ボラティリティ取引

オプションのトレーディングでは、デルタ・ヘッジした持ち高の損益を、取引した時点で市場が織り込んでいた変動と、実際の変動の差として捉えます。この見方は、取引の種類ごとに持ち高の損益の出方を考える場面と、売りの持ち高が抱えるリスクを管理する場面で使います。

方向ではなく変動の大きさを取引する

オプションを買うと、原資産の価格の方向と、ボラティリティの両方に損益が左右されます。デルタ・ヘッジで価格の方向への感応度を消すと、残るのはボラティリティへの感応度です。ただし、現実の市場にはブラック・ショールズの前提と合わない点があるため、デルタ・ヘッジは完全にはなりません。合わない点には、ボラティリティを正確に見積もれないこと、連続して売買できないこと、取引の費用がかかること、価格が飛ぶこと、流動性が足りないことがあります¹。

ボラティリティ取引の損益は、取引した時点のインプライド・ボラティリティと、その後に実際に観測された実現ボラティリティの差で決まります。ボラティリティを買う側は、実現ボラティリティが取引した水準を上回れば受け取り、下回れば払います。売る側は逆です。デルタ・ヘッジ後の損益の式は、ガンマとベガの管理で扱います。

使う道具

ボラティリティの取引に使う道具は、何に感応するかと、持ち主が引き受けるリスクが違います。

バリアンス・スワップの仕組みと評価はバリアンス・スワップとボラティリティ・スワップで扱います。Carr と Wu の 2004 年のワーキングペーパーによると、Cboe は 2003 年 9 月 22 日に VIX の算出方法を変え、S&P 500 の 30 日のバリアンス・スワップレートに近づけました。VIX 先物の取引は、2004 年 3 月 26 日に始まりました⁵。

ストラドルの 1 日の損益

原資産の価格 100、行使価格 100、残存期間 1 年、金利 1%、インプライド・ボラティリティ 20% のアット・ザ・マネーのストラドルを R 社が買い、毎日デルタを 0 に直す架空の例で考えます。ガンマは、コール 1 単位が 0.019724、ストラドル 1 単位は両方の合計の 0.039448 です⁶。

「ガンマとベガの管理」の式を使うと、1 日（1 年を 365 日とする）の損益は次のとおりです。金利の項を省いた近似です⁷。

$$\text{損益} \approx \frac{1}{2}\,\Gamma S^2 \left[\left(\frac{\Delta S}{S}\right)^2 - \sigma^2 \Delta t\right]$$

$\frac{1}{2}\Gamma S^2 = 197.24$、$\sigma^2 \Delta t = 0.04 / 365 = 0.00010959$ です。1 日の値動きの率が 2% のとき、損益は $197.24 \times (0.0004 - 0.00010959) = 0.0573$ の利益で、上がっても下がっても同じです。0.5% のときは $197.24 \times (0.000025 - 0.00010959) = -0.0167$ の損失です。値動きの率が $0.2 \times \sqrt{1/365} = 1.0468\%$ のとき、損益はおよそ 0 になります。ストラドルを売ってヘッジした側の損益は、符号が逆です⁶。この式は 1 日分の近似で、ボラティリティが変わったときのベガの損益は含みません。

実現と予想の差の取引

ボラティリティ・リスク・プレミアムは、実現バリアンスから、市場が織り込んだバリアンス（バリアンス・スワップレート）を引いた値を指します。Carr と Wu は、バリアンス・スワップレートをオプションの組み合わせで作った値で近似し、事後に観測された実現バリアンスとの差でバリアンス・リスク・プレミアムを測りました⁸。

1996 年 1 月から 2003 年 2 月までのオプションのデータで調べた結果、S&P 500 指数、S&P 100 指数、ダウ平均のバリアンス・リスク・プレミアムの平均は、強い負の値でした。ナスダック 100 指数と多くの個別株も負ですが、絶対値は小さいとされています⁹。負の値は、実現バリアンスの平均がバリアンス・スワップレートを下回ることを意味します。論文は、バリアンスの買い手が、指数のバリアンスの上昇に備える対価として、平均では損失を受け入れていると解釈しています⁹。

これは平均の向きです。期間ごとの値は平均のまわりにばらつくため¹⁰、個々の期間では、実現がインプライドを上回ることもありえます。ストライク 25%（バリアンスで 625）、ボラティリティ 1 ポイントあたり 200 万円のベガ想定元本で、R 社がバリアンス・スワップを売る架空の例で考えます。バリアンス想定元本は 200 万円 ÷ (2 × 25) = 4 万円で、R 社の受け取りは $4\text{ 万円} \times (625 - \sigma_R^2)$ です¹¹。

