フォワードを FtF_t、ボラティリティを αt\alpha_t として、dFt=αtFtβdWt(1)dF_t = \alpha_t F_t^{\beta} dW^{(1)}_t、dαt=ναtdWt(2)d\alpha_t = \nu \alpha_t dW^{(2)}_t と置き、2 つのブラウン運動の相関を ρ\rho とします。パラメータは α\alpha（ボラティリティの初期値）、β\beta、ρ\rho、ν\nu（ボラティリティのボラティリティ）の 4 つです。名前は Stochastic Alpha Beta Rho の頭文字です1。

フォワードが 2.00%、満期が 1 年で、α=0.03\alpha = 0.03、β=0.5\beta = 0.5、ρ=−0.3\rho = -0.3、ν=0.4\nu = 0.4 の架空の例で考えます。近似式から求めたインプライド・ボラティリティは、行使価格 2.00%（ATM）で 21.40%、行使価格 2.50% で 19.53% です2。

近似式は厳密な解ではなく、フォワードが負のときは β=0\beta = 0 の場合を除いて使えないため、シフトを足して使います1。

注

  1. 服部孝洋「スワップション入門（モデル編）」（「ファイナンス」2021 年 10 月号）の 4.2 節（印刷ページ 62〜63）と 4.5 節（印刷ページ 65）。 ↩ ↩2

  2. Hagan, Kumar, Lesniewski, Woodward, "Managing Smile Risk"（Wilmott magazine, 2002）の式 (2.15a)〜(2.18)（印刷ページ 88〜89）。例の値は、式から計算し直した値。 ↩