デジタル・オプション

仕組債に組み込まれたデジタルの価格を評価する業務や、満期の近いデジタルを売って原資産でヘッジする業務で扱う商品です。

満期に決まった額か、何もないか

デジタル・オプションは、満期の原資産の価格が行使価格を超えたかどうかだけで、受け取りが決まるオプションです。英語ではバイナリー・オプション（binary option）とも呼ばれます。満期に行使価格を超えていれば決まった額を受け取り、超えていなければ何も受け取りません。超えた幅が大きくても、受け取る額は変わりません¹。

受け取るものが決まった現金のものをキャッシュ・オア・ナッシング、満期の原資産そのものの価値のものをアセット・オア・ナッシングといいます。どちらにも、満期の価格が行使価格を超えたときに受け取るコールと、下回ったときに受け取るプットがあります²。以下、特に断らないときはキャッシュ・オア・ナッシングを指し、満期にだけ条件を確かめるヨーロピアン・オプションを考えます。

原資産の今の価格が 100 円、行使価格が 100 円、満期に受け取る額が 10 円のキャッシュ・オア・ナッシングの架空の例で考えます。満期の価格ごとの受け取りは次のとおりです。比べるため、同じ行使価格の標準的なコール・オプション（以下、バニラ・コール）の受け取りも並べます。

バニラ・コールの受け取りは満期の価格とともに増えますが、デジタル・コールは行使価格を超えたところで 0 円から 10 円に跳び、その先は増えません。受け取る額と行使価格が同じデジタルのコールとプットを両方持つと、満期の価格がどうなっても 10 円を受け取ります³。満期の価格がちょうど行使価格に等しいときの扱いは、資料によって違います。シミュレーターは「超える」ときに払う扱いです⁴。

アセット・オア・ナッシングとバニラ

アセット・オア・ナッシングのコールは、満期の価格が行使価格を超えていれば、満期の原資産の価格と同じ額を受け取ります。満期の価格を $S_T$、行使価格を $K$ とし、支払額 1 のキャッシュ・オア・ナッシングのコールの受け取りを $\mathbf{1}_{\{S_T > K\}}$（超えていれば 1、そうでなければ 0）と書くと、アセット・オア・ナッシングのコールの受け取りは $S_T \mathbf{1}_{\{S_T > K\}}$ です²。

バニラ・コールの満期の受け取り $\max(S_T - K, 0)$ は、この 2 つを使って次のように分けられます⁵。

$$\max(S_T - K, 0) = S_T \mathbf{1}_{\{S_T > K\}} - K \mathbf{1}_{\{S_T > K\}}$$

右辺の 1 つ目はアセット・オア・ナッシングのコール 1 単位、2 つ目は支払額 1 のキャッシュ・オア・ナッシングのコール $K$ 単位です。満期の価格が 110 円なら、アセット・オア・ナッシングで 110 円を受け取り、キャッシュ・オア・ナッシングの分の 100 円を差し引いて 10 円になり、バニラ・コールの受け取りと一致します。満期の価格が 100 円以下なら、どちらも 0 円です。

価格と、価格が何で変わるか

ブラック・ショールズ・モデルの前提（原資産の価格が幾何ブラウン運動に従い、金利とボラティリティが一定）では、支払額 $Q$ のキャッシュ・オア・ナッシングのコールの今の価格は次の式になります⁶。$r$ は金利（連続複利）、$T$ は満期までの年数、$N$ は標準正規分布の累積分布関数です。モデルの前提と式の導き方はブラック・ショールズ・モデルで扱います。

$$C_{\text{digital}} = Q e^{-rT} N(d_2)$$

$d_2$ は、原資産の今の価格を $S$、ボラティリティを $\sigma$ として次のとおりです（配当がないとき）。

$$d_2 = \frac{\ln(S/K) + (r - \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}$$

