エキゾチック商品のヘッジの難しさ

エキゾチック・オプションを売ってヘッジする業務や、その持ち高の限度と評価を決める業務で問題になるのが、バニラ・オプションのデルタ・ヘッジが崩れる場面です。

バニラ・コールのヘッジの前提

デルタ・ヘッジは、オプションの価値が原資産の価格の変化に対して動く量（デルタ）に合わせて、原資産を持つ方法です。手順と損益はデルタ・ヘッジで扱います。この方法は、ペイオフが不連続なものやバリアで権利が消えるものなど、エキゾチック・オプションの一部で崩れます。

バニラのコール・オプションでは、デルタ、ガンマ、ベガがいつも正で、原資産の価格に対してなめらかに動きます¹。エキゾチック・オプションでは、この性質が次の理由で崩れます。

• ペイオフが不連続で、満期の近くでデルタが急に大きくなります。
• バリア・オプションでは、バリアに触れると権利が消え、バリアの近くでデルタ、ガンマ、ベガの符号が変わります。
• 価格がボラティリティ・スマイルの動き方やモデルの選び方に左右され、ヘッジに必要な量も変わります。
• 複数の原資産の相関のように、バニラ・オプションでは取りにくいリスクが残ります。

ブラック・ショールズ・モデルの前提（ボラティリティと金利が一定、配当なし、費用なしで連続して売買できる）で、金利 1%、ボラティリティ 20% の架空の例で考えます²。

満期の近くのデジタルとピン・リスク

Q 社が、行使価格 100 円で、満期の原資産の価格が 100 円を超えれば 1 単位あたり 10 円を払うデジタル・オプション（コール）を、1 億単位売ったとします。Q 社が払う金額は、最大でも 10 億円です。

このデジタル・コールのデルタは、次の式で表されます³。

$$\Delta = \frac{Q\, e^{-rT}\, \phi(d_2)}{S\, \sigma \sqrt{T}}, \qquad d_2 = \frac{\ln(S/K) + (r - \sigma^2/2)\,T}{\sigma \sqrt{T}}$$

$Q$ は 1 単位あたりの支払額（10 円）、$K$ は行使価格、$S$ は原資産の価格、$T$ は満期までの年数、$r$ は金利、$\sigma$ はボラティリティ、$\phi$ は標準正規分布の密度関数です。分母に $\sqrt{T}$ があるため、価格が行使価格の近くにあるまま満期が近づくと、デルタは限りなく大きくなります。満期の 1 日前（1/250 年）に、価格が 98 円から 102 円まで動いたときの、Q 社のデルタ・ヘッジの持ち高は次のとおりです²。

図の説明

横軸を満期 1 日前の原資産の価格（98 円から 102 円）、縦軸を 1 単位あたりのデルタとして、上の表のデルタを折れ線で結んだ図です。デルタは 98 円の 0.894 から行使価格 100 円の 3.154 まで上がり、102 円で 0.912 に戻る山の形です。バニラ・コールのデルタは 0 から 1 の間に収まるのに対し、このデジタルのデルタは行使価格の近くで 3 を超えます。行使価格の近くでヘッジの持ち高が急に膨らむことが読み取れます。

1 億単位を売っているので、持つ原資産の数量（億株）はデルタに等しくなります。金額は、数量にその時点の価格を掛けた値です。価格が 100 円のとき、Q 社が持つ原資産は約 315 億円で、最大の支払額 10 億円の 30 倍を超えます。価格が 98 円から 100 円に上がる間に、Q 社は 2.260 億株を買い増します。売買のたびに 1 株あたり 0.05 円の費用がかかると仮定すると、この買い増しだけで 1,130 万円、98 円に戻るときの売りを合わせると 2,260 万円で、最大の支払額の 2.3% です。満期に 100 円を超えていれば Q 社は 10 億円を払い、超えていなければ払いません。どちらになるかが決まる直前まで、大きな持ち高を持ち続けます。

このように、満期の近くで原資産の価格が行使価格の近くを行き来すると、理論どおりのヘッジは大きな数量の売買を急いで繰り返すことを求めます。実際の市場では瞬時に売買できないため、小さな価格の動きによる損失や売買の費用が、売ったデジタルの最大の負債を上回ることがあります。これをピン・リスクといいます⁴。

バリアの近くで感応度が反転する

Q 社が、行使価格 100 円、バリア 120 円、満期 1 か月（1/12 年）のアップ・アンド・アウト・コールを売る架空の例で考えます。バリアは常に監視され、権利が消えたときの払い戻しはありません。次の表は、このオプション 1 単位あたりの価格と感応度で、バニラ・コールのデルタと並べています²。ベガは、ボラティリティが 1 ポイント（20% から 21%）上がったときの価格の変化です。

