マルチカーブ

金利スワップの評価では、割引と予想でカーブを分けるかどうかで時価が変わります。同じ取引でも、1 本のカーブで割引と予想をするