バリアンス・スワップとボラティリティ・スワップ

バリアンス・スワップを売るディーラーは、オプションの組み合わせの複製でヘッジできます¹。ボラティリティ・スワップは、実現ボラティリティの方向性を見る取引や、ボラティリティが上がると損をしやすい立場のヘッジの場面で出てきます²。

何と何を交換するか

バリアンス・スワップは、2 者が満期に 1 回、実現バリアンスとストライクの差を受け払いする取引です。ボラティリティは % の数字で表し、20% なら 20 とします。ボラティリティを年率で表したとき、その 2 乗がバリアンスなので、20% のバリアンスは 400 です。バリアンスの 1 ポイントは、この数字の 1 にあたります。買い手は、実現バリアンスがストライクを 1 ポイント上回るごとに、想定元本の額を受け取ります³。式にすると、買い手の受け取りは次のとおりです。

$$N_{\text{var}} \times \left(\sigma_R^2 - K_{\text{var}}\right)$$

$\sigma_R^2$ は、契約期間中に実際に観測された年率のバリアンス、$K_{\text{var}}$ は契約のときに決めるストライク（デリバリー・プライス）、$N_{\text{var}}$ はバリアンス想定元本です。受け取りが負のときは、買い手が売り手に払います。ボラティリティ・スワップは、2 乗しないボラティリティを使い、受け取りは $N_{\text{vol}} \times (\sigma_R - K_{\text{vol}})$ です。$N_{\text{vol}}$ はボラティリティ 1 ポイントあたりの想定元本です⁴。

ストライクもバリアンスの数字で表し、たとえば 30% のボラティリティなら $30^2 = 900$ です。バリアンス想定元本は、ボラティリティ 1 ポイントの 2 乗あたりの金額で表せます⁵。

実現バリアンスの数え方は、契約で決めます。決める点は、株価（終値など）の出どころと観測の頻度、日次の変動から年率に直すときの掛け率（1 年を 260 営業日とするなど）、変動から平均を引くかどうかです。平均を引かない方法は、オプションの組み合わせで複製できる契約に最も近くなります⁶。

想定元本の表し方と満期の受け払い

ボラティリティ・スワップとバリアンス・スワップは、想定元本をボラティリティ 1 ポイントあたりの金額（ベガ想定元本）で表すと比べやすくなります。バリアンス想定元本 $N_{\text{var}}$ をベガ想定元本 $N_{\text{vega}}$ から決める関係は次のとおりです。

$$N_{\text{var}} = \frac{N_{\text{vega}}}{2K_{\text{vol}}}$$

この想定元本のとき、実現ボラティリティ $\sigma_R$ がストライク $K_{\text{vol}}$ に等しければ、バリアンス・スワップとボラティリティ・スワップの受け払いは、金額も、ボラティリティが 1 ポイント動いたときの変化も一致します。$\sigma_R$ が $K_{\text{vol}}$ の近くなら近似として使え、離れるほどずれます⁷。下の表の 25% の行が、そのずれの例です。

O 社が株価指数を対象に、ストライク 20%（バリアンスで 400）、ベガ想定元本 100 万円（ボラティリティ 1 ポイントあたり）の契約を買う条件の架空の例で考えます。バリアンス想定元本は 100 万円 ÷ (2 × 20) = 2.5 万円です。ボラティリティ・スワップは、比べるために、同じ 20% をストライクにした仮の契約とします。

売り手の受け取りは、買い手と符号が逆です。たとえば実現ボラティリティが 30% なら、バリアンス・スワップの売り手は 1,250 万円を払います。実現ボラティリティが 20% を超えて上がるほど、バリアンス・スワップの買い手の受け取りは、ボラティリティ・スワップより速く増えます。下がるときは、バリアンス・スワップの買い手の払いは、ボラティリティ・スワップより小さくなります。実現ボラティリティが 0 のときの払いが、買い手の損失の上限で、この例では 2.5 万円 × 400 = 1,000 万円です⁸。一方、売り手の損失には、式の上では上限がありません。

ボラティリティ・スワップとの違いは凸性

バリアンス・スワップの受け取りは、ボラティリティの 2 次式で、ボラティリティ・スワップは 1 次式です。この形の違いを凸性と呼びます。上の表で、2 つの受け取りがずれていくのは、この違いです。