図の説明

横軸を原資産の価格（100 円から 119 円）、縦軸を 1 単位あたりのデルタとして、上の表の 2 つのデルタ（バリアは 120 円で、図の右端はそのすぐ手前）を折れ線で結んだ図です。点の間は直線で結んだだけなので、実際の動きとは異なります。バニラ・コールのデルタは 0.517 から 0.999 へ 1 に近づきながら上がります。アップ・アンド・アウト・コールのデルタは 100 円の 0.499 から 110 円の 0.158 へ下がり、115 円の −0.845 を経て 119 円の −1.350 まで負の側に下がります。2 本の線は 100 円付近で近い値から始まり、バリアに近づくほど逆の向きに開くことが読み取れます。

バニラ・コールのデルタは 1 を超えませんが、アップ・アンド・アウト・コールのデルタは、バリアの近くで −1 を下回ります。バリアに近づくほど、価格が上がると権利が消える見込みが強まるためです。ガンマも 100 円の正の値から、バリアの近くの負の値に変わります。ベガは、ボラティリティが上がると価格がバリアを越える見込みが高まり、権利が消える分だけ価値が下がるため、バリアの近くで負になります¹。

売り手の Q 社から見ると、符号はすべて逆です。売ったオプションの感応度の向きで言うと、デルタは 100 円では 0.499 単位の売り、115 円では 0.845 単位の買いです。ヘッジの売買はその逆で、100 円では 0.499 単位を買い、115 円では 0.845 単位を売ります。100 円から 115 円に上がる間に、1.344 単位（0.499 と 0.845 の和）を売る計算です。ベガも同じ向きで言うと、100 円では 1 ポイントあたり 0.099 の売り、115 円では 0.429 の買いに変わります。バニラ・オプションでベガをヘッジしていると、価格の水準によって、買うべきか売るべきかの向きが入れ替わります。

この表は、連続して費用なしで売買できる前提の値です。実際の市場には、売買の費用、離散的な売買、流動性の不足があり、バリアの近くの大きなデルタとガンマの変化は、そのままヘッジの誤差と費用になります¹。

スマイル、モデル、相関でヘッジ量が変わる

バニラ・オプションで求めたインプライド・ボラティリティは、行使価格ごとに異なります（ボラティリティ・スマイル）。そのため、エキゾチック・オプションの価格とヘッジの量は、スマイルが価格の動きに応じてどう動くかに左右されます。日本銀行金融研究所の論文は、スマイルの動き方を、価格が変わってもスマイルが動かない型（スティッキー・ストライク）、価格と同じ向きに同じ量だけ動く型（スティッキー・デルタ）、逆の向きに動く型（スティッキー・ツリー）に分けています。コールの売り持ちをヘッジするのに必要なデルタは、スティッキー・デルタのもとではブラック・ショールズのデルタより大きく、スティッキー・ツリーのもとでは小さくなります⁵。

デジタル・オプションは、価格にもスマイルの傾きが入ります。デジタルの受け取りは、コールの価格を行使価格で微分した形に当たるためです。行使価格 100 円、支払額 10 円、満期 1 年のデジタル・コールを、99 円と 101 円のコールを 5 単位ずつ組み合わせて近似する架空の例で考えます。スマイルがない（ボラティリティが 20% 一定）ときの価格は 4.75 円です。行使価格が 10 円上がるごとにインプライド・ボラティリティが 0.5 ポイント下がる傾きなら 4.95 円、0.5 ポイント上がる傾きなら 4.56 円です²⁶。1 億単位を売った Q 社にとって、スマイルがないときと比べて、傾きによる価格の違いは約 2,000 万円です（下げる傾きで +0.20 円、上げる傾きで −0.19 円に 1 億単位を掛けた値）。

バリア・オプションのように、途中の経路で権利が決まるエキゾチック・オプションは、流動性が低く、市場価格の信頼性も低くなります。そのため、バニラ・オプションの価格に合わせたモデルで時価を推定します。時価は、そのモデルでヘッジ戦略を組んだ場合の費用として決まるので、使ったモデルに依存します⁷。

もう 1 つ、バニラ・オプションでは取りにくいリスクが相関です。個別の株式や株式のバスケットのリスクは、株価指数の先物やオプションでヘッジすることが多く、この場合のヘッジは、指数と銘柄の相関が想定どおりかどうかに頼ります。想定どおりでなければヘッジが効かず、市場リスクが残ることがあります⁸。

