FVA と MVA

無担保の顧客取引を担保付きの反対取引でヘッジする銀行では、価格付けや評価調整の計算で、担保と当初証拠金の資金調達のコストを FVA と MVA として扱います。

無担保取引と反対取引の資金コスト

FVA（Funding Valuation Adjustment）が生じる典型は、次の場合です。銀行が顧客と担保なしでデリバティブを結びます。同時に、同じ内容の反対取引を中央清算機関やほかの金融機関と担保付きで結びます¹。この銀行を J 社とし、顧客と担保なしの金利スワップを結んで、反対取引を担保付きで結ぶ架空の例で考えます。

顧客との取引の時価が J 社にプラスのとき、反対取引の時価は同じ額だけマイナスです。J 社は反対取引で担保を差し入れますが、顧客からは担保を受け取れません。たとえば時価が 100 万円なら、J 社は 100 万円の担保を差し入れ、その資金を自社の調達金利で調達します。このコストが FVA です。

図の説明

顧客、J 社、ヘッジ先の 3 者の間の流れです。顧客と J 社は、担保なしで金利スワップの受け払いをします。J 社とヘッジ先は、同じ内容の反対取引の受け払いをし、J 社はヘッジ先に変動証拠金と当初証拠金を差し入れます。受け払いは双方向で、矢印は取引の向きの目安です。変動証拠金は、顧客との時価が J 社にプラスのときに J 社が差し入れ、マイナスのときは受け取ります。当初証拠金は J 社が差し入れるだけです。この 2 つの担保の資金を J 社が自社の調達金利で調達するコストが、FVA と MVA の元になります。

担保付きの取引では、担保（変動証拠金）を再利用できます。このとき、無裁定の条件のもとで、割引金利はリスク・フリー金利の OIS 金利になります。一方、金融危機の後は、各社の調達金利が LIBOR にそろわず、信用力などに応じて異なる水準になりました。そのため、無担保の取引や一部しか担保のない取引では、自社固有の調達レートをもとに評価調整するのが一般的になりました²。

FVA に掛ける率がファンディング・スプレッドです。自社の調達金利のうち、リスク・フリー・レートを上回る幅にあたります。リスク・フリー・レートの部分は割引に入るため、FVA の式に現れるのはスプレッドだけです³。

資金調達のコストは、時価がプラスの側と、マイナスの側に分けて考えます。プラスの側の資金調達コストを FCA（Funding Cost Adjustment）、マイナスの側の資金調達の得を FBA（Funding Benefit Adjustment）といいます⁴。J 社の例では、顧客との取引の時価がマイナスのとき、反対取引で担保を受け取るため、再利用できるその担保が資金調達の得になります。FVA を FCA だけで数えるか、FBA も数えるかで、FVA の値は変わります。この違いは、DVA との二重計上の論点とつながります（「FVA を価格や会計に入れるか」の節）。FVA と MVA が、XVA の 5 つの調整のうち資金調達にかかわる 2 つであることは、XVA の全体像で扱います。

FVA の求め方

FVA は、将来の各時点で、担保でカバーされない時価のプラスの部分の期待値（期待エクスポージャー）を求め、ファンディング・スプレッドを掛けて割り引き、取引の期間で足し合わせたものです。連続時間の式は次のとおりです⁵。

$$\text{FVA} = \int_0^T s_F(u)\, E^Q\bigl[D(u)\,(V(u) - X(u))^+\bigr]\, du$$

時点 0 を評価時点、$T$ を満期とします。$s_F(u)$ はファンディング・スプレッド、$V(u)$ はリスク・フリーの時価、$X(u)$ は自社が受け取っている担保（差し入れていればマイナス）、$D(u)$ は割引係数、$E^Q$ はリスク中立確率での期待値です。$x^+ = \max\{x, 0\}$ で、時価から担保を引いた額のプラスの部分だけを取ります。

実際には、時点 $t_1, \dots, t_n$ に分けて足し合わせます。時点 $t_i$ の期待エクスポージャーを $\mathrm{EE}(t_i) = E^Q[(V(t_i) - X(t_i))^+]$ とします。ここでは、$\mathrm{EE}(t_i)$ を割り引く前の値とし、割引係数 $D(t_i)$ を別に掛けます。スプレッドが期間によらず一定なら、式は次のとおりです。

$$\text{FVA} \approx \sum_{i=1}^{n} s_F \times \mathrm{EE}(t_i) \times D(t_i) \times (t_i - t_{i-1})$$

$t_i - t_{i-1}$ は区間の長さ（年）で、区間の資金コストを、区間の終わりの $\mathrm{EE}(t_i)$ と $D(t_i)$ で代表させる簡略化です⁶。CVA の式が区間ごとのデフォルト確率と損失率を掛けるのに対し、FVA の式は区間の長さとスプレッドを掛けます。

上の連続時間の式の導出の筋道は次のとおりです⁷。まず、原資産、自社と取引相手が発行する債券、規制資本・当初証拠金・担保それぞれに対応する現金勘定を組み合わせたヘッジ・ポートフォリオを置きます。次に、デリバティブの価値の変化とポートフォリオの変化を足し合わせます。原資産の変動と取引相手のデフォルトのリスクをヘッジすると、残る項をゼロとおくことで、デリバティブの価値の偏微分方程式が得られます。リスク・フリーの価値が満たす偏微分方程式との差を取ると、評価調整の項だけが満たす偏微分方程式になり、満期の値は 0 です。これにファインマン・カッツの定理を適用します。自社のデフォルト時のヘッジ・エラーは調達の戦略で決まり、回収率の異なる自社の債券で調達して自社のデフォルト・リスクは完全にはヘッジしない戦略を置くと、本文の式の期待値の形になります。この方法は、ヘッジの戦略と、ヘッジに必要な調達の戦略を明確に書ける点が利点です。前提の扱いは「前提と限界」の節に書きます。

深掘り割引係数の定義

論文の割引係数 $D(u)$ は、リスク・フリー・レートに自社と取引相手のクレジット・スプレッドを足した率で割り引く係数です。自社のクレジット・スプレッドを入れる理論もありますが、自社の信用力の低下が CVA を減らすことになるため、実務では入れない場合もあります⁸。以下の例は、割引係数を与えられた値として置きます。

計算例：5 年の無担保スワップの FVA

J 社が顧客と結んだ期間 5 年の無担保の金利スワップ（反対取引は担保付き）の架空の例で考えます。各年の EE は、その年を通じて J 社が担保の資金を調達する額の期待値とし、シミュレーションで求めた値を置きます。ENE は、時価のマイナスの部分の大きさの期待値で、J 社が反対取引で受け取る担保の額にあたります。ファンディング・スプレッドは年 0.50%、割引係数は年 2% の複利（1.02 の $t$ 乗の逆数）で、小数第 6 位まで示します。各年の FCA は、0.50% × EE × 割引係数 × 1 年です。

1 年目の FCA は、0.50% × 6,000 万円 × 0.980392 = 29.4 万円です⁹。FCA の合計は 142.2 万円なので、FVA を FCA だけで数えると、J 社の時価はリスク・フリーの時価より 142.2 万円低くなります。

FVA はスプレッドに比例します。スプレッドが 0.25% なら FCA は 71.1 万円、1.00% なら 284.5 万円です。J 社の調達が割安になってスプレッドが縮めば、FVA が減って評価の益になります。調達が割高になってスプレッドが広がれば、FVA が増えて評価の損になります。

FBA は、FCA と同じ形で ENE に掛けて求めます。

$$\text{FBA} \approx \sum_{i=1}^{n} s_F \times \mathrm{ENE}(t_i) \times D(t_i) \times (t_i - t_{i-1})$$

表の ENE では FBA は 52.1 万円です。FBA を数える方法では、FVA は 142.2 − 52.1 = 90.1 万円になり、数えない方法より 52.1 万円小さくなります¹⁰。

MVA：当初証拠金の資金コスト

MVA（Margin Valuation Adjustment）は、差し入れる当初証拠金を資金調達するコストを時価に反映する調整です。MVA の考え方は FVA に近く、掛ける量が時価のプラスの部分から当初証拠金に変わるだけです¹¹。証拠金規制のもとでは、当初証拠金は信託銀行やカストディアンが管理し、原則として再利用できません。そのため、変動証拠金と違って、運用の益を生みません¹²。MVA は、この資金を調達するコストを積み上げた、単純なコストです¹³。

$$\text{MVA} = \int_0^T s_F(u)\, E^Q\bigl[D(u)\,\mathrm{IM}(u)\bigr]\, du$$

$\mathrm{IM}(u)$ は、時点 $u$ に取引相手へ差し入れる当初証拠金です。FVA の式との違いは、時価と担保の差の代わりに、当初証拠金が入ることだけです。FVA と同じ簡略化では、時点 $t_i$ の期待当初証拠金を $\mathrm{EIM}(t_i) = E^Q[\mathrm{IM}(t_i)]$ として、次のとおりです。

$$\text{MVA} \approx \sum_{i=1}^{n} s_F \times \mathrm{EIM}(t_i) \times D(t_i) \times (t_i - t_{i-1})$$

証拠金規制では、当初証拠金は、マージン・ピリオド・オブ・リスクにおける最大の変動額をカバーする額とされています。具体的には、信頼区間 99%、保有期間 10 日間のバリュー・アット・リスクで定めます。算出方法は規制が詳しく定めていないため、業界標準の計算方法として SIMM が使われます¹⁴。当初証拠金の計算そのものは当初証拠金の標準モデル（ISDA SIMM）で扱います。以下では、将来の各時点の当初証拠金を与えられた量とします。

MVA に要るのは今の当初証拠金ではなく、将来の各時点の期待値、つまりプロファイルです。金利スワップの例では、将来時点の各テナーの感応度をシミュレーションすれば、将来の当初証拠金を求められます¹³。

J 社が反対取引で差し入れる当初証拠金の期待値が、年ごとに減る架空の例で考えます。値は次のとおりで、スプレッドと割引係数は FVA の例と同じです。

1 年目の MVA は、0.50% × 4,000 万円 × 0.980392 = 19.6 万円です。MVA の合計は 57.3 万円で、FVA（FCA のみ）の 142.2 万円と合わせると、J 社の時価は 199.5 万円下がります。MVA もスプレッドに比例し、0.25% なら 28.7 万円、1.00% なら 114.6 万円です。

当初証拠金をやりとりすると、取引相手のデフォルトに備える CVA と資本のコスト（KVA）は減りますが、新しく MVA が生じます¹⁵。2017 年の論文は、A 格の取引相手との 5 年の円金利スワップで、担保の条件を変えた XVA の合計を試算しています。ファンディング・スプレッドが 15bp と小さいときは、SIMM どおりに当初証拠金を全額やりとりするほど合計が小さくなりました。30bp と大きいときは、調達の負担が CVA と KVA の減る分を上回ることがあり、合計が最小になる当初証拠金の額は、全額より小さくなりました。取引相手が AA 格のときは、A 格と逆に、全額やりとりすると合計が大きくなる場合もありました¹⁶。論文は、格付け、担保の契約、スプレッドの組ごとの合計から、最適な取引相手と担保の条件を数字で判定できるとしています。

FVA を価格や会計に入れるか

FVA を時価に入れるかは、会計と価格付けで別々に決まります。2017 年ごろの状況は、次のとおりです。

MVA を価格に入れることが定着するかは、証拠金規制の導入が進むなかで固まっていくと見られていました。

FVA を評価調整に反映すると、期待エクスポージャーやファンディング・レートの変化で評価が動きます。LIBOR と OIS の乖離が広がる局面では、ファンディング・コストが上がって FVA が増えることもありえます。

FVA を価格に入れるべきかどうかは、市場の合意が得られていない部分があります。

FVA と DVA は、自社のデフォルトによる得を二重に数えないように注意が要ります¹⁹。J 社の例では、FBA を数えるか数えないかで、FVA が 90.1 万円と 142.2 万円に分かれました。時価がマイナスのときの資金調達の得（FBA）を FVA に数えず、自社のデフォルトによる得を DVA だけで反映する方法があります。2017 年の論文はこの方法を採っています²¹。FVA の計算方法はほかにもあり、どれを使うかで FVA の大きさは変わります。

前提と限界：モデルのリスク

FVA と MVA の値は、将来のエクスポージャーと当初証拠金のシミュレーション、調達の前提から計算する推計値です。前提や計算方法を変えれば、値が変わります。

論文の補論は、自社のデフォルト・リスクを完全にはヘッジしない設定（準複製）を採っています。自社のデフォルト・リスクを完全にヘッジするには、回収率の異なる自社の債券を動的に調整する戦略が要ります。Burgard and Kjaer はこれを実現困難として、この調達戦略を提示したと、補論は紹介しています⁷。

評価調整がヘッジ会計の有効性に与える影響は、「FVA を価格や会計に入れるか」の節の表にまとめました。

この記事が書いていないこと

2017 年以降の動きは、この記事では扱いません。

注

1. 川上高志「ヘッジ取引におけるデリバティブ信用評価調整の影響についての考察」（日本銀行金融研究所『金融研究』2018 年 4 月）の 2 節（1）（123〜124 ページ）。論文は、顧客との無担保取引に LIBOR を、担保付きの反対取引に OIS レートを使う当時の例で説明しています。 ↩

2. 斎藤祐一「金融規制の複合的影響を考慮したXVA」（日本銀行金融研究所『金融研究』2017 年 4 月）の 1 節（110 ページ）。担保付き取引の割引金利が OIS 金利になることは、論文が無裁定条件のもとで示すとしています。 ↩

3. 同じ資料の 2 節（2）（113〜116 ページ）の式 (2)。$s_F$ は論文の $s_B$ にあたります。「リスク・フリー・レートを上回る幅」は、記号の定義から読んだ表現です。 ↩

4. 同じ資料の 116 ページの脚注 7 と 1 節（110 ページ）。担保を再利用する側の得が FBA にあたるという説明は、この 2 か所を合わせた書き方です。 ↩

5. 同じ資料の 2 節（2）の式 (2)（115〜116 ページ）。論文の FVA は負の符号付きで、ここでは 0 以上の金額で表すため符号を反転しました。論文の $t$ は 0 と置き、$DF(u)$ は与えられた割引係数 $D(u)$ に置き換えています。 ↩

6. 離散化と、$D(t_i)$ を別に掛ける書き方は、式 (2) に合わせて置いたものです。『XVA の全体像』の CVA の式の $\mathrm{EE}$ は今の時点に割り引いた値なので、割引の扱いが違います。 ↩

7. 同じ資料の 2 節（2）（114〜115 ページ）と補論 1（145〜150 ページ）。本文の導出の段落の文の順に、ヘッジ・ポートフォリオは式 (A-5)、評価調整の項の偏微分方程式は式 (A-18)、調達の戦略は式 (A-20)、準複製は 149 ページの脚注 33 です。 ↩ ↩²

8. 同じ資料の 2 節（2）の式 (2) の後の脚注 6（116 ページ）。論文の $DF(u)$ の定義は 116 ページ。 ↩ ↩²

9. 表の各行の値は、小数第 2 位を四捨五入した値です。合計は、丸める前の値の和（FCA は 142.234、FBA は 52.123、MVA は 57.308）を小数第 2 位で四捨五入しました。そのため、丸めた各行を足した値と 0.1 ずれる場合があります（FBA の各行の合計は 52.0）。 ↩