図の説明

同じ想定元本の組み方で、2 つのスワップの買い手の受け取りを、実現ボラティリティごとに描いています。2 本の線はストライクで交わります。ボラティリティ・スワップは直線で、バリアンス・スワップは曲線です。ストライクより上ではバリアンス・スワップが上に反って受け取りが大きくなり、下では払いが小さくなります。

上の想定元本の組み方で、ストライクをそろえると、バリアンス・スワップの受け取りは、ボラティリティ・スワップを必ず上回ります。差は、実現ボラティリティとストライクの差の 2 乗に比例し、式では $\frac{(\sigma_R - K_{\text{vol}})^2}{2K_{\text{vol}}}$ です。この差が常に正のままでは、バリアンス・スワップの買いとボラティリティ・スワップの売りの組み合わせが、必ず利益になってしまいます。これを避けるため、ボラティリティ・スワップの公正なストライクは、バリアンス・スワップの公正なストライクの平方根より低くなります。どれだけ低いかは、将来の実現ボラティリティの水準とそのばらつきの仮定がないと決まりません⁹。

Goldman Sachs の資料では、ボラティリティ・スワップには、単純な複製の方法がないとされています。バリアンスを原資産とみなし、ボラティリティをその平方根の派生商品として、バリアンス・スワップを売買し続けて複製する考え方はありますが、そのためには、ボラティリティのボラティリティを入れたモデルが必要です¹⁰。1999 年ごろの時点では、複製に使えるほど流動性のあるバリアンス・スワップの市場はありませんでした¹⁰。一方、杉原論文は、理論上は、バリアンス・スワップもボラティリティ・スワップも複数のオプションの組み合わせで合成でき、ダイナミック・ヘッジは要らないとしています¹¹。

オプションの組み合わせによる複製

バリアンスは、株価が連続に動くとき、対数の受け取りを持つ契約（対数契約）を、株式の売買で調整し続けると写し取れます¹²。対数契約は取引されていないため、行使価格が 0 から無限大までのプットとコールを、それぞれ行使価格の 2 乗に反比例する量だけ持ち、これを置き換えます¹²。行使価格に対する重みを $1/K^2$ にすると、株価の水準によらずバリアンスへの感応度（ベガ）が一定になります¹³。

複製の費用がそのまま公正なストライクになります。市場のオプション価格を使えば、ブラック・ショールズの式が成り立たない、ボラティリティ・スキューのある市場でも、公正なストライクを求められます¹²。複製は、ディーラーがバリアンス・スワップを売ったときのヘッジの方法にもなります¹。ただし完全なヘッジにならない理由は、「ジャンプ、ストライクの範囲、キャップ」の節で扱います。複製の考え方の前提は無裁定と複製で扱います。

深掘り対数契約による複製の式

株価 $S_t$ が連続に動くとき、日々のバリアンス $\sigma^2 dt$ は、次の恒等式で株価の動きと対数に分けられます。

$$\frac{2}{T}\left[\int_0^T \frac{dS_t}{S_t} - \ln\frac{S_T}{S_0}\right] = \frac{1}{T}\int_0^T \sigma^2 dt$$

左辺の第 1 項は、常に株式 1 円分を持つように売買し続ける戦略の結果で、第 2 項は対数契約の売りです。連続な動きであれば、どの株価の経路をたどっても、この関係が成り立ちます¹²。リスク中立の期待値を取ると、第 1 項は $rT$ になります（$r$ は無リスク金利、$T$ は満期までの年数）¹²。この導出は配当がない場合で書かれていますが、配当を入れても大きくは変わりません¹⁴。

対数契約は、$S^*$ を境にして、フォワードと、プットとコールに分けられます。$S^*$ より低い行使価格にはプットを、高い行使価格にはコールを使います。$P(K)$ と $C(K)$ は行使価格 $K$ のプットとコールの現在の価格です。このとき公正なストライクは次の式で表せます¹²。

$$K_{\text{var}} = \frac{2}{T}\left[rT - \left(\frac{S_0}{S^*}e^{rT} - 1\right) - \ln\frac{S^*}{S_0} + e^{rT}\int_0^{S^*}\frac{P(K)}{K^2}dK + e^{rT}\int_{S^*}^{\infty}\frac{C(K)}{K^2}dK\right]$$