プットは $N(d_2)$ を $N(-d_2)$ に替えた式で、コールとプットの価格の合計は、支払額を満期から割り引いた $Q e^{-rT}$ になります⁷。アセット・オア・ナッシングのコールの価格は、配当がないとき $S N(d_1)$（$d_1 = d_2 + \sigma\sqrt{T}$）です⁸。

最初の例（今の価格 100 円、行使価格 100 円、支払額 10 円）で、満期まで 1 年、金利 1%、ボラティリティ 20% とします。デジタル・コールの価格は 4.75 円、デジタル・プットは 5.15 円で、合計は 10 円を 1 年割り引いた 9.90 円です。同じ条件で、アセット・オア・ナッシングのコールは 55.96 円です。支払額 1 円のキャッシュ・オア・ナッシングのコール 100 単位は 47.53 円で、その差の 8.43 円がバニラ・コールのブラック・ショールズ・モデルの価格に一致します⁹。

デジタル・コールの価格は、原資産の価格が上がるほど高くなり、支払額を割り引いた額に近づきます。一方で、ボラティリティの影響の向きは、原資産の価格とボラティリティの水準によって逆になります。バニラ・オプションはボラティリティが上がると価格が上がりますが、デジタル・コールでは次の表のとおりです（行使価格 100 円、満期まで 1 年、金利 1%、支払額 10 円）⁹。

表の範囲では、今の価格が行使価格から離れて下にある 80 円と 90 円なら、ボラティリティが上がるほど満期に行使価格を超える見込みが増え、価格が上がります。今の価格が 100 円から 120 円なら、ボラティリティが上がるほど満期に行使価格を下回る見込みが増え、価格が下がります。そのため、デジタル・コールを買った側は、ボラティリティの上昇で、80 円と 90 円の行では得をし、100 円から 120 円の行では損をします。売った側の損益はその逆です。

向きが変わる境目は行使価格ちょうどではなく、ボラティリティの水準によっても動きます。同じ条件で、今の価格が 99 円なら、ボラティリティを 10% から 20% に上げると価格は 4.75 円から 4.55 円に下がります。98 円なら、20% から 30% に上げると 4.36 円から 4.23 円に下がります。90 円でも、30% から 80% に上げると 3.17 円から 2.99 円に下がります⁹。そのため、デジタル・コールを買った側がボラティリティの上昇で得をするか損をするかは、今の価格とボラティリティの水準の両方で決まります。

深掘りボラティリティ・スマイルとデジタル・オプションの価格

上の価格は、すべての行使価格に同じボラティリティを使っています。実際の市場では、行使価格ごとにインプライド・ボラティリティが違います（スマイルやスキュー）。デジタル・コールは、行使価格の近い 2 つのバニラ・コールの差の極限なので、その価格は行使価格についてのバニラ・コールの価格の傾き（符号を逆にしたもの）になります¹⁰。

$$D(K) = -\frac{\partial C(K)}{\partial K}$$

この式から、行使価格ごとにボラティリティが違うときのデジタル・コールの価格は、ボラティリティを一定としたブラック・ショールズ・モデルの価格から「ベガ × スキュー」を引いた値になります。ベガはボラティリティに対するバニラ・コールの価格の感応度、スキューは行使価格に対するボラティリティの傾きです¹¹。

コロンビア大学の講義資料の例は、今の価格と行使価格が 100、金利 0、満期 1 年で、行使価格が 10% 上がるとボラティリティが 2.5 ポイント下がるスキューです。行使価格でのボラティリティ 25% だけを使った価格は支払額の 45% ですが、スキューを入れると 55% になります¹¹。

シミュレーターで、キャッシュ・オア・ナッシングの価格を、原資産の価格の経路をたくさん作って平均するモンテカルロ法で求め、上の式の値（解析解）と比べられます。初期値は上の価格の例と同じ条件（今の価格 100、行使価格 100、満期まで 1 年、金利 1%、ボラティリティ 20%、支払額 10）で、解析解は 4.75 です。

