シンセティック CDO とトランシェ

銀行が貸出のクレジット・リスクを移すときや、投資家が好みのリスクとリターンの層を引き受けるとき、ディーラーがトランシェを売ってヘッジするときに使われる商品です。

参照ポートフォリオとトランシェ

シンセティック CDOは、複数の参照組織のクレジット・デフォルト・スワップ（CDS）で作る参照ポートフォリオを使い、ポートフォリオに起きる損失をトランシェに区切って売り買いする取引です。損失はまずエクイティ（ファースト・ロス）のトランシェに当たり、次にメザニン、最後にシニアとスーパー・シニアに当たります。債券や貸出を束ねる現物の CDO と違い、参照ポートフォリオは CDS でできています¹。

T 社のポートフォリオ（100 社の参照組織の CDS を等しい重みで束ねたもの）の架空の例で考えます。1 社あたりの想定元本は 10 億円で、合計は 1,000 億円です。どの参照組織も回収率は 40% とし、1 社が倒産するとポートフォリオの損失は 10 億円 ×（1 − 40%）= 6 億円、つまりポートフォリオの 0.6% です。倒産などのクレジット・イベントが起きるたびに 6 億円の損失が出るとして進めます。

ポートフォリオの損失を、次の 3 つのトランシェに分けます。トランシェの想定元本を足すと、ポートフォリオの 1,000 億円になります。

トランシェを引き受ける側は、そのトランシェの損失について、プロテクションを売る立場になります¹。損失が自分のトランシェに当たると、売り手は買い手に損失の分を払い、その代わりに、トランシェの残りの想定元本に対するスプレッドを受け取ります²。

トランシェには、資金を先に払う形（ファンデッド）と、スワップのように最初は資金を動かさない形（アンファンデッド）があります。ファンデッドでは、投資家がトランシェの想定元本を最初に払い、損失の分だけ元本が減ります。アンファンデッドでは、損失が当たったときに投資家が払うため、投資家が将来払えるかどうかという取引相手の信用リスクが生じます³。

損失の配分とアタッチメント・ポイント

トランシェが損失を負い始めるポートフォリオの損失の水準をアタッチメント・ポイント、損失がそこまで達するとトランシェの元本をすべて失う水準をデタッチメント・ポイントといいます⁴⁵。上の例では、メザニンのアタッチメント・ポイントは 5%、デタッチメント・ポイントは 15% です。アタッチメント・ポイントより下のトランシェの大きさは、そのトランシェを守る緩衝の大きさにあたります⁴。

ポートフォリオの損失を $L$、アタッチメント・ポイントを $A$、デタッチメント・ポイントを $D$（いずれも金額に直した値）とすると、そのトランシェの損失は次の式になります⁶。

$$\text{トランシェの損失} = \min\bigl(\max(L - A,\ 0),\ D - A\bigr)$$

T 社の例で、倒産が 5 社、10 社、25 社、30 社のときの損失の配分を計算します。倒産 1 社あたりの損失は 6 億円です。

5 社の倒産で、ポートフォリオの損失は 3% にとどまりますが、エクイティの元本の 60% が失われます。9 社になると損失は 54 億円となり、エクイティはすべて失い、メザニンの損失（4 億円）が始まります。10 社ではメザニンの損失は 10 億円です。シニアに損失が当たるのは、倒産が 26 社以上になってからです。

この式から、トランシェの損失は、ポートフォリオの損失を原資産とするオプションの組み合わせとして読めます。損失 $A$ を行使価格とするコールを買い、損失 $D$ を行使価格とするコールを売る形（コール・スプレッド）の受け取りと同じ形になるためです⁷。次の図は、メザニンのプロテクションの買い手が受け取る額を示します。

図の説明

T 社の例のメザニン（損失の範囲が 50 億円から 150 億円）のプロテクションの買い手が、売り手から受け取る額です。横軸はポートフォリオの損失、縦軸は買い手が受け取る額です。損失が 50 億円以下のときは何も受け取りません。50 億円を超えると、損失が 1 億円増えるごとに受け取りも 1 億円増え、損失が 150 億円に達した時点で受け取りは上限の 100 億円になります。それ以上、損失が増えても受け取りは増えません。

