貸出や社債の信用リスクをヘッジする費用は、将来の CDS のスプレッドで決まります。その費用を今のうちに決めておきたい場面や、スプレッドの変動そのものを売り買いする場面で、CDS オプションが出てきます。

将来の CDS を始める権利

CDS オプションは、クレジット・デフォルト・スワップ（CDS）を、将来のある日（満期）に始める権利を売買するオプションです。買い手は売り手にオプションのプレミアムを払い、満期に、あらかじめ決めたスプレッド（行使スプレッド）で CDS を始めるかどうかを選びます。CDS の仕組みはクレジット・デフォルト・スワップ（CDS）で扱います。

権利には 2 つの向きがあります。プロテクションの買い手になる権利をペイヤー、売り手になる権利をレシーバーといいます。ペイヤーは CDS で固定の率（CDS のプレミアム）を払う側、レシーバーはその率を受け取る側になる権利です1。買い手は権利を行使しなくてもよく、失うのは払ったオプションのプレミアムだけです。オプションのプレミアムは約定のときに一度払い、期間中のほかの受け払いはありません1。

対象は、1 つの参照組織の CDS（シングルネーム）と、複数の参照組織を束ねたCDS インデックスです2。2021 年 11 月時点では、CDS オプションは主にインデックスを対象にします3。インデックスのオプションは、満期にだけ行使できるヨーロピアン・オプションです1。CDS オプションは、金利のスワップションに当たる取引で、CDS のスワップションとも呼ばれます。金利の場合はスワップションで扱います。

U 社の CDS を対象にした例

T 銀行が、U 社の 5 年の CDS を対象に、想定元本 100 億円、満期 3 か月、行使スプレッド 150bp のペイヤーを、オプションのプレミアム 5,000 万円で買う架空の例で考えます。T 銀行は U 社に 100 億円を貸していて、このオプションを、貸出の信用リスクのうち、スプレッドの拡大による評価損のヘッジに使います。オプションは、満期前に U 社にクレジット・イベントが起きると消えるもの（ノックアウトが有るもの）とします。

満期に、U 社の 5 年の CDS の市場のスプレッドが 150bp を上回っていれば、T 銀行は権利を行使して、150bp でプロテクションを買う CDS を始められます。市場より低い率で買えるため、その差が行使で得る額になります。スプレッド 1bp あたりの現在価値を 400 万円と置くと、差 1bp につき 400 万円です4。市場のスプレッドが 150bp 以下なら行使せず、5,000 万円を失います。

満期のスプレッド（bp） 行使 行使で得る額（万円） T 銀行の損益（万円） 売り手の損益（万円）
100 しない 0 −5,000 +5,000
150 しない 0 −5,000 +5,000
162.5 する 5,000 0 0
200 する 20,000 +15,000 −15,000
250 する 40,000 +35,000 −35,000

損益はオプションのプレミアムを含めた値です。損益が 0 になる損益分岐点は、150bp + 5,000 万円 ÷ 400 万円 = 162.5bp です。

−200+20+40+60+80150損益（bp）満期のフォワード・スプレッド（bp）利益損失損益分岐点 162.5
図 1ペイヤーの買い手の満期の損益
図の説明

行使スプレッド 150bp のペイヤーを買った T 銀行の、満期の損益です。横軸は満期の CDS のスプレッドで、縦軸は損益をスプレッドの幅（bp）で表します。縦軸が bp のため、プレミアム 5,000 万円は 12.5bp にあたります。150bp を境に、それ以下は損失が 12.5bp（プレミアム分）で一定で、それを超えると傾き 1 で右上がりに利益が増える形です。

レシーバーは向きが逆です。行使スプレッド 150bp のレシーバーなら、満期のスプレッドが 150bp を下回るほど、市場より高い率で売り手になれるため、得になります。

行使スプレッドとフォワード・スプレッド

満期に始まる CDS の価値が 0 になるスプレッドを、フォワード・スプレッドといいます5。オプションの価値は、行使スプレッドとフォワード・スプレッドの差で決まります。インデックスの場合、市場で建値されるのは今始まる取引のスプレッドだけで、満期に始まる取引のスプレッドはそこから計算します6。

イン・ザ・マネー、アット・ザ・マネー、アウト・オブ・ザ・マネーの区別は、スプレッドで建値するインデックスでは次の表のとおりです1。

権利 イン・ザ・マネー アット・ザ・マネー アウト・オブ・ザ・マネー
ペイヤー 行使スプレッドが市場のスプレッドより低い 等しい 高い
レシーバー 行使スプレッドが市場のスプレッドより高い 等しい 低い

