 50 回、50 回から 200 回と約 4 倍にするごとに、標準偏差はおよそ半分になります。

ばらつきの大きさは、オプションのベガ（ボラティリティが変わったときの価格の変化）$\nu$、ボラティリティ $\sigma$、ヘッジの回数 $N$ から、次の近似式で見積もれます¹²。

$$\sigma_{\text{P\&L}} \approx \sqrt{\frac{\pi}{4}}\, \frac{\nu\, \sigma}{\sqrt{N}}$$

例のコールのベガはボラティリティ 1.00 あたり 28.05（1% あたりでは 0.2805）で、$N = 50$ なら $0.886 \times 28.05 \times 0.2 \div \sqrt{50} \approx 0.70$ です。表の右の列はこの式の値で、回数が 12 回以上ではシミュレーションの値に近くなります。1 回のように回数が少ないと、近似が粗くなります。間をおいて価格を見ると、その間の値動きの大きさ（ボラティリティ）を少ない数の観測で測ることになり、測った値に誤差が出ます。ヘッジで得られる価値もその誤差の分だけずれるため、ばらつきはベガに比例し、回数の平方根に反比例します¹³。

実現ボラティリティが想定と違うとき

オプションの価格はボラティリティが高いほど高いため、売ったときのインプライド・ボラティリティより実現ボラティリティが大きいと、デルタ・ヘッジした売り手は平均して損をします。実現ボラティリティが小さければ、平均して益が出ます¹⁴。原資産の価格が平均して金利と同じ率で増えるとき、損益の平均は、実現ボラティリティで値付けしたオプションの価格と、売った価格の差に近づきます¹⁵。

例のコール（売った価格 5.88）で、実現ボラティリティを変えて 50 回ヘッジした結果は次のとおりです¹¹。

理論値は、売った価格から実現ボラティリティで値付けした価格を引いた差です。実現ボラティリティが 30% なら 5.8760 − 8.6776 = −2.8016 で、およそ 2.80 の損です。15% なら 5.8760 − 4.4730 = 1.4030 で、およそ 1.40 の益です。コールを買ってヘッジした側では、同じ表の損益の符号が逆になります。

1 本 1 本の経路の損益は、平均の周りにばらつきます。デルタ・ヘッジの損益は、実現ボラティリティの大きさだけでなく、原資産の価格がたどった経路によっても変わるためです¹⁶。実現ボラティリティが 30% の行の標準偏差 1.67 が大きいのは、デルタを実現ボラティリティと違う 20% で求めていることにもよります（次の節）。損益をガンマと時間の経過（セータ）に分ける式と、経路による違いはガンマとベガの管理で扱います。

デルタを求めるボラティリティによる違い

原資産の期待収益率が金利と同じなら、デルタを実現ボラティリティで求めるか、インプライド・ボラティリティで求めるかで、損益の平均は変わりませんが、ばらつき方が変わります¹⁵。実現ボラティリティをあらかじめ知っていて、それでデルタを求めて絶えずヘッジすると、満期の損益は経路によらず、実現ボラティリティで値付けした価格と売買した価格の差に決まります¹⁷。ただし、満期までの途中の損益は経路によって上下します¹⁷。インプライド・ボラティリティでデルタを求めると、満期の損益は経路によって変わり、前もって決まりません¹⁸。

間をおいてヘッジするときも、この違いが残ります。デルタを求めるボラティリティが実現ボラティリティと違うと、ヘッジの回数を増やしても損益のばらつきはあまり減りません¹⁹。例のコールの売りで、実現ボラティリティを 30% にしたときの損益の標準偏差は次のとおりです¹¹。

実現ボラティリティで求めたデルタでは、回数を 4 倍にすると標準偏差がおよそ半分になります。インプライド・ボラティリティで求めたデルタでは、50 回から 200 回にしても 1.67 から 1.39 にしか下がりません。損益の平均は、どちらも −2.8 前後で、理論値の −2.80 に近くなります。原資産の期待収益率が金利と同じなら、デルタの求め方やヘッジの回数によらず、損益の平均は同じ値になるためです¹⁵。

実際には満期までの実現ボラティリティを前もって知ることはできず、値動きの大きさも途中で変わります。そのため、Derman の講義資料は、トレーディングの部署ならそのときどきのインプライド・ボラティリティでデルタを求めるだろうとしています。このインプライド・ボラティリティは、直近の実現ボラティリティとともに動きますが、同じではありません²⁰。

リヘッジの回数と取引の費用

リヘッジを増やすとばらつきは減りますが、原資産を売買するたびに費用がかかるため、費用で失う分は増えます。回数を減らすと費用は減りますが、損益の不確かさは大きくなります²¹²²。このページのシミュレーターは売買の費用を入れていないため、回数を増やすほど標準偏差は下がり続けます。

時点を決めてリヘッジする代わりに、デルタが決めた幅以上に変わったときだけリヘッジする方法もあります²³。Derman の講義資料の計算例では、売買の代金の 0.1% の費用がかかるとき、デルタが 0.02 動くごとにリヘッジしています。リヘッジは 202 回で、費用による損失は 0.63、損益の標準偏差は 0.38 でした。同じ例では、1,000 の時点のすべてでリヘッジする場合より、費用による損失も損益のばらつきも小さくなっています²³。

リヘッジの必要そのものを減らすには、ガンマが 0 に近くなるように、ほかのオプションと組み合わせた持ち高にする方法があります²²。オプションを組み合わせてガンマを管理する方法は、ガンマとベガの管理で扱います。

