バリア・オプションは、為替や株式のオプションを売買する業務や、仕組債を組み立てる業務で出てきます。売り手のヘッジの業務では、バリアの近くの扱いが論点になります。

バリアの位置と触れたときの扱い

バリアの位置と、触れたときに権利が消えるか生まれるかで、バリア・オプションは 4 種類に分かれます。バリア・オプションは、行使価格のほかに、バリアと呼ぶ価格の水準を決めておくオプションです。満期の受け取りは、標準的なコールとプット（バニラ・オプション）と同じく、満期の価格と行使価格の差で決まります。ただし、その権利が有効かどうかは、満期までに原資産の価格がバリアを越えたかどうかで決まります1。ほかのエキゾチック・オプションとの位置づけはエキゾチック・オプションの全体像で扱います。

4 種類は、次の 2 つの軸の組み合わせです。バリアが今の価格より上にあるものをアップ、下にあるものをダウンといいます。バリアに触れると権利が消えるものをノックアウト（アウト）、触れて初めて権利が生まれるものをノックイン（イン）といいます。ノックアウトは、バリアに触れないまま満期を迎えれば、同じ行使価格と満期のバニラ・オプションと同じ受け取りになり、触れれば何も受け取れません。ノックインは逆で、触れたときにだけバニラ・オプションになります1。

種類 バリアの位置 バリアに触れたとき 触れなかったとき
ダウン・アンド・アウト 今の価格の下 権利が消える バニラと同じ
ダウン・アンド・イン 今の価格の下 バニラになる 権利がない
アップ・アンド・アウト 今の価格の上 権利が消える バニラと同じ
アップ・アンド・イン 今の価格の上 バニラになる 権利がない

表の 4 種類は、コール・オプション（コール）とプット・オプション（プット）のどちらにもあるため、組み合わせは 8 通りです1。以降の例は、満期にだけ行使できるヨーロピアン・オプションの形です。

契約によっては、バリアに触れたときに一定の金額を買い手に払うと決めておきます。この金額をリベートといいます。原理上はどの種類にも付けられますが、実際にリベートを付けるのはノックアウトだけで、権利が消えた買い手への埋め合わせの意味を持ちます1。

リベートはバリアに触れた時点で払うのが基本で、満期まで遅らせて払う契約もあります2。リベートを付けると、その分だけ買い手が払うプレミアムは高くなります3。触れた時点で払うリベートの価値は、バリアに触れたときに一定額を払うオプションの価値として求めます4。一定額を払うオプションの仕組みはデジタル・オプションで扱います。

買い手売り手プレミアム満期の支払い（消えていないとき）リベート（消えたとき）
図 1リベートの付いたノックアウトの受け払い
図の説明

リベートの付いたノックアウトの、買い手と売り手の間の受け払いを示します。買い手は取引の開始時に売り手にプレミアムを払います。満期までバリアに触れなければ、売り手は満期にバニラ・オプションと同じ金額を買い手に払います。バリアに触れて権利が消えたときは、満期の支払いの代わりに、売り手が決められたリベートを買い手に払います。リベートを払うのは、ふつうはバリアに触れた時点で、満期まで遅らせる契約もあります。

満期の受け取りは満期までの経路で決まる

バリア・オプションの受け取りは、満期の価格が同じでも、満期までの価格の動き方（経路）によって変わります。このように経路で受け取りが変わるオプションを、経路依存型オプションといいます5。

アップ・アンド・アウト・コールとアップ・アンド・イン・コールを、今の原資産の価格 100、行使価格 100、バリア 120、満期 1 年、リベートなしの架空の例で考えます。満期までの 4 つの経路で、満期の受け取りは次のとおりです。

経路 満期までの最高値 満期の価格 アップ・アンド・アウト アップ・アンド・イン バニラ・コール
A 115 110 10 0 10
B 125 110 0 10 10
C 105 95 0 0 0
D 130 125 0 25 25