$S_0$ は開始時の株価です。実際に取引できる行使価格は有限なので、積分は行使価格ごとの和で置き換えます。行使価格ごとの量は、すべての受け取りが対数契約を下回らないように決めます¹⁵。

ストライクとインプライド・ボラティリティ

ボラティリティ・スワップの公正なストライクは、満期が同じオプションのインプライド・ボラティリティに近い値になります²。バリアンス・スワップでは、ストライクは、複製に使うオプションの価格の合計（重みは行使価格の 2 乗に反比例）で決まります。スキューがなく、すべての行使価格でインプライド・ボラティリティが同じなら、公正なストライクはその 2 乗に一致します。

スキューがあると、一致しません。行使価格が低いほどインプライド・ボラティリティが高い向きなら、公正なストライクは 2 乗より高くなります。満期 3 か月の株価指数で、アット・ザ・マネーのインプライド・ボラティリティが 20%、行使価格が 5 下がるごとにインプライド・ボラティリティが 1 ポイント上がる条件の架空の例で考えます。開始時の指数を 100、無リスク金利を年 5% として、行使価格 50 から 150 まで 5 刻みのオプションから見積もると、ストライクは 20.467 の 2 乗（約 419）です。行使価格の刻みを細かくすると、バリアンスのストライクは、スキューなしの 400（$20^2$）に対し、スキューありでは約 402 に近づきます¹⁶。行使価格の刻みが粗いと、対数契約を過大に評価するため、見積もりは理論値より高くなります¹⁵。

この関係は、株価指数の予想変動率の指数にも使われています。Cboe のボラティリティ指数の計算では、構成するオプションを行使価格の 2 乗に反比例して重みづけます。この重みは、バリアンス・スワップの受け取りをオプションの組み合わせで複製するときの重みと同じです¹⁷。バリアンス・スワップレートは、オプションの組み合わせから求めたモデルフリー・インプライド・ボラティリティ（MFIVar）の 2 乗値と一致します¹⁸。VIX と日経平均ボラティリティー・インデックスの算出は、VIX 先物などのボラティリティ商品で扱います。

ジャンプ、ストライクの範囲、キャップ

複製が成り立つのは、株価が連続に動き、行使価格が 0 から無限大まで取引できるときです。実際は 2 つの点が崩れます。

1 つは、取引できる行使価格の範囲が限られることです。範囲が狭いと、株価が範囲の外に出たとき、複製のポートフォリオのベガとガンマが 0 に近づき、実現バリアンスを正しい速さで積み上げられません。このため、狭い範囲の行使価格で求めた公正なバリアンスは、真の値より低くなります¹⁹。

もう 1 つは、株価のジャンプです。株式の売買で調整し続ける複製の戦略は、ジャンプがあると、実現バリアンスと異なる量を積み上げます。バリアンス・スワップを売ってこの戦略でヘッジした場合の損益のずれは、ジャンプの大きさ $J$（下落を正とする）の 3 乗に最初に比例します。大きく下がったときはヘッジした売り手に利益、大きく上がったときは損失が出ます²⁰。ジャンプが範囲の外まで株価を動かすと、ジャンプで生じる利益や損失に加えて、その後の実現バリアンスを積み上げ損なう影響が重なります²⁰。

損失を限るために、キャップ付きのバリアンス・スワップやボラティリティ・スワップを選ぶ参加者もいます²¹。キャップ付きのバリアンス・スワップは、実現バリアンスに対するオプションを内包しており、これを評価するにはボラティリティの確率モデルが必要です²¹。ボラティリティ・スワップには、ある大きさを超えたリターンを除いて計算したボラティリティを受け払いの対象にする契約（コリドー型）もあります²²。

何に使われ、ディーラーに何が残るか

1999 年ごろの資料は、ボラティリティ・スワップの使い方を次の 3 つ挙げています²。1 つ目は、実現ボラティリティの水準を予想して、買うか売るかを決める方向性の取引です。2 つ目は、満期前に解約して、実現ボラティリティとインプライド・ボラティリティの差を取引する使い方です。3 つ目は、ボラティリティが上がると損をしやすい立場のヘッジです。