スプレッドは、損失で減ったあとの想定元本に対して払います⁸。エクイティのスプレッドを年 15% とする架空の例で考えます。最初は 50 億円 × 15% = 7.5 億円を毎年払います（期間を 1 年ごとの払いに単純化しています）。5 社が倒産すると、買い手は 30 億円を受け取り、残りの想定元本は 20 億円になるため、以後の払いは 20 億円 × 15% = 3 億円に減ります。10 社が倒産すると、想定元本の 50 億円がすべて損失になり、スプレッドの受け払いは止まります。

相関がトランシェごとに効く向き

デフォルトが同じ時期に重なりやすいこと（デフォルトの相関が高いこと）は、トランシェによって効く向きが違います。トランシェを引き受ける側（プロテクションの売り手）から見ると、相関が高いほど、エクイティの価値は上がり、シニアの価値は下がります。メザニンには両方の影響があり、互いに打ち消し合うため、相関に対する価値の動きはエクイティやシニアより小さくなります⁹。

理由は、相関が高いと、倒産がほとんど起きない場合も、多数が同時に倒産する場合も増えるためです。エクイティは最初の少数の倒産だけを負うため、倒産がほとんど起きない場合に得をする分が、多数が倒産する場合に損をする分より大きく、価値が上がります⁹。シニアは、多数が倒産する場合にだけ損失が当たるため、その確率が上がると価値が下がります⁹。T 社の例では、シニアに損失が当たるには 26 社以上が倒産する必要があり、相関が高いほどその確率が高まります。

プロテクションの買い手から見ると、向きは逆になります。シニアのプロテクションを買う側は、相関が上がると受け取る見込みが増えて得をし、エクイティのプロテクションを買う側は損をします。

トランシェの価格には、市場が見込むデフォルトの相関が織り込まれています。相関は直接観測できないため、トランシェは相関のリスクを負う商品になります⁹。インデックスのトランシェでは、構成銘柄の間のインプライド相関がトランシェの価値の決定に使われ、その推定には複雑なモデルが必要です⁵。

最初の 1 社の倒産だけを負うファースト・トゥ・デフォルトは、少数の参照組織を対象にした、エクイティ・トランシェに近い商品です。損失を最初に負う点、少ない元本で大きなリスクを負う点、価値が相関に左右される点が似ています¹⁰。

標準化したインデックスのトランシェ

CDS インデックスの一部は、インデックスの損失を決まった範囲に分けたトランシェでも取引されます⁵。インデックスそのものの仕組みはCDS インデックス（iTraxx、CDX）で扱います。標準のトランシェの範囲とクーポンは、IHS Markit の資料（2021 年 11 月）では次の表のとおりです¹¹。

標準の満期は 3 年、5 年、7 年、10 年です。トランシェが新しいシリーズに移る（ロール）のは年に 1 回、9 月です¹¹。

インデックスのトランシェは、損失を回収率を考えた後の額で測る点が、インデックス本体と違います。インデックス本体は、倒産した銘柄の重みの分だけ想定元本を減らします。トランシェは、銘柄の重みに倒産時の損失率（1 − 回収率）を掛けた分を損失とします⁵。

T 社の例のポートフォリオを、100 社を等しい重みで束ねたインデックスと見立てて計算します。トランシェのアタッチメント・ポイントを 0%、デタッチメント・ポイントを 5% とするエクイティを考えます。回収率 40% の 1 社が倒産すると、ポートフォリオの損失は 1% × 60% = 0.6% です。想定元本 50 億円のエクイティのプロテクションの買い手は、50 億円 × 0.6% ÷ 5% = 6 億円を受け取ります。エクイティの想定元本は 44 億円に減ります¹²。

倒産のあとは、残りの 99 社を基準にした新しい範囲でトランシェを取引します。エクイティの新しいデタッチメント・ポイントは（5% − 0.6%）÷ 0.99 = 約 4.44% で、メザニンとシニアのアタッチメント・ポイントとデタッチメント・ポイントも変わります¹²。エクイティの損失はほかのトランシェの想定元本を減らしませんが、ほかのトランシェを守る緩衝は小さくなります。スーパー・シニアは、回収された分だけ想定元本が減ります¹²。