コール・スプレッドで近似する

デジタル・コールは、行使価格をはさむ 2 つのバニラ・コールの買いと売り（コール・スプレッド）で近似できます。行使価格 $K$ のデジタル・コール（支払額 $Q$）に対し、$K$ より低い行使価格 $K_-$ のコールを買い、高い行使価格 $K_+$ のコールを売り、それぞれの数量を $Q/(K_+ - K_-)$ にします¹²。満期の価格が $K_-$ 以下ならどちらも 0、$K_+$ 以上ならどちらも $Q$ を受け取り、違うのは $K_-$ と $K_+$ の間だけです。低い行使価格のコールを買い、高い行使価格のコールを売る組み合わせは、ブル・コール・スプレッドと同じ形です。

最初の例（行使価格 100 円、支払額 10 円）では、行使価格 95 円のコールを 1 単位買い、105 円のコールを 1 単位売ります。

図の説明

行使価格 95 円のコールを 1 単位買い、行使価格 105 円のコールを 1 単位売った組み合わせの、満期の受け取りです。プレミアムは含めていません。満期の原資産の価格が 95 円以下では 0 円、95 円から 105 円の間では価格とともに増え、105 円以上では 10 円で一定です。行使価格 100 円、支払額 10 円のデジタル・コールは、100 円以下で 0 円、100 円を超えると 10 円なので、2 つの受け取りが違うのは 95 円から 105 円の間だけです。

満期の前の価格も近くなります。価格の例と同じ条件（満期まで 1 年、金利 1%、ボラティリティ 20%）では、95 円と 105 円のコール・スプレッドの価格は 4.76 円で、デジタル・コールの 4.75 円との差は 0.01 円です。行使価格の幅を狭め、99 円と 101 円のコールを 5 単位ずつにすると 4.75 円になります⁹。幅を 0 に近づけた極限では、デジタル・コールの価格に一致します¹⁰。

2 つの行使価格の置き方を変えると、デジタルとのずれの向きを決められます。低い行使価格を 90 円、高い行使価格をデジタルと同じ 100 円にすると、満期の受け取りはどの価格でもデジタル以上になり（上から近似する）、価格は 5.76 円です。低い行使価格をデジタルと同じ 100 円、高い行使価格を 110 円にすると、受け取りはデジタル以下になり（下から近似する）、価格は 3.82 円です¹³⁹。デジタル・コールを売った側が上から近似するコール・スプレッドを持てば、満期にどの価格になっても、コール・スプレッドの受け取りでデジタルの支払いをまかなえます。その代わりに、デジタルの価格より高いコール・スプレッドを買うことになります。

行使価格の近くでのヘッジの難しさ

デジタル・オプションを原資産の売買でヘッジするときの難しさは、満期が近く、原資産の価格が行使価格の近くにあるときのデルタ（原資産の価格が 1 円動いたときの価格の変化）の大きさにあります。キャッシュ・オア・ナッシングのコールのデルタは次の式になります¹⁴。$\phi$ は標準正規分布の密度関数です。

$$\Delta_{\text{digital}} = \frac{Q e^{-rT} \phi(d_2)}{S \sigma \sqrt{T}}$$

分母に $\sqrt{T}$ があるため、原資産の価格が行使価格に等しいまま満期が近づくと、デルタは限りなく大きくなります。行使価格から離れているときは、満期が近づくとデルタは 0 に近づきます¹⁵。例の条件（行使価格 100 円、支払額 10 円、金利 1%、ボラティリティ 20%）で、今の価格が 100 円のときのデルタは次のとおりです⁹。