図の説明

ストライク 25%、ボラティリティ 1 ポイントあたり 200 万円のベガ想定元本でバリアンス・スワップを売った R 社の受け取りを、実現ボラティリティごとに示した曲線です。実現ボラティリティが 0% のとき 2,500 万円で、上がるにつれて右下がりに減ります。ストライクの 25% で 0 円になり、30% で −1,100 万円、40% で −3,900 万円です。損失の側は右へ進むほど急に深くなり、右端に下限はありません。

実現ボラティリティが 0 のときの 2,500 万円が R 社の利益の上限です。一方、実現ボラティリティが上がるほど、損失は 2 乗の速さで増え、式の上では上限がありません。インプライドの水準が高めに付いていても、実現がそれを超える期間には損失が出ます。価格が飛ぶ場合に売り手が負う誤差は、「ジャンプ」の節で扱います。

スマイルと期間構造に着目する取引

水準そのものではなく、行使価格や満期ごとのインプライド・ボラティリティの差に着目する取引もあります。

リスク・リバーサル

リスク・リバーサルは、行使価格が相場から上下に同程度離れたコールの買いとプットの売りを組み合わせた取引です。日本銀行の資料は、通貨オプションを例に、コールとプットのプレミアムの差が、相場の上下それぞれの急な変動への警戒の偏りを映すと説明しています¹²。株価指数のオプションでも、行使価格が低いほどインプライド・ボラティリティが高い形（スキュー）があります。

コールの買いとプットの売りを組むため、相場が上がれば利益、下がれば損失になる向きの持ち高で、プットの売りで受け取るプレミアムが、コールの買いの支払いの一部を賄います¹³。

カレンダー・スプレッド

カレンダー・スプレッドは、同じ行使価格で満期の近いオプションを売り、満期の遠いオプションを買う取引です。満期の遠いほうがベガが大きいため、ベガはプラスで、インプライド・ボラティリティの上昇に備える持ち高になります。ただし、アット・ザ・マネーで組むとガンマはマイナス、セータはプラスです。相場が大きく動くと、ベガの利益より、ガンマの損失が大きくなることがあります¹⁴。

もう 1 つの注意は、満期ごとにインプライド・ボラティリティの動き方が違うことです。大阪取引所の資料は、満期の近いほうが敏感に動く傾向があると説明しています。売っている近い満期のインプライド・ボラティリティだけが上がると、遠い満期の買いで損失を賄えません¹⁴。また、遠い満期のインプライド・ボラティリティが高いときに組むと、安い近い満期を売って高い遠い満期を買うため、最初から不利な水準で入ります¹⁴。

ディスパーション取引

ディスパーション取引は、株価指数のオプションと、その構成銘柄のオプションに反対の持ち高を持つ取引です。Dhaene らの論文は、この戦略を、コール、プット、ストラドル、バリアンス・スワップで組む例があるとしています¹⁵。

指数のバリアンスは、構成銘柄ごとのバリアンスと、銘柄どうしの相関で決まります。そのため、指数のオプションと構成銘柄のオプションを反対に持つと、損益は各銘柄の変動の大きさと、相関の水準に左右されます。オプションの価格から求めたリスク中立の下での相関をインプライド相関といい、実現した相関との差が損益の源になります。同論文は、インプライド相関が実現相関と大きく異なりうること、この差を相関リスク・プレミアムと呼ぶこと、ディスパーション取引はこの差を狙う方法の 1 つであることを述べています¹⁶。

指数が 2 銘柄を半分ずつ含み、各銘柄のボラティリティが 30%（バリアンスで 900）の架空の例で考えます。指数のバリアンスは、2 銘柄の相関 $\rho$ を使って、次のとおりです¹⁷。

$$\sigma_I^2 = 0.25 \times 900 \times 2 + 2 \times 0.25 \times 900 \times \rho = 450 + 450\rho$$

インプライド相関が 0.6 なら、指数のバリアンスのストライクは $450 + 450 \times 0.6 = 720$ です（ボラティリティで約 26.8%）。R 社が、指数のバリアンス・スワップを売り、各銘柄のバリアンス・スワップを 0.25 倍の量で買うとします。バリアンス想定元本は、指数が 1 万円です。この向きは計算のために選んだ例で、実際の取引の向きを示すものではありません。各銘柄の実現バリアンスがストライクの 900 に一致するなら、銘柄の側の損益は 0 で、R 社の受け取りは指数の側だけで決まります。