スプレッドとトランシェの建値

取引を結ぶ時点のトランシェのスプレッドは、スプレッドの支払いの現在価値と損失の補償の現在価値が等しくなる値（パー・スプレッド）で決まります。損失の補償の現在価値は、トランシェの期待損失から計算します⁶。トランシェの期待損失は、ポートフォリオの損失の分布に左右され、その分布は参照組織ごとの倒産確率と相関で決まります。

この節の式と数値例は、2004 年の Federal Reserve Board の論文（Gibson）によります。式は、$i$ 回目の支払日までの期待損失を $EL_i$、その日の割引係数を $P_i$、支払の期間を $\Delta_i$ として、パー・スプレッド $s$ は次の式になります。分子が損失の補償の現在価値、分母がスプレッドを払う対象の想定元本（トランシェの幅から期待損失を引いた額）の現在価値です⁶。

$$s = \frac{\sum_i P_i\,(EL_i - EL_{i-1})}{\sum_i P_i\,\Delta_i\,\bigl((D - A) - EL_i\bigr)}$$

期待損失 $EL_i$ は、倒産数ごとの確率に、その倒産数でのトランシェの損失（前の節の式）を掛けて足した値です。この確率を作るモデルには、次の前提があります¹³。

• 各社の資産価値を、全社に共通の因子 1 つと、各社に固有の因子で表します。共通の因子の影響の強さが、相関を決めます。数値例では、どちらの因子も正規分布とします。
• 各社の倒産確率は、その会社の CDS スプレッドから求めます。回収率は一定で、あらかじめ分かっているものとします。
• 数値例では、倒産のしやすさ（ハザード率）を年 1% で一定、無リスク金利を年 5% で一定とします。

前提が崩れると、値は変わります。参照組織の CDS スプレッドが動けば倒産確率の見込みが変わり、突然の倒産（ジャンプ・トゥ・デフォルト）にも備えたいと、ディーラーは考えます。相関の見方が違えば、同じトランシェに別の値が付きます。

数値例は、仮のポートフォリオ（100 社、5 年）のパー・スプレッドをモデルで計算します。すべての参照組織は、CDS スプレッドが 60bp、回収率が 40%、資産の相関が 30% です¹⁴。

損失を最初に負うエクイティはスプレッドが高く、損失が届きにくいシニアはスプレッドが低くなります。数値は、同じ想定元本、回収率、スプレッドの仮の前提と、共通の因子 1 つで相関を表すモデルの結果で、前提を変えれば値は変わります¹⁴。

参照組織の CDS スプレッドが変わると、トランシェの価値も動きます。全参照組織のスプレッドを 10bp 下げたときの価値の増え方が、感応度の 1 つの測り方です¹⁵。スプレッドが下がるとプロテクションの売り手（トランシェの投資家）の価値が増えるため、スプレッドが広がると、売り手は損をし、買い手は得をします。同じスプレッドの動きでも、想定元本に対する価値の動きはトランシェで違い、数値例の表では、エクイティとメザニンのほうがシニアより大きくなっています¹⁵。

標準化したトランシェの取引では、クーポンはインデックスごとに 100bp か 500bp に決まっています（前の節の表）。2009 年 6 月 22 日以降のトランシェは、インデックスと同じく、取引日に前払金（アップフロント）を受け払いし、取引日までの経過分を売り手が買い手に払い、買い手が次の払い日に全額のクーポンを払う形になりました⁸。この形にすると、取引日によらずクーポンの計算の起点が同じになり、解約、名義の移転、相殺が簡単になります⁸。

何に使われるか、得と損

シンセティック CDO の最初の取引（1997 年）は、銀行がクレジット・リスクをヘッジする、または規制資本を減らす、あるいはその両方を目的にしていました¹⁷。その後は、投資家が好むリスクとリターンのトランシェを作る取引が増えました¹⁷。トランシェごとにリスクとリターンが違うため、エクイティは運用会社やヘッジファンド、メザニンは地域銀行、シニアは再保険会社のように、別々の投資家が引き受ける例が挙げられます¹⁸。

T 社の例で、トランシェを使って貸出のクレジット・リスクを減らす場合を考えます。ある銀行が、T 社のポートフォリオの 100 社に 10 億円ずつ（合計 1,000 億円）貸していて、貸出の損失は参照ポートフォリオと同じ（倒産 1 社で 6 億円）とします。この銀行がエクイティ（50 億円）のプロテクションを買い、スプレッドを年 15% で払う場合の結果は、次のようになります。