価格で建値するインデックス（CDX.NA.HY など）のオプションは、行使価格とインデックスの価格を比べ、向きが逆になります。ペイヤーは行使価格がインデックスの価格より高いとイン・ザ・マネーです1。CDX.NA.IG のオプションの行使スプレッドは bp で、CDX.NA.HY のオプションの行使価格は % で示します7。

スプレッドを原資産とみると、ペイヤーの損益は上の図のようにコール・オプションの形です。一方、IHS Markit の資料は、ペイヤーをプット・オプション、レシーバーをコール・オプションに相当すると説明しており、スプレッドの側から見たときとは呼び方が逆です1。

ノックアウトと損失の補償

満期より前に参照組織にクレジット・イベントが起きると、オプションが消えるものを、ノックアウトが有るオプションといいます。ペイヤーには、ノックアウトが有るものと無いものがあります2。

単一の参照組織のオプションについて、Morini と Brigo の論文はノックアウトのオプションとして扱い、デフォルトの後の価値を 0 とします8。前の例の T 銀行のペイヤーは、満期前に U 社にクレジット・イベントが起きると、貸出に損失が出る一方で、オプションからは何も受け取れません。

インデックスのオプションは、構成銘柄にクレジット・イベントが起きても変わらず、買ったときのバージョンのインデックスを参照し続けます9。ペイヤーを行使した買い手は、満期までに起きたクレジット・イベントの損失の補償を受け取ります。この補償をフロント・エンド・プロテクションといいます6。レシーバーを行使した買い手は、その分を支払います9。補償は行使したときだけ受け取れるため、行使するかどうかの判断に入ります10。

深掘りCDX.NA.HY のレシーバーの行使価格の調整

IHS Markit の資料に、2019 年 10 月に CDX.NA.HY 5 年（シリーズ 33）のレシーバーを買った例があります。想定元本は 1 億ドル、満期は 3 か月、行使価格は 107%（クリーン価格）、プレミアムは 30.65bp（30 万 6,500 ドル）です。満期までに構成銘柄の 1 社（重み 1%）にクレジット・イベントが起き、回収率が 9.25% と決まりました9。

調整後の行使価格は、次の式で求めます。

1−(1−K)×IFold−(1−R)×wIFnew1 - \frac{(1 - K) \times IF_{\text{old}} - (1 - R) \times w}{IF_{\text{new}}}

KK は元の行使価格（1.07）、IFoldIF_{\text{old}} と IFnewIF_{\text{new}} はクレジット・イベントの前後のインデックス・ファクター（1 と 0.99）、RR は回収率（0.0925）、ww は銘柄の重み（0.01）です。この例では 107.9874% になります。満期のインデックスの価格 109.4164 がこれを上回るため、買い手は行使で得をします11。

ブラック・モデルの式と論点

価格は、フォワード・スプレッドが対数正規分布に従うとみて、ブラック・モデルの式で求めるのが基本の枠です。ペイヤーとレシーバーの価値は、次の式で表せます12。

Vpayer=A[S N(d1)−K N(d2)]V_{\text{payer}} = A \left[ S \, N(d_1) - K \, N(d_2) \right] Vreceiver=A[K N(−d2)−S N(−d1)]V_{\text{receiver}} = A \left[ K \, N(-d_2) - S \, N(-d_1) \right] d1=ln⁡(S/K)+12σ2TσT,d2=d1−σTd_1 = \frac{\ln(S/K) + \tfrac{1}{2} \sigma^2 T}{\sigma \sqrt{T}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}

SS はフォワード・スプレッド、KK は行使スプレッド、σ\sigma はフォワード・スプレッドのボラティリティ、TT は満期までの年数、NN は標準正規分布の累積分布関数です。AA は満期に始まる CDS の、スプレッド 1 単位あたりの現在価値で、参照組織のデフォルトを考慮した値です。想定元本を掛けると金額になります。

インデックスのオプションでは、フロント・エンド・プロテクションの価値を価格に足すだけでは、補償が行使の判断に入る点を捉えられません。Pedersen は 2003 年に、この点を欠点として指摘しました。実務では、プロテクション・レグの価値にフロント・エンド・プロテクションの価値を足して AA で割った損失調整済みスプレッドを SS に使って直します5。