満期の 1 日前には、デジタル・コールのデルタは 3.15 で、原資産の価格が行使価格を 1 円またぐだけで、支払額 10 円の 3 割ほどが動きます。同じ時点で、原資産の価格が 98 円なら価値は 0.55 円、102 円なら 9.41 円です。一方で、95 円や 105 円まで離れるとデルタはほぼ 0 です⁹。そのため、原資産の売買でデルタを合わせ続けるヘッジでは、価格が行使価格をまたいで行き来するたびに、大きな数量を買ったり売ったりすることになります。原資産の売買でデルタを合わせ続けるヘッジの考え方はデルタ・ヘッジで扱います。

コール・スプレッドで置き換えると、この振れが抑えられます。95 円と 105 円のコール・スプレッドは数量が 1 単位ずつなので、デルタは 2 つのコールのデルタ（どちらも 0 から 1 の間）の差になり、1 を超えません。デルタの上限は数量 $Q/(K_+ - K_-)$ で決まり、幅を狭めて近似を近づけるほど大きくなります。コール・スプレッドで近似すると、受け取りの形がなめらかになり、非常に大きな（限りなく大きくなりうる）デルタを避けられます。一方で、行使価格の近くでは近似とデジタルの受け取りが一致しません。必要なら、上から近似するように行使価格を選べます¹³。

何に使われるか

デジタル・オプションは、仕組債などの受け取りの形を作る部品として使われます。その例が、金利や為替などの指標が決めた範囲の中にある間は高い利率で、外に出ると低い利率（0 のこともある）で利息がたまっていくレンジ・ノート（アクルーアル・ノート）です。このノートを買った投資家は、範囲の上限を行使価格とするデジタル・コールと、下限を行使価格とするデジタル・プットを、一連の取引として売ったことになります¹⁷。

投資家から見ると、得になる場合と損になる場合は次のとおりです。指標が範囲の中にとどまれば、似た条件の債券より高い利率の利息を受け取ります。範囲が狭いほど、この上乗せは大きくなります。1998 年の米連邦準備制度理事会の手引が書かれた時点では、指標を見る間隔は多くのノートが毎日で、月ごと、四半期ごと、満期までに 1 回だけのものもありました。毎日指標を見るノートでは、指標が範囲の外に出た日の分の利息は低い利率になります。どれだけ外に出たかにかかわらず、範囲の外に出たという事実だけで利息が減ります¹⁷。

デジタル・オプションを買う側は、支払額を受け取れるかどうかにかかわらずプレミアムを先に払い、満期に条件を満たさなければプレミアムが損失になります。

店頭取引と、バリア・オプションとの違い

デジタル・オプションを含むエキゾチック・オプションの多くは店頭デリバティブとして取引され、標準的なオプションほど流動性が高くありません。提示された価格で実際に取引を解消できるとは限りません¹⁸。

デジタル・オプションは、満期の価格が行使価格を超えたかどうかだけを見ます。これに対し、満期までの間に原資産の価格があらかじめ決めた水準（バリア）に触れたかどうかで、オプションが消えたり生まれたりするものをバリア・オプションといいます¹⁸。

注

1. Board of Governors of the Federal Reserve System "Trading and Capital-Markets Activities Manual" の Section 4330.1 "Options" の "Exotic Options"（1998 年 2 月の版、2 ページ）。 ↩

2. Durham University "Chapter 5 Pricing options from around the world (Mathematical Finance Lecture Notes 2024-25)" の 5.2 節 "Popular options"。キャッシュ・オア・ナッシングとアセット・オア・ナッシングの受け取りを指示関数で定めています。 ↩ ↩²

3. OpenGamma Quantitative Research "Digital Forex Options"（2012 年 5 月、Version 1.1）の 1 節 "Introduction"。行使価格、日付、支払額が同じコールとプットを持つと、どんな場合も決まった額を受け取り、ゼロクーポン債と同じになると書いています。 ↩

4. Durham University の講義資料（5.2 節）は「超える」とき、OpenGamma "Digital Forex Options" の 1 節は「以上」のときに払います。Higham "Chapter Seventeen. Cash-or-nothing options" の 17.1 は、価格が行使価格にちょうど等しいときに、コールとプットが支払額の半額ずつを払う定めです。 ↩ ↩²