経路 A と B は満期の価格がどちらも 110 ですが、B は途中で 120 に触れたため、アップ・アンド・アウトの権利は消え、アップ・アンド・インの権利が生まれています。経路 C は満期に行使価格を下回っており、どちらを持っていても受け取りは 0 です。経路 D では、アップ・アンド・アウトは権利が消えて受け取りは 0 です。アップ・アンド・アウト・コールは満期の価格が 120 未満のときにしか受け取りがないため、受け取りは大きくても 1 単位あたり 20（120 − 100）未満です。この例のように、行使すると利益が出る側（イン・ザ・マネーの側）にバリアを置いたノックアウトは、リバース・ノックアウトとも呼ばれます6。

イン・アウト・パリティ

ノックインとノックアウトを足すと、バニラ・オプションになります。満期にだけ行使できる（ヨーロピアンの）ノックインとノックアウトで、種類（コールかプット）、行使価格、バリア、満期が同じものを両方持つと、バリアに触れても触れなくても、どちらか一方がバニラ・オプションとして残ります。そのため、2 つの価格の和は、同じ条件のバニラ・オプションの価格に等しくなります7。この関係をイン・アウト・パリティといいます8。前の節の表でも、どの経路でもアップ・アンド・アウトとアップ・アンド・インの受け取りの和がバニラ・コールの受け取りと同じです。この関係は、リベートがないときのものです9。

ノックインの価格+ノックアウトの価格=バニラ・オプションの価格\text{ノックインの価格} + \text{ノックアウトの価格} = \text{バニラ・オプションの価格}

前の節の例（今の価格 100、行使価格 100、満期 1 年）に、金利 1%、ボラティリティ 20% を加え、バリアを常に見るとして価格を計算すると、次のようになります10。

バリアの種類（バリア） ノックアウトの価格 ノックインの価格 和（バニラ・コールの価格）
アップ（120） 1.12 7.31 8.43
ダウン（90） 6.88 1.56 8.43

アップ・アンド・アウト・コールは 1.12 で、バニラ・コールの 8.43 の 7 分の 1 に満たない値です。原資産の価格が上がってコールの価値が大きくなる経路で、権利が消えるためです。ダウン・アンド・アウト・コールは 6.88 で、バニラ・オプションに近い値です。権利が消えるのは原資産の価格が 90 まで下がったときで、コールの価値がもともと小さい経路だからです7。どちらの例でも、ノックアウトとノックインはバニラ・オプションより安く、その差は、権利が消える（生まれない）経路の分の価値です3。

何に使われるか

2011 年の日本銀行金融研究所の論文によると、バリア・オプションは為替や株式の市場で、単独で、または仕組債に組み込まれて売買されており、エキゾチック・オプションの中では取引量が最も多いとみられています11。1998 年の米国連邦準備制度理事会の検査の手引きは、店頭デリバティブのエキゾチック・オプションの主な種類の一つに、バリア・オプションを挙げています12。

使う主な理由として、ダーマンとカニの論文は次のようなものを挙げています。買い手は、起こりにくいと考える経路の分を払わずにすむため、プレミアムを抑えられます。また、ヘッジが要らなくなる場面で権利が消える形を選ぶと、ヘッジの目的に合わせやすくなります3。

原資産を 100 で買って持つ B 社が、105 まで上がったら売ると決めたうえで、それまでの 95 を下回る値下がりに備える架空の例で考えます。B 社は、行使価格 95、満期 1 年のバニラ・プットの代わりに、行使価格 95、バリア 105 のアップ・アンド・アウト・プットを買います。原資産を 105 で売れば、プットも同じ時点で要らなくなるためです3。前の節と同じ条件（金利 1%、ボラティリティ 20%、バリアを常に見る）で計算すると、プレミアムはバニラ・プットが 5.11、アップ・アンド・アウト・プットが 2.71 です10。原資産とプットを合わせた 1 単位あたりの損益は、経路によって次のように変わります。プレミアムは小数第 2 位に丸めた値を使い、プレミアムの金利は除きます。