10. FBA の式は、論文には書かれていません。論文は FVA に FBA を含めない式だけを示し、FBA を数える方法があることを脚注で述べています（116 ページの脚注 7）。ここでは、FCA の式の $\mathrm{EE}$ を $\mathrm{ENE}$ に置き換えた簡略化を置いています。 ↩

11. 斎藤祐一「金融規制の複合的影響を考慮したXVA」（日本銀行金融研究所『金融研究』2017 年 4 月）の 2 節（1）（112〜113 ページ）。MVA が当初証拠金を調達するコストで、FVA と考え方が似ていること、MVA を FVA の一部として財務報告することを検討している金融機関があること、価格に入れることが定着するかが証拠金規制の導入とともに固まっていくと考えられると書いています。 ↩ ↩²

12. 同じ資料の 4 節（1）（121 ページ）。当初証拠金は、倒産隔離の観点から信託銀行やカストディアンによる管理を求められ、原則として担保の再利用が禁じられています。 ↩

13. 同じ資料の 4 節（3）（123 ページ）。MVA の評価式は 2 節（2）の式 (2) です。論文は、MVA を常に負の評価調整としています。将来の当初証拠金は、金利スワップなら各テナーの感応度のシミュレーションで求められると書いています。 ↩ ↩² ↩³ ↩⁴

14. 同じ資料の 4 節（1）（121〜122 ページ）。証拠金規制ではバリュー・アット・リスクの算出方法を詳しく定めていないため、業界団体の ISDA が業界標準のモデルとして SIMM を公表していると書いています。 ↩

15. 同じ資料の 6 節（1）ロ（138 ページ）。論文は、高水準の当初証拠金が CVA と KVA を削減する一方、新たな調達コストとして MVA を生むと書いています。 ↩

16. 同じ資料の 6 節（2）イ（138〜139 ページ）。対象は 5 年の円金利スワップで、図 5 のとおり、ファンディング・スプレッドを 15bp と 30bp としたときの XVA の合計を、当初証拠金に対する信用極度額を動かして比べています。A 格と AA 格の違いは 139 ページです。 ↩ ↩²

17. 同じ資料の 2 節（1）（112 ページ）。論文は、FVA が会計上の公正価値に含めることを要請されていないものの、多くの金融機関が会計上で既に認識していると書き、2014 年度の財務報告で 24 社が FVA を報告していたという調査を引いています。 ↩

18. 同じ資料の 7 節（141 ページ）。論文は、先進行が CVA、DVA、FVA を価格に反映し、MVA も見積もりはじめていると書き、KVA を価格に入れることには合意が得られていないと書いています。 ↩

19. 同じ資料の 2 節（2）（114 ページ）。論文は、何を時価評価してヘッジするかは別に検討が要ること、どの評価調整を価格に織り込むかには市場のコンセンサスが得られていない部分があること、DVA と FVA で自社のデフォルトによる利益を二重計上しないよう留意が要ることを書いています。 ↩ ↩²

20. 川上高志「ヘッジ取引におけるデリバティブ信用評価調整の影響についての考察」（日本銀行金融研究所『金融研究』2018 年 4 月）の脚注 25（147 ページ、5 節）。論文は、FVA の認識が会計上義務づけられていないと断ったうえで、反映した場合の影響を述べています。 ↩

21. 同じ資料の 116 ページの脚注 7。論文は、自社のデフォルトによる得の二重計上を避ける 1 つの方法として、FBA を考慮しない方法を採っています。FVA の計算方法がほかにもあることは、安達［2015］の解説に拠ると書いています。 ↩ ↩²

22. 斎藤祐一「金融規制の複合的影響を考慮したXVA」（日本銀行金融研究所『金融研究』2017 年 4 月）の 2 節（2）（114 ページ）。 ↩