デルタ・ヘッジで残るリスク

ここまでの計算は、原資産の価格が飛ばずに動き、ボラティリティが満期まで一定で、売買の費用がないブラック・ショールズ・モデルの前提に立っています。間をおいたヘッジの誤差は、ほかの前提がすべて正しくても残ります²²。実際には、価格の飛び、将来のボラティリティの変化、売買の費用も加わるため、オプションを売ってヘッジする側が見込んでおく損益の幅は、さらに大きくなります²²。

オプションの価格の変化は、デルタの項、ガンマの項（原資産の価格の変化の 2 乗に比例）、ベガの項（ボラティリティの変化に比例）に分けて近似できます²⁴。デルタ・ヘッジで 0 にできるのはデルタの項だけで、原資産の価格が大きく動いたときのガンマの項と、インプライド・ボラティリティが動いたときのベガの項は残ります。

注

1. 日本取引所グループ「デルタ（用語集）」。デルタ 0.3 のコール 10 単位（1 単位 1,000 株）の買いを、0.3×10×1,000＝3,000 株の売りでヘッジする例を挙げています。 ↩ ↩²

2. 価格とデルタは、ブラック・ショールズの式で求めた値です。価格は 5.8760、デルタは 0.5422、原資産の価格が 101 のときの価格は 6.4322 です。 ↩

3. 服部孝洋「国債先物オプション入門」（日本取引所グループ、2022 年）の 41 ページ（小見出し「ガンマ・トレーディング」、7.3 節）。ATM のコール 100 枚の買いのデルタを国債先物 50 枚分とし、国債先物 50 枚の売りでデルタを 0 にする例を挙げ、デルタを 0 にする持ち高をデルタ・ニュートラルと呼んでいます。 ↩ ↩²

4. Martin Haugh "Black-Scholes and the Volatility Surface"（Columbia University、2013 年）の 5 節 "Delta Hedging"（12 ページ）。 ↩

5. Haugh の 5 節 "Mechanics of the Excel spreadsheet"（13 ページ）の式 (25)、(26)。資料は利息を $r \Delta t$（単利）で付け、配当利回り $q$ を入れています。本文の式は連続複利で、配当なしです。 ↩ ↩²

6. Michael Kamal "When You Cannot Hedge Continuously"（Goldman, Sachs & Co.、1998 年）の 2 ページ。 ↩

7. ブラック・ショールズのデルタから求め、原資産の量と金額を小数第 4 位に丸めて計算した値です。時点 0 の価値への割引は、損益に $e^{-0.01 \times 0.5} = 0.99501248$ を掛けています。 ↩ ↩²

8. 服部孝洋「国債先物オプション入門」の 41〜43 ページ（小見出し「ガンマ・トレーディング」、7.3 節）。 ↩

9. Kamal の 3 ページ（Table 1 と、その後の段落）。残存期間 1 か月の ATM のプットを 21 回と 84 回ヘッジした 5 万本の経路で、損益の平均はほぼ 0、標準偏差はプレミアムの 16.3% と 8.1% です。 ↩

10. Emanuel Derman "Lecture 2: Dynamic Replication"（2008 年）の 2.6.1 節（28 ページ）。残存期間 1 か月の ATM のオプションを実現と同じ 20% で求めたデルタでヘッジし、期待収益率を金利と同じにした例で、21 回から 84 回にすると標準偏差は 0.42 から 0.21 です。 ↩

11. このサイトのシミュレーターで、乱数のシード 1、経路 2,000 本で計算した値です。原資産の価格は、実現ボラティリティの幾何ブラウン運動で、期待収益率を金利と同じ 1% として動かしています。損益はオプション 1 単位あたりで、時点 0 の価値に割り引いています。 ↩ ↩² ↩³

12. Kamal の 4 ページの式 (1)〜(3)。資料はベガを $\kappa$ と書き、係数 $\sqrt{\pi/4}$ を 0.886 としています。資料の $N$ はリヘッジの回数で、近似式の列は、時点 0 の最初のヘッジを含めた回数を $N$ に入れて計算しています。 ↩

13. Kamal の 4〜5 ページ（"Understanding the Results Intuitively"）。 ↩

14. Haugh の 5 節 "Some Answers to Delta-Hedging Questions"（13 ページ）。 ↩

15. Derman "Lecture 3: Transactions Costs"の 3.1 節（3 ページ）。原資産の期待収益率が金利と同じなら、デルタの求め方によらず、ヘッジしなくても、コールの価値の期待値はブラック・ショールズの価格になります。 ↩ ↩² ↩³

16. Haugh の 5 節（13 ページ）の式 (27) と、その前後の段落。 ↩

17. Derman の Lecture 2 の 2.5.1 節 "Hedging with Realized (Known) Volatility"（18〜21 ページ）。 ↩ ↩²

18. Derman の Lecture 2 の 2.5.2 節 "Hedging with Implied Volatility"（22〜24 ページ）。 ↩

19. Derman の Lecture 2 の 2.6.1 節（28〜29 ページ）。インプライド・ボラティリティ 40% でデルタを求め、実現ボラティリティ 20% で動かした例で、回数を 4 倍にしても標準偏差が同じようには減りません。 ↩

20. Derman の Lecture 2 の 2.5.2 節（24 ページ、節の終わり）。 ↩

21. Derman の Lecture 3 の 3.2.1 節 "Rehedging at regular intervals"（4 ページ）。 ↩

22. Kamal の "Trading Volatility and its Risks"（5 ページ）。 ↩ ↩² ↩³ ↩⁴

23. Derman の Lecture 2 の 2.6.1 節（28 ページ）と、Lecture 3 の 3.2.1 節（4〜5 ページ）。ATM のコールの例で、デルタの幅 0.02、費用 0.1% のとき 202 回のリヘッジで損失 0.63、標準偏差 0.38 です。 ↩ ↩²

24. Haugh の 4 節 "Delta-Gamma-Vega Approximations to Option Prices"（11〜12 ページ）。 ↩