経路 アップ・アンド・アウト・プット バニラ・プット
105 に触れずに満期に 80（プットで 15 を受け取る） −7.71 −10.11
105 に触れずに満期に 100 −2.71 −5.11
105 に触れ、決めていたとおり 105 で原資産を売る 2.29 −0.11
105 に触れたが原資産を売らず、満期に 80 −22.71 −10.11

最初の 3 つの経路では、プレミアムが 2.40 少ない分だけ、アップ・アンド・アウト・プットのほうが損益がよくなります。3 つ目の経路でバニラ・プットの損益は、プットの残りの価値を除いています。一方で、105 に触れたあとも原資産を持ち続け、そこから値下がりすると、プットは消えているため値下がりの損失をすべて負います。4 つ目の経路では、バニラ・プットなら −10.11 にとどまる損益が −22.71 になります。

売り手の側では、起こりにくいと考える経路でだけ支払いが生じるバリア・オプションを売り、プレミアムを受け取る使い方があります3。その経路が実際に起きたときは、売り手はバニラ・オプションを売ったときと同じ支払いを負います。

連続監視と離散監視

バリアに触れたかどうかを、満期まで常に見る方式を連続監視、決まった時点（毎日の終値など）にだけ見る方式を離散監視といいます。ブロディ、グラッサーマン、コウの 1997 年の論文によると、価格を計算する式の多くは連続監視を前提にしています。一方で、実際の契約のかなりの部分は、決まった時点でバリアを見ると定めています5。同じ論文は、監視の時点を決めていない契約では、主な市場が閉まっている間に流動性の低い市場の値でバリアに触れたとされるおそれがあることにも触れています13。

離散監視では、見ていない時点にバリアを越えて戻った経路は触れなかったことになります。そのため、連続監視よりバリアに触れにくく、ノックアウトは価格が高く、ノックインは低くなります。毎日見る場合でも、連続監視の価格と大きく違うことがあります13。ブロディ・グラッサーマン・コウの補正は、連続監視の式で離散監視の価格を近似する方法です。バリアを原資産の今の価格から遠ざける向きに、アップでは e0.5826 σΔte^{0.5826\,\sigma\sqrt{\Delta t}} 倍、ダウンでは e−0.5826 σΔte^{-0.5826\,\sigma\sqrt{\Delta t}} 倍ずらして計算します5。σ\sigma はボラティリティ、Δt\Delta t はバリアを見る間隔（年）です。

イン・アウト・パリティの節の表のアップ・アンド・アウト・コール（行使価格 100、バリア 120）で、連続監視の価格は 1.12 です。満期までに 50 回バリアを見る場合、補正でバリアを 121.99 に上げて計算すると 1.46 になります。見る回数を 200 回に増やすと 1.29 で、見る回数が多いほど連続監視の価格に近づきます10。論文の数値の例では、見る回数が減るにつれて、補正の近似の精度は少しずつ落ちます14。

シミュレーターバリアを見る回数とノックアウトの価格
入力
商品
オプションの種類
バリアの種類
年
%
%
本
回
1.151.201.251.301.351.401.451.501.552,0004,0006,0008,00010,000価格経路の数解析解 1.46推定値 1.45
  • モンテカルロ法の推定値
  • 解析解（監視の回数に補正）
モンテカルロ法の推定値
1.4484
標準誤差
0.0368
推定値 ± 標準誤差の 3 倍
1.3380 〜 1.5589
解析解（連続監視）
1.1242
解析解（50 回の監視に補正。バリア 121.99）
1.4592
推定値と比べる解析解の差（標準誤差の何倍か）
−0.29