実現相関がインプライド相関を下回れば R 社は利益、上回れば損失です¹⁷。実際には、各銘柄の実現バリアンスもストライクからずれるため、その分の損益が加わります。同論文は、相関の差を直接取引する新しい契約として、ディスパーション・スワップ（dispersion swap）を提案しています。ここで示した手順は、それとは別の、バリアンス・スワップで組む場合の単純な例です¹⁵。

ボラティリティ取引のリスク

ガンマとセータ

ストラドルの売りは、セータで日々プレミアムを受け取り、ガンマのために値動きが大きいほど失います。上の 1 日の損益の式の符号が逆になる側で、値動きが小さければ時間とともに利益に近づき、急な値動きでは損失が出ます。ショート・ストラドルについて、Options Industry Council は、ボラティリティは嵐のように突然来て極端な損失を生むこともあれば、来ないこともあり、時間の経過は毎日少しずつ期待した利益に近づける、と説明しています¹⁸。

ジャンプ

バリアンス・スワップを売り、オプションの組み合わせで複製してヘッジした場合、価格が飛ぶと複製が実現バリアンスとずれます。そのずれは、ジャンプの大きさの 3 乗に最初に比例します。ずれが売り手に有利に働くのは大きく下向きに飛んだときで、大きく上向きに飛ぶと不利に働きます¹⁹。デルタ・ヘッジは連続した売買を前提にするため、ストラドルの売りでも、価格が飛ぶとデルタの直しが間に合いません¹。

流動性

デルタ・ヘッジが不正確になる理由の 1 つに、流動性の不足が挙げられています¹。相場が急落すると、遠い満期のオプションの流動性が著しく低下し、アット・ザ・マネーのカレンダー・スプレッドを組みにくくなることがあります²⁰。

モデルの前提と、この記事が扱わないこと

売りの持ち高に必要な証拠金の水準、株価指数のオプションでのリスク・リバーサルの建値の慣行、スキューの変化を使った取引の組み方、ボラティリティ指数の先物は、この記事では扱いません。ボラティリティ・スワップの評価は、ボラティリティのボラティリティの仮定に左右されます⁴。ボラティリティ・リスク・プレミアムの符号は、2003 年までのデータで調べた平均の向きで、将来の期間の損益を約束するものではありません⁹。

注

1. Goldman Sachs「More Than You Ever Wanted To Know About Volatility Swaps」（1999 年 3 月）の 1 ページ（Introduction。PDF では 5 ページ目）。デルタ・ヘッジが不正確になる理由として、ボラティリティの見積もり、連続売買、取引の費用、市場の不連続な動き、流動性を挙げています。 ↩ ↩² ↩³

2. The Options Industry Council「Short Straddle」の Max Loss、Max Gain の項。ショート・ストラドルの最大の利益は受け取ったプレミアム、最大の損失は上限がないとしています。 ↩

3. 同資料の 3 ページ（式 2 とその説明。PDF では 7 ページ目）。バリアンス・スワップの受け取りは、実現バリアンスとデリバリー・プライスの差に想定元本を掛けたものです。実現バリアンスは 0 以上なので、売り手の利益は想定元本とストライクの積が上限になり、損失は実現バリアンスの上昇とともに増えます。上限の式は本文の計算です。 ↩

4. 同資料の 33 ページ（PDF では 37 ページ目）。ボラティリティ・スワップには単純な複製の方法がなく、バリアンスが、ヘッジしたオプション取引から自然に出てくる量であるとしています。評価にボラティリティのボラティリティの仮定が必要になる点は、同ページ以降の説明（PDF では 37 ページ目以降）にもとづきます。 ↩ ↩²

5. Carr and Wu「Variance Risk Premia」（2004 年 5 月版）の 2 ページ（PDF では 4 ページ目）。2003 年 9 月 22 日に Cboe が VIX を再定義し、S&P 500 の 30 日のバリアンス・スワップレートに近づけたこと、2004 年 3 月 26 日に Cboe Futures Exchange が VIX 先物の取引を始めたこと。 ↩

6. 手計算です。$d_1 = 0.15$、ガンマは $\varphi(0.15) / (100 \times 0.2 \times 1) = 0.019724$（$\varphi$ は標準正規分布の密度関数）で、プットのガンマはコールと同じなので、ストラドルは 2 倍の 0.039448 です。 ↩ ↩²