倒産が 5 社までなら、貸出の損失はエクイティから受け取る額で埋まります。倒産が 10 社になると、エクイティの範囲を超えた 10 億円は銀行が負います。倒産が 0 社なら、銀行はスプレッドを払うだけで、受け取りはありません。最初の年のスプレッド 7.5 億円を加えると、貸出の損失とスプレッドを合わせた負担は、0 社で 7.5 億円、5 社で 7.5 億円、10 社で 17.5 億円です（倒産が起きても最初の年のスプレッドは払ったとして数えます）。

プロテクションを売った投資家の側から見ると、損益は逆になります。倒産が 0 社なら年 7.5 億円を受け取り、5 社なら 30 億円を払い、10 社なら 50 億円を払います。

銀行がシンセティック CDO で貸出のリスクを移すとき、元の銀行がエクイティを自分で持ち続けることが多く、その場合は移るリスクが想定元本の割合より小さくなります¹⁹。エクイティは想定元本の割合が小さくても、リスクの割合が大きいためです。

トランシェのリスクとディーラーのリスク

この節の内容は、2004 年の論文の説明と仮の例に基づきます。

トランシェのリスクは、想定元本の割合には比例しません。仮の例では、エクイティとメザニンの想定元本はポートフォリオの 10% でしたが、リスクの 70〜90% を占めました（測り方によって幅があります）²⁰。エクイティは、ポートフォリオ全体に直接投資する場合の約 13〜17 倍、メザニンは約 5〜7 倍のリスクを負います²¹。

ディーラーがトランシェを 1 つだけ投資家に売る取引（単一トランシェの CDO）では、ディーラーはそのトランシェのプロテクションを買う立場になります。市場関係者の観察では、2004 年ごろは、単一トランシェの取引のほうが、すべてのトランシェを同時に売る従来の形より、新しい取引で多いとされます²²。ディーラーは、参照組織の単一の CDS でプロテクションを売ってヘッジします。必要な額はスプレッドが動くたびに変わるため、組み直しが続きます²²。

仮の例（5 年、100 社、1 社 1,000 万ドル、CDS スプレッド 60bp）で、ディーラーが想定元本 3,000 万ドルのエクイティを売るとします。ディーラーは 100 社に合計 4 億 8,300 万ドルのプロテクションを売ってヘッジします²³。この額は、トランシェの想定元本の 16 倍ほどです。

単一トランシェのヘッジには、4 つのリスクがあります²⁴。

• 参照組織ごとのヘッジの量（デルタ）はモデルに左右され、モデル・リスクを負います。
• ヘッジを組み直すたびに CDS を売買する費用がかかり、CDS の市場に十分な流動性がなければ、希望どおりに組み直せません。
• ディーラーは、スプレッドの小さな動きと、突然の倒産（ジャンプ・トゥ・デフォルト）の両方に備えたいと考えます。
• 価格とヘッジに使った相関の想定が、実際と違うリスクがあります。

相関が観測できないため、ディーラーがヘッジしても、相関のリスクは残ります²⁵。市場参加者が相関について別々の見方を持つと、同じトランシェに別々の値を付け、相関を売買する取引が生まれます²⁵。

すべてのトランシェを売って、ポートフォリオの CDS でヘッジする場合にも、ずれが残ります。仮の例では、3 つのトランシェのスプレッドの加重平均は 74bp で、ポートフォリオの 60bp を上回ります¹⁴。ディーラーは最初、受け取るより多く払う（ネガティブ・キャリー）状態になります。倒産がエクイティの元本を減らすにつれて払いが減り、満期の約半分で正になります。この例では、倒産が早く起きるとディーラーに有利になります²⁶。

論文の簡単なモデルは、払いの優先順位（ウォーターフォール）、特定の条件で払いを上位のトランシェに回す仕組み、運用者への制約を含みません。これらは現物の CDO に多いとされます²⁷。

注

1. Michael S. Gibson「Understanding the Risk of Synthetic CDOs」（Federal Reserve Board、2004 年 7 月改訂。以下「Gibson 論文」）の 1 ページ、"1 Introduction" と "2 Some background on synthetic CDOs"。スーパー・シニアの定義は 1 ページの脚注 1。 ↩ ↩²