単純化している点

  • 原資産の価格は幾何ブラウン運動に従い、ボラティリティと金利は満期まで一定、配当はないとします。
  • 乱数はシードを固定した疑似乱数（xoshiro128**）で、同じ入力なら毎回同じ結果になります。
  • デジタルは、満期に行使価格を超えて（プットは下回って）いれば 10 を受け取るキャッシュ・オア・ナッシングです。
  • バリアは決まった回数だけ見ます（離散監視）。解析解はバリアを常に見る（連続監視）式で、ブロディ・グラッサーマン・コウの補正でバリアをずらして比べます。補正は見る間隔が短いときの近似で、見る回数が少ないとずれます。

このシミュレーターは学習のために単純化した計算で、実際の取引の評価やリスク管理には使えません。（免責事項）

シミュレーターの説明

モンテカルロ法で原資産の価格の経路を 1 万本作り、バリアを見る回数だけ価格を確かめて、アップ・アンド・アウト・コールの価格を推定します。見る回数を変えて、推定値が、見る回数に合わせて補正した解析解と連続監視の解析解のどちらに近いかを見比べます。バリアの種類をアップ・アンド・インに変えると、アップ・アンド・アウトと足してバニラ・コールの価格になることを確かめられます。原資産の価格を上げていくと、連続監視の解析解が下がる場面を確かめられます。

バリアの近くではヘッジが難しい

バリア・オプションの売り手は、原資産を売買してリスクを打ち消すことができます。オプションの価値が原資産の価格の変化に対してどれだけ動くかをデルタといい、デルタに合わせて原資産を持つヘッジをデルタ・ヘッジといいます15。バリアの近くでは、このデルタが急に変わるため、ヘッジの売買が大きくなります。

アップ・アンド・アウト・コールでは、原資産の価格が上がると、満期の受け取りが増える見込みと、権利が消える見込みが同時に強まります3。イン・アウト・パリティの節の条件で原資産の価格を 100 から 110 に上げると、バニラ・コールの価格は 8.43 から 14.94 に上がりますが、アップ・アンド・アウト・コールは 1.12 から 0.74 に下がります10。バリアの手前ではデルタが正から負に変わります16。そのため売り手は、それまでヘッジのために買っていた原資産を売り、さらに売り持ちに回ることになります15。原資産の価格がバリアのすぐ手前にあると、わずかな値動きでバリアを越えた途端にデルタが不連続に変わるため、連続的にヘッジすることはできません17。

デルタの変化が大きいと、ヘッジを頻繁に組み直す必要があり、売買の費用がかさみます17。実際には好きなだけ短い間隔では売買できないため、組み直しが間に合わない分のヘッジの誤差も大きくなります18。この問題を和らげる方法として、取引の開始時にバニラ・オプションを組み合わせて持ち、その後は組み直さない静的ヘッジも研究されています19。

売り手の売買は、市場の値動きにも影響することがあります。日本銀行の 2007 年の解説は、行使価格 115 円、ノックアウトのバリア 125 円の円売りドル買いのオプションを売った金融機関の例で、この動きを説明しています。円安が進むと、金融機関は初めはドルを買い増しますが、バリアに近づくと、ドルを売る側に回ります。バリアに触れてオプションが消えると、その売り持ちを急いで解消します。同じバリアを持つオプションが多いと、相場の短期的な変動を大きくする方向に働くおそれがあります15。また、残存期間が短いほど、デルタが大きく変わり、ヘッジの売買も大きくなります20。

注

  1. Emanuel Derman、Iraj Kani "The Ins and Outs of Barrier Options: Part 1"（Derivatives Quarterly、1996 年冬号）の "BARRIER OPTIONS DEFINED" と Exhibit 1（56 ページ）。 ↩ ↩2 ↩3 ↩4

  2. Emanuel Derman、Iraj Kani "The Ins and Outs of Barrier Options: Part 2"（Derivatives Quarterly、1997 年春号）の 78 ページ。触れた時点で払うリベート（non-deferred）と、満期まで遅らせるリベート（deferred）の説明。 ↩ ↩2 ↩3