7. Martin Haugh「Black-Scholes and the Volatility Surface」（Columbia University、2013 年）の 11〜12 ページ（式 24）。損益をデルタ、ガンマ、ベガの項に分ける近似です。本文の式は、デルタの項をヘッジで消し、ベガの項を 0 とし、セータの項を足したものです。 ↩

8. Carr and Wu「Variance Risk Premia」の Abstract と 1 ページ（PDF では 3 ページ目）。バリアンス・スワップレートはオプションの特定の組み合わせの価値で近似でき、近似誤差を除けば、実現バリアンスとこの合成した値の差がバリアンス・リスク・プレミアムを表すとしています。 ↩

9. 同論文の 3 ページ（PDF では 5 ページ目）と、データの期間（1996 年 1 月〜2003 年 2 月）を述べた箇所（PDF では 27 ページ目）。指数と個別株の平均の符号と、負の符号の解釈（バリアンスの買い手が、上昇をヘッジするために負の超過収益を受け入れている）を述べています。 ↩ ↩² ↩³

10. Carr and Wu「Variance Risk Premia」の Table 5（印刷 53 ページ。PDF では 55 ページ目）。S&P 500 の実現バリアンスとバリアンス・スワップレートの差（100 倍の値）は、平均が −2.279、標準偏差が 3.339 で、ばらつきが平均より大きいこと。 ↩

11. 手計算です。バリアンス想定元本は $200 / (2 \times 25) = 4$（万円）、売り手の受け取りは $4 \times (625 - \sigma_R^2)$ です。実現ボラティリティ 0 の受け取りは $4 \times 625 = 2{,}500$ 万円です。想定元本の関係式は、Goldman Sachs 資料の 33 ページ（PDF では 37 ページ目）の式 43 と同じです。 ↩

12. 日本銀行「リスク・リバーサルからみた為替変動へのリスク認識」（日銀レビュー 2012-J-14、2012 年 8 月）の 2 ページ。上下に同程度離れた行使価格のコールの買いとプットの売りの取引と、プレミアムの差が警戒の偏りを反映するとの考えを述べています。通貨オプションの例です。 ↩

13. 本文の説明です。コールの買いは原資産が上がると価値が増え、プットの売りは原資産が下がると損失が増えるという、オプションの損益の基本の形から出ています。 ↩

14. 大阪取引所「カレンダースプレッド」（北浜投資塾）。ベガは満期の遠いほうが大きいこと、アット・ザ・マネーで組むとガンマはマイナス、セータはプラスになること、相場が大きく動くとガンマが損失になること、満期の近いほうの変動が敏感な傾向、遠い満期のインプライド・ボラティリティが高いときに最初から不利になることを述べています。 ↩ ↩² ↩³

15. Dhaene, Linders, Ling and Wang「Understanding the correlation risk premium」（Annals of Actuarial Science、2025 年）の 5.2 節（雑誌の 246〜247 ページ）。バリアンス・スワップなどで組む例と、新しく提案するディスパーション・スワップ（dispersion swap）を述べています。 ↩ ↩²

16. 同論文の Abstract と 1 章（233〜234 ページ）。インプライド相関は指数の構成銘柄に対するオプションの相対的な割安、割高を示し、実現相関との差が相関リスク・プレミアムの存在につながること、リスク中立の相関と現実の相関の差を correlation gap と呼ぶこと、ディスパーション取引はこの差を狙うのに使えること。 ↩

17. 手計算です。指数のバリアンスは $450 + 450\rho$ で、$\rho = 0.6$ で 720（$\sqrt{720} = 26.83$）、0.4 で 630、0.8 で 810 です。指数の売りの受け取りは 720 − 630 = 90（想定元本 1 万円で 90 万円）と 720 − 810 = −90 です。銘柄の側は、実現がストライクに等しければ損益は 0 です。 ↩ ↩²

18. The Options Industry Council「Short Straddle」の Comments の項（"a race between volatility and time decay"）と Volatility、Time Decay の項。 ↩

19. Goldman Sachs 資料の 31 ページ（式 40〜42 とその説明。PDF では 35 ページ目）。短い期間の価格のジャンプがあると、バリアンス・スワップの売りと、複製の戦略の買いを組み合わせた損益の差の最初の補正が、ジャンプの大きさの 3 乗に比例し、大きく下がれば利益、大きく上がれば損失になるとしています。ストラドルの売りでの損失は、本文の説明です。 ↩

20. 大阪取引所「カレンダースプレッド」（北浜投資塾）の戦略②の説明。急落時のアット・ザ・マネーのカレンダー・スプレッドは、期先の流動性が著しく低下するため、組成が難しいとしています。 ↩