その方法にも問題が残ると、Morini と Brigo は 2007 年の論文で主張しています13。

  • スプレッドの定義が、一般には成り立たない。
  • 価格が定義されない場合がある。
  • ニューメレール（価格を測る基準にする量）が、厳密には正でない。

論文は、標準的なオプションで平常の市場なら無視できる差が、標準的でないオプションや市場が荒れたときには大きくなると述べています14。

デルタ、ガンマ、ベガ、シータなどのグリークスも、ほかの資産のオプションと同様にリスクの測定に使われます1。

何に使われるか

一つは、貸出のスプレッド拡大に備えたヘッジ費用の固定です。ペイヤーの買い手は、将来プロテクションを買いたくなったときの率の上限を、今の約定で行使スプレッドに決められます6。前の例で、現在の U 社のスプレッドを 150bp、貸出の評価損益の感応度を CDS と同じ 1bp あたり 400 万円と置いて、貸出と合わせた結果を見ます。満期のスプレッドが 200bp に広がると、貸出の評価損は約 2 億円ですが、オプションから 2 億円を受け取るため、差し引きはプレミアムの 5,000 万円の損だけです。100bp に狭まると、貸出の評価益は約 2 億円で、オプションは 5,000 万円の損のため、差し引き約 1 億 5,000 万円の得です。

150bp 以下ではプレミアムは戻らず、広がるときの損を減らす代わりに、狭まるときの得からプレミアム分を差し引く形になります。

もう一つは、スプレッドの動きやボラティリティの売買です。方向性の取引、オプションのキャリアによる利回りの上乗せ、インプライドと実現のボラティリティを比べる取引などにも使われます3。売り手は 5,000 万円を受け取りますが、前の例では満期のスプレッドが 162.5bp を超えて広がるほど損が増え、200bp で 1 億 5,000 万円の損になります。

リスクと取引の実務

買い手の損失はプレミアムに限られますが、売り手の損失は、スプレッドが広がるほど増えます。ノックアウトが有るオプションを持つ側は、満期前のクレジット・イベントでヘッジが消えるリスクを負います。

2021 年 11 月時点で、インデックスのオプションの満期は 1 か月から 12 か月ほどで、対象は主に最新のシリーズの 5 年です。満期日は毎月第 3 水曜日で、取引は店頭で行い、清算されます1。CDX.NA.IG のスワップションは、tpSEF Inc. が 2014 年 10 月に米国商品先物取引委員会に届け出た商品条件で、満期にだけ行使できる現物決済とされ、行使するとインデックスの CDS を始めます15。

注

  1. IHS Markit「CDS Indices Primer」（外部サイト）（2021 年 11 月）の 30 ページ、"Overview" と "CDS Index Option mechanics"。 ↩ ↩2 ↩3 ↩4 ↩5 ↩6 ↩7 ↩8

  2. 同じ資料（外部サイト）の 37 ページ、"Credit Swaptions – aka Credit Options"。 ↩ ↩2

  3. 同じ資料（外部サイト）の 13 ページ、"Use cases" の "Options/Volatility Trading"。 ↩ ↩2

  4. Morini と Brigo の論文（外部サイト）の 7 ページの式 6 と 9 は、ペイヤーの価値を「1bp あたりの現在価値 ×（スプレッドの差）」の形で示します。例では、この値を満期のスプレッドによらず一定と置きます。 ↩

  5. Morini と Brigo「Arbitrage-free Pricing of Credit Index Options」（外部サイト）（2007 年 12 月版）の 7 ページ、"The Credit Index Option"。 ↩ ↩2

  6. 同じ資料（外部サイト）の 6 ページ、"The Forward Credit Index" と "The Credit Index Option"。 ↩ ↩2 ↩3

  7. IHS Markit「CDS Indices Primer」（外部サイト）の 35 ページ、"Appendix 4: Swaptions"。CDX.NA.IG、CDX.NA.HY、iTraxx Europe、iTraxx Crossover の Option Premium Units。 ↩ ↩2

  8. Morini と Brigo の論文（外部サイト）の 10 ページ、"Subfiltrations for single issuer" の末尾。 ↩

  9. IHS Markit「CDS Indices Primer」（外部サイト）の 31 ページ、"Credit events" と "CDS Index Option trade example"。 ↩ ↩2 ↩3 ↩4

  10. Morini と Brigo の論文（外部サイト）の 3 ページ、"Introduction"。 ↩

  11. IHS Markit「CDS Indices Primer」（外部サイト）の 32 ページ、"On option expiry date"。 ↩

  12. Morini と Brigo の論文（外部サイト）の 7〜8 ページ、式 10 とレシーバーの価格の式。論文の Black 関数の記法を、満期 T とボラティリティ σ に分けて書きました。 ↩

  13. Morini と Brigo の論文（外部サイト）の 8 ページ、3.1 節 "Problems of the market formulas"。 ↩

  14. Morini と Brigo の論文（外部サイト）の 24 ページ、"Conclusion"。 ↩

  15. tpSEF Inc.「Terms and Conditions (CDX.NA.IG)」（外部サイト）（2014 年 10 月 30 日付の届け出の Exhibit B）の "Swaptions on the Above"。 ↩