置き換えとスタティック・ヘッジ

原資産の売買を繰り返す動的ヘッジは、組み直しのたびに売買の費用がかかります⁹。これに代わる方法として、次の 2 つがあります。

1 つ目は、デジタル・オプションを、行使価格をはさむ 2 つのバニラ・コールの組み合わせ（コール・スプレッド）で置き換える方法です。コール・スプレッドの受け取りはなめらかなので、限りなく大きなデルタを避けられます¹⁰。前の例で、行使価格 95 円と 105 円のコールを 1 単位ずつ組み合わせると、1 日前のデルタは価格が 98 円から 102 円のどこでも 0.989 から 1.000 に収まります²。代わりに、満期の受け取りがデジタルと一致しません。Q 社がデジタルを売り、このコール・スプレッドを買った場合の満期の結果は、次のとおりです（プレミアムは含めません）。

1 単位あたりの数値で、1 億単位なら差は 3 億円、5 億円、−3 億円になります。この例のデジタルは 100 円ちょうどでは払わないため、100 円では受け取りの 5 円が余ります。行使価格を 95 円と 100 円にして 2 単位ずつ組み合わせると、受け取りはどの価格でもデジタルの支払い以上になります。ただし、1 日前の価格 100 円で比べると、スプレッドの価格は 8.99 円で、デジタルの価格 4.99 円より約 4 円高くなります²。つまり、満期の受け取りが足りなくなる場面をなくす代わりに、先に高い費用を払います。

2 つ目は、スタティック・ヘッジです。バリア・オプションの取引を始めるときに、バニラ・オプションの組み合わせを作り、バリアに触れて権利が消えたとき以外は組み直しません¹¹。連続した売買が要らないので、売買の費用を抑えられます¹²。ただし、完全な複製をめざす既存の方法は、特定の行使価格と満期のオプションが売買できることや、原資産の分布についての強い仮定に頼ります¹³。ボラティリティを一定とみて作った組み合わせは、ボラティリティが変動したときのヘッジの誤差が大きくなります。変動のリスクまで見込んだ組み合わせは、流動性の低いオプションを多く必要とするため、実現そのものが難しくなります⁹。

どの方法も、費用か残る誤差と引き換えです。動的ヘッジは組み直しのたびの売買の費用、コール・スプレッドへの置き換えは先に払う高い費用か満期の受け取りの差、スタティック・ヘッジは前提と流動性の限りがそれに当たります。

限度、準備金、評価の価格

ヘッジの後に残るリスクは、感応度の限度、準備金、評価の方法で管理します。この節は、米国の連邦準備制度が検査官に示した手引きのうち、1998 年から 2006 年の版の記述にもとづきます。現在の規制や、すべての金融機関の標準の実務を示すものではありません。

オプションの持ち高には、デルタ、ガンマ、ベガ、セータ、ローのそれぞれに限度を設け、取引のリスクを抑えます¹⁴。市場が荒れているときや流動性が低いときは、取引そのものを制限することもあります¹⁴。

動的ヘッジに頼る持ち高には、流動性の低下という別のリスクもあります。動的ヘッジに頼る持ち高は、ヘッジを組み直せなくなったときに、実際のリスクが想定より高くなります。売ったオプションを持つ金融機関は、ボラティリティとガンマを売っている状態なので、市場の流動性が下がったときの影響が最も大きくなります¹⁵。

評価では、モデルの誤りや想定外の使い方によるモデル・リスクを管理します。複雑で流動性の低い証券を、モデルで評価してヘッジする場合に生じやすいリスクです¹⁶。取引の初日の利益の一部を繰り延べる準備金は、価格の不確かさや、持ち高を管理するリスクを見込むために置かれます。準備金の水準は、トレーダーやその部門が決められないようにするべきです¹⁷。

評価に使う価格には、ビッドとオファーの違い（ビッド・アスク・スプレッド）があります。ビッドとオファーのうち、買い持ちは低いほう、売り持ちは高いほうで評価する方法と、その中間の値で評価する方法があります。2003 年の時点では、中間の値を使う金融機関が多くありました¹⁸。中間の値で評価する場合に、中間の値より保守的な側に割り引くか上乗せした値で評価し、その差を準備金として置く金融機関もあります¹⁸。ビッドとオファーは持ち高を手じまえる価格なので、帳簿に載せる値は、準備金を引いた後でも、その範囲の外に出ないようにするべきです¹⁸。

注

1. Dominique Y. Dupont "Hedging Barrier Options: Current Methods and Alternatives"（2002 年）の冒頭の導入部（2〜3 ページ）と図 1（30 ページ）。アップ・アンド・アウト・コールのデルタとガンマが、バリアの近くで満期が近いときに大きな負になること、ベガがバリアの近くで負になり、その理由の説明があること、バニラの感応度がいつも正であること、売買の費用などの摩擦を書いています。 ↩ ↩² ↩³