2. Gibson 論文の 6〜8 ページ、"4 Pricing a synthetic CDO tranche"。残りの想定元本にスプレッドを払う式は 8 ページの式 (9)。 ↩

3. Gibson 論文の 3 ページ、"funded" と "unfunded" の説明。 ↩

4. Gibson 論文の 6 ページ、"4 Pricing a synthetic CDO tranche"。「デタッチメント・ポイント」の呼び方は、次の注の Primer の表現です。 ↩ ↩²

5. IHS Markit「CDS Indices Primer」（2021 年 11 月。以下「Primer」）の 25 ページ、"Overview"。 ↩ ↩² ↩³ ↩⁴

6. Gibson 論文の 8 ページ、式 (7)〜(9) と式 (11)。本文の式は、これらを組み合わせ、論文の記号 L、H を A、D に書き換えたものです。 ↩ ↩² ↩³

7. 損失の式をコールの受け取りの差に書き直した、このサイトの算術による説明で、資料の主張ではありません。max(L − A, 0) − max(L − D, 0) = min(max(L − A, 0), D − A)。 ↩

8. Primer の 26 ページ、"Tranche trade mechanics"。 ↩ ↩² ↩³

9. Gibson 論文の 18 ページ、"6 CDO tranches are exposed to correlation risk" と 19 ページの Figure 4。 ↩ ↩² ↩³ ↩⁴

10. Gibson 論文の 21 ページ、"6.2 First-to-default baskets and correlation trading"。 ↩

11. Primer の 34 ページ、"Appendix 3: Roadmap to Tranches" の "Index Tranches Availability"。 ↩ ↩²

12. Primer の 26〜27 ページ、"Tranche trading example" と "Tranche Adjustment"。資料の式を T 社の例の数値に当てはめたものです。 ↩ ↩² ↩³ ↩⁴ ↩⁵

13. Gibson 論文の 4〜6 ページ（PDF の 6〜8 ページ目）、"3 Modeling the loss distribution" の式 (1)、(2) と、9〜10 ページの数値例の前提。 ↩

14. Gibson 論文の 9〜10 ページ、"5 The risk of CDO tranches" と Table 2。前提は 1 社 1,000 万ドル、四半期払い、ハザード率年 1%、無リスク金利年 5% など。 ↩ ↩² ↩³

15. Gibson 論文の 11 ページ、"5.1 Risk measures for the hypothetical CDO tranches" と 14 ページの Table 5 の感応度の列。 ↩ ↩²

16. Primer の 28 ページ。 ↩

17. Gibson 論文の 2〜3 ページ、"2 Some background on synthetic CDOs"。最初の取引は 1997 年（2 ページ）。 ↩ ↩²

18. Gibson 論文の 9 ページ、"5 The risk of CDO tranches"。仮の例での売り先の例です。 ↩

19. Gibson 論文の 17 ページ、"5.3 Risk transfer is limited when the equity tranche is retained"。 ↩

20. Gibson 論文の 12 ページと 13 ページの Table 4。仮の例は 10 億ドルの CDO（エクイティ 0〜3%、メザニン 3〜10%、シニア 10〜100%）。 ↩

21. Gibson 論文の 12 ページと 14 ページの Table 5。13〜17 倍と 5〜7 倍は、感応度、期待損失、予想外の損失の 3 つの測り方による範囲です。 ↩

22. Gibson 論文の 3 ページ（単一トランシェの CDO の説明）と、19〜20 ページ、"6.1 Single-tranche CDOs"。 ↩ ↩²

23. Gibson 論文の 20 ページ、Table 7。エクイティ（0〜3%、3,000 万ドル）に対し、各社 483 万ドル、合計 4 億 8,300 万ドルのプロテクションを売る設定です。 ↩

24. Gibson 論文の 20〜21 ページ、"6.1 Single-tranche CDOs"（4 つのリスク管理上の課題）。 ↩

25. Gibson 論文の 21 ページ、"6.2 First-to-default baskets and correlation trading"。 ↩ ↩²

26. Gibson 論文の 10 ページ、"5 The risk of CDO tranches"（Table 2 の後の説明）。 ↩

27. Gibson 論文の 17〜18 ページ、"5.4 CDO structuring"。 ↩