5. Durham University の講義資料（5.2 節）のキャッシュ・オア・ナッシングとアセット・オア・ナッシングのコールの受け取りの式から、バニラ・コールの受け取りを書き直したものです。満期の価格が行使価格を超えるときは両辺とも $S_T - K$、超えないときは両辺とも 0 になります。 ↩

6. OpenGamma "Digital Forex Options" の 2 節 "Pricing in Garman-Kohlhagen model"。資料は為替の式で、フォワード価格 $F$ を使って $d_-$ を書いています。株式で配当がないときは $F = S e^{rT}$ で、資料の $d_-$ はこのページの $d_2$ に当たります。資料の割引係数 $P_D(0, t_p)$ は、このページの $e^{-rT}$ に当たります（支払日を満期と同じとしたとき）。 ↩

7. Desmond J. Higham "Chapter Seventeen. Cash-or-nothing options" の 17.1。コールとプットの価格の合計が、支払額を割り引いた額に等しいことを、裁定が起きない条件から示しています。 ↩

8. Desmond J. Higham "Chapter Seventeen. Cash-or-nothing options" の 17.7。配当がないときのアセット・オア・ナッシングのコールの価格を $S N(d_1)$ と求めています。 ↩

9. 価格とデルタは、このページのシミュレーターと同じ計算（src/lib/simulators/monte-carlo.ts の解析解と、src/lib/simulators/black-scholes.ts のバニラ・オプションの価格）で求め、小数第 3 位を四捨五入しました。デルタは、原資産の価格をわずかに上下に動かしたときの価格の差から求めています。 ↩ ↩² ↩³ ↩⁴ ↩⁵ ↩⁶ ↩⁷ ↩⁸

10. Columbia University の Martin Haugh "Black-Scholes and the Volatility Surface"（2013 年）の 6 節 "Pricing Exotics" の "Pricing a Digital Option"。デジタル・コールの価格を、コール・スプレッドの価格を行使価格の差で割った極限として示しています。 ↩ ↩²

11. Haugh 同資料の 6 節 "Pricing a Digital Option" と Example 3 "Pricing a digital"。スキューは行使価格が 10% 変わるごとにボラティリティが 2.5 ポイント変わる傾きです。 ↩ ↩²

12. OpenGamma "Digital Forex Options" の 3 節 "Call spread approximation"。資料は $K_\pm = K(1 \pm \epsilon)$ の例を挙げ、数量を $N/(K_+ - K_-)$ としています。 ↩

13. OpenGamma "Digital Forex Options" の 3 節 "Call spread approximation" の 2 ページ最後の段落から 3 ページ最初の段落。上から近似する置き方（資料は super-replication と呼ぶ）と下から近似する置き方を挙げています。 ↩ ↩²

14. OpenGamma "Digital Forex Options" の 2 節 "Pricing in Garman-Kohlhagen model" のデルタの式。資料の式を、配当のない株式の記号（$\phi$ は資料の $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{1}{2}d_-^2)$）に置き換えています。 ↩

15. Desmond J. Higham "Chapter Seventeen. Cash-or-nothing options" の 17.5。満期に近づくとき、原資産の価格が行使価格に等しければデルタが限りなく大きくなり、上か下にあれば 0 に近づくことを示しています。 ↩

16. OpenGamma "Digital Forex Options" の 4 節 "Risk figures"。 ↩

17. 同手引の Section 4040.1 "Structured Notes" の "Range Notes"（1998 年 2 月の版のページ、4〜5 ページ）。 ↩ ↩²

18. 同手引の Section 4330.1 "Options" の "Exotic Options"（1998 年 2 月の版のページ、2 ページ）。 ↩ ↩²

19. OpenGamma "Digital Forex Options" の 1 節 "Introduction" と 3 節 "Call spread approximation"。 ↩