2. ブラック・ショールズ・モデルの前提で、デジタル・コールは解析解、アップ・アンド・アウト・コールはバリアを常に見る（連続監視の）解析解で計算しました。デルタとガンマは価格を 0.01 円、ベガはボラティリティを 0.5 ポイント上下に動かした差分で、コール・スプレッドも同じ計算の差です。 ↩ ↩² ↩³ ↩⁴ ↩⁵ ↩⁶

3. OpenGamma Quantitative Research "Digital Forex Options" の 2 節 "Pricing in Garman-Kohlhagen model"（2 ページ）。デルタが標準正規分布の密度関数を $S\sigma\sqrt{T}$ で割った形になることを示しています。為替の記号は外貨の金利が 0 の場合に置き直し、支払額 $Q$ を掛けました。 ↩

4. Alison Etheridge "A Course in Financial Calculus"（2002 年）の第 6 章 6.1 節 Example 6.1.1（141 ページ）。満期の近くで価格が行使価格の周りを動くと、小さな価格の動きによるリスクや売買の費用が、売ったデジタルの最大の負債を上回りうるとし、これを "pin risk" と呼んでいます。 ↩

5. 新原祐喜「確率局所ボラティリティ・モデルのもとでのヘッジ戦略：最尤経路を利用したバリア・オプションの静的ヘッジ」（日本銀行金融研究所「金融研究」2011 年 10 月）の 2 節（1）イ「オプションのデルタ・ヘッジ」（128〜131 ページ）。 ↩

6. OpenGamma Quantitative Research "Digital Forex Options" の 3 節（2〜3 ページ）と 2 節末尾（2 ページ）。デジタルの受け取りをバニラの価格の行使価格での微分とみなし、同じ行使価格のインプライド・ボラティリティだけの値付けはバニラの価格と整合しないとしています。傾きの例は架空の値です。 ↩

7. 新原祐喜、前掲論文の 2 節（1）ロ「エキゾチック・オプションの時価評価と静的ヘッジ」（131〜132 ページ）。 ↩

8. Board of Governors of the Federal Reserve System "Trading and Capital-Markets Activities Manual"（2003 年 4 月）の Section 4345.1 "Equity Derivatives" の "Hedging"（3 ページ）。 ↩

9. 新原祐喜、前掲論文の 1 節「はじめに」（126 ページ）。動的ヘッジは頻繁なリバランスで多大な取引コストがかかり、ボラティリティが一定とみた静的ヘッジはヘッジ誤差が大きく、変動まで見込んだ静的ヘッジは流動性の低いオプションが多数要るとしています。 ↩ ↩²

10. OpenGamma Quantitative Research "Digital Forex Options" の 3 節（2〜3 ページ）。利点はモデルに依存せず、受け取りがなめらかで限りなく大きなデルタを避けられること、欠点は行使価格の近くで受け取りが一致しないことです。上から近似する置き方（super-replication）も選べます。 ↩

11. 新原祐喜、前掲論文の 2 節（1）ロ（132 ページ）。静的ヘッジの定義。 ↩

12. Dupont、前掲論文の冒頭の導入部（4 ページ）。市場の摩擦があると動的ヘッジは費用が大きくなりすぎ、実務では組み直しの頻度を下げ、静的ヘッジを採ると書いています。 ↩

13. Dupont、前掲論文の 1 ページ（要旨）。現在の静的ヘッジの方法は、完全な複製をめざすもので、特定の行使価格や満期の取引可能なオプションがあることや、原資産の分布についての強い仮定に頼ると書いています。 ↩

14. Board of Governors of the Federal Reserve System "Trading and Capital-Markets Activities Manual"（1998 年 2 月）の Section 2010.1 "Market Risk" の "Limits on options positions"（7 ページ）。 ↩ ↩²

15. 同じ資料の Section 2030.1 "Market Liquidity Risk of Trading Activities"（2006 年 9 月）の "Dynamic Hedging Risks"（2 ページ）。 ↩

16. 同じ資料の Section 2100.1 "Financial Performance"（2003 年 4 月）の "Pricing Models"（4 ページ）。 ↩

17. 同じ資料の Section 2100.1 の "Holdback Reserves"（7 ページ）。 ↩

18. 同じ資料の Section 2100.1 の "Revaluation"（3 ページ）。中間の値より保守的な側で評価し、中間の値の割引か上乗せを "holdback reserve" とする機関があること、ビッドとオファーの価格は準備金を除いた値の限度とみなし、持ち高を手じまえる値であるため、帳簿の値はその外に出るべきでないことも同じ箇所に書かれています。 ↩ ↩² ↩³