たとえば、合併の成立を見込んで 2 社の株価の差が縮むことに賭ける取引では、市場全体のボラティリティが上がると、合併が成立しにくくなり、差が広がって損をすることがあります。株式のファンドも、指数が下がるときにボラティリティが上がりやすいため、おそらく損をしやすい立場にあります²。

どの使い方でも、損益は両方向に出ます。たとえばボラティリティの買い手は、実現ボラティリティがストライクを上回れば受け取り、下回れば払います。ボラティリティは、株価指数が下がるときに上がりやすく、大きく下がった後も高いままになりやすい性質があります。株式のポートフォリオを持つ側がボラティリティを買えば、指数が大きく下がって実現ボラティリティがストライクを上回ったとき、資産の減りとは逆向きに、スワップの受け取りが出ます。市場が落ち着いて実現ボラティリティがストライクを下回れば、スワップの払いが出ます²。

売り手のディーラーには、複製の誤差が残ります。行使価格の範囲と刻み、ジャンプの影響で、複製の結果は実現バリアンスと一致しません。ボラティリティ・スワップを売る場合は、これに加えて、ボラティリティのボラティリティの仮定がモデルの結果を左右します¹⁰。行使価格の離散近似にともなうヘッジの誤差は、アット・ザ・マネーの付近で特に出やすく、コールとプットの量を調整して小さくします¹。

注

1. 日本銀行金融研究所 杉原慶彦「わが国株式市場のモデルフリー・インプライド・ボラティリティ」（「金融研究」2010 年 4 月）の 118 ページ、補論 3 の（2）イ「バリアンス・スワップのヘッジ」（式 A-23〜A-25）。フォワード ATM の付近のコールとプットの量の分け方は式 A-25。PDF では 46 ページ目。 ↩ ↩² ↩³

2. 同資料の 2〜3 ページ（「Who Can Use Volatility Swaps?」）。ボラティリティ・スワップのストライクの公正な値が、同じ満期のオプションのインプライド・ボラティリティに近いこと、ボラティリティが株価指数としばしば負の相関を持ち、大きな下落の後に高いままになりやすいこと、3 つの使い方。いずれもボラティリティ・スワップの記述です。PDF では 6〜7 ページ目。 ↩ ↩² ↩³ ↩⁴ ↩⁵

3. Goldman Sachs「More Than You Ever Wanted To Know About Volatility Swaps」（1999 年 3 月）の 3 ページ（式 2 とその説明）。受け取りは、実現バリアンスとデリバリー・プライスの差に、ボラティリティ 1 ポイントの 2 乗あたりの金額（想定元本）を掛けたものです。PDF では 7 ページ目。 ↩

4. 同資料の 1〜2 ページ（式 1 とその説明）。PDF では 5〜6 ページ目。 ↩

5. 同資料の 4 ページ。バリアンスのデリバリー・プライスは (30%)² のようにボラティリティの 2 乗で、想定元本は「ボラティリティ 1 ポイントの 2 乗あたり」の金額で示せるとしています。PDF では 8 ページ目。 ↩

6. 同資料の 2 ページ。ボラティリティの計算で契約に明記すべき 3 点（株価の出どころと観測の頻度、年率に直す掛け率、平均を引くかどうか）と、平均を引かない方法が複製に最も近いこと。PDF では 6 ページ目。 ↩

7. 同資料の 33 ページ（式 43 とその説明）。バリアンス想定元本 1/(2 K_vol) のバリアンス・スワップが、ボラティリティ・スワップに近似できる条件。PDF では 37 ページ目。 ↩

8. 実現ボラティリティの下限は 0 なので、買い手の受け取りの下限は 2.5 万円 × (0 − 400) = −1,000 万円です。売り手の払いは、実現バリアンスに上限がないため、式の上では上限がありません。 ↩

9. Goldman Sachs「More Than You Ever Wanted To Know About Volatility Swaps」の 33〜34 ページ。式 43 の近似のずれ（コンベクシティ・バイアス）が (σ_R − K_vol)²/(2 K_vol) で常に正であること、K_vol < √K_var になること。PDF では 37〜38 ページ目。 ↩

10. 同資料の 33〜35 ページ。ボラティリティ・スワップには単純な複製の戦略がなく、バリアンス・スワップを動的に売買して複製するにはボラティリティのボラティリティのモデルが要ること、1999 年ごろは、複製に使えるほど流動性のあるバリアンス・スワップの市場がなかったこと。PDF では 37〜39 ページ目。 ↩ ↩² ↩³

11. 日本銀行金融研究所 杉原慶彦「わが国株式市場のモデルフリー・インプライド・ボラティリティ」（「金融研究」2010 年 4 月）の 118 ページ、補論 3 の（2）。ダイナミック・ヘッジが要らず、複数のオプションのバスケットで合成できるとしています。PDF では 46 ページ目。 ↩

12. 同資料の 17〜19 ページ（式 20〜26 と図 4）。PDF では 21〜23 ページ目。 ↩ ↩² ↩³ ↩⁴ ↩⁵ ↩⁶

13. 同資料の 13 ページ（図 3 の説明）と、付録 A「Constant Vega Requires Options Weighted Inversely Proportional to the Square of the Strike」（37 ページ）。PDF では 17 ページ目と 41 ページ目。 ↩

14. Goldman Sachs「More Than You Ever Wanted To Know About Volatility Swaps」の 15 ページ。PDF では 19 ページ目。 ↩

15. 同資料の 20〜22 ページ（「An Example of a Variance Swap」、式 27〜29 と表 1）。付録 A の手順で求めた行使価格ごとの量は、受け取りが常に対数契約以上になり、行使価格の刻みが粗いと対数契約の価値を過大に見積もること。PDF では 24〜26 ページ目。 ↩ ↩²

16. 同資料の 21〜22 ページ（表 1、図 5 の説明）。ATM のインプライド・ボラティリティ 20%、行使価格が 5 下がるごとに 1 ポイント上がるスキュー、満期 3 か月、行使価格 5 刻みの例で、ストライクは (20.467)²。行使価格の刻みを 0 に近づけると、スキューなしでは (20)² = 400、スキューありでは約 402 に近づくこと。PDF では 25〜26 ページ目。 ↩

17. Cboe「Cboe Volatility Index Mathematics Methodology」の「1 Introduction」。構成オプションを行使価格の 2 乗に反比例して重みづけ、この重みがバリアンス・スワップの受け取りをオプションの組み合わせで複製する重みと一致するとしています。 ↩

18. 日本銀行金融研究所 杉原慶彦「わが国株式市場のモデルフリー・インプライド・ボラティリティ」（「金融研究」2010 年 4 月）の 117〜118 ページ、補論 3 の（1）（式 A-20〜A-22）。バリアンス・スワップレートは MFIVar の 2 乗値と一致します。PDF では 45〜46 ページ目。 ↩

19. Goldman Sachs「More Than You Ever Wanted To Know About Volatility Swaps」の 27〜28 ページ（「Imperfect Replication Due to Limited Strike Range」、表 4、図 9）。PDF では 31〜32 ページ目。 ↩

20. 同資料の 28〜32 ページ（式 35〜42）。ジャンプによる損益のずれの最初の項は J³ に比例し、下落（J > 0）では売りと複製の組み合わせが利益になること。PDF では 32〜36 ページ目。 ↩ ↩²

21. 同資料の 36 ページ（「Conclusions and Future Innovations」）。キャップ付きのバリアンス・スワップやボラティリティ・スワップが損失を限ること、キャップ付きのバリアンス・スワップが実現バリアンスに対するオプションを内包し、評価にボラティリティの確率モデルが要ること。PDF では 40 ページ目。 ↩ ↩²

22. 日本銀行金融研究所 杉原慶彦「わが国株式市場のモデルフリー・インプライド・ボラティリティ」（「金融研究」2010 年 4 月）の 117 ページ、補論 3 の本文と脚注 28。ある一定の大きさを超えたリターンを除いて算出したヒストリカル・ボラティリティを交換対象とするコリドー型スワップ。PDF では 45 ページ目。 ↩