  3. Derman、Kani "The Ins and Outs of Barrier Options: Part 1" の "WHY USE BARRIER OPTIONS?" と "SPECIAL FEATURES OF BARRIER OPTIONS"（56〜57 ページ）。 ↩ ↩2 ↩3 ↩4 ↩5 ↩6

  4. Derman、Kani "The Ins and Outs of Barrier Options: Part 2" の 74 ページ。1 ドルのリベートの価値を、バイナリーのアップ・アンド・イン・コール、ダウン・アンド・イン・プットの価値として求めています。 ↩

  5. Mark Broadie、Paul Glasserman、Steven Kou "A Continuity Correction for Discrete Barrier Options"（Mathematical Finance、1997 年 10 月）の要旨と 1.1 節（325 ページ）。 ↩ ↩2 ↩3

  6. 日本銀行金融市場局「通貨オプション取引の増加と市場取引への影響」（日銀レビュー、2007 年 11 月）の注 5（6 ページ）。 ↩

  7. Derman、Kani "The Ins and Outs of Barrier Options: Part 1" の 58〜59 ページ。 ↩ ↩2

  8. Jr-Yan Wang（国立台湾大学）の講義資料 "Ch 8. Barrier Option" の 8-4 ページ（"In-out parity"）。ヨーロピアン・オプションで、バリアが同じノックインとノックアウトに成り立つ関係です。 ↩

  9. Derman、Kani "The Ins and Outs of Barrier Options: Part 2" の 80 ページ。リベートがない（zero rebate）ノックインとノックアウトの組み合わせの説明です。 ↩

  10. ブラック・ショールズ・モデルで、連続監視の式を使い、配当なしで計算して小数第 2 位に丸めた値です。式は Derman、Kani Part 2 の 77 ページ以降の付録にあり、離散監視の値はバリアをずらして求めます。 ↩ ↩2 ↩3 ↩4

  11. 新原祐喜「確率局所ボラティリティ・モデルのもとでのヘッジ戦略：最尤経路を利用したバリア・オプションの静的ヘッジ」（日本銀行金融研究所「金融研究」2011 年 10 月）の「1. はじめに」（126 ページ）。 ↩

  12. Board of Governors of the Federal Reserve System "Trading and Capital-Markets Activities Manual"（1998 年 2 月）の Section 4330.1 "Options" の "Exotic Options"（Page 2。PDF の 40 ページ）。 ↩

  13. Broadie、Glasserman、Kou "A Continuity Correction for Discrete Barrier Options" の 1.1 節（325〜326 ページ）。 ↩ ↩2 ↩3

  14. Broadie、Glasserman、Kou "A Continuity Correction for Discrete Barrier Options" の 2 節（331 ページ）。Table 2.2（見る回数と近似の精度）。 ↩

  15. 日本銀行金融市場局「通貨オプション取引の増加と市場取引への影響」の BOX「金融機関のノックアウト・オプションに関するデルタ・ヘッジ」（4 ページ）と本文（3〜4 ページ）。 ↩ ↩2 ↩3

  16. Derman、Kani "The Ins and Outs of Barrier Options: Part 1" の Exhibit 10 の説明（63 ページ）。 ↩ ↩2

  17. Derman、Kani "The Ins and Outs of Barrier Options: Part 1" の "INTERPRETING THE PLOTS"（60 ページ）。 ↩ ↩2 ↩3

  18. 新原祐喜「確率局所ボラティリティ・モデルのもとでのヘッジ戦略：最尤経路を利用したバリア・オプションの静的ヘッジ」の 3 節（1）の仮定 A の説明（147 ページ）。 ↩

  19. 新原祐喜「確率局所ボラティリティ・モデルのもとでのヘッジ戦略：最尤経路を利用したバリア・オプションの静的ヘッジ」の 3 節（2）「静的ヘッジ」（148〜149 ページ）。 ↩

  20. 日本銀行金融市場局「通貨オプション取引の増加と市場取引への影響」の BOX の 5 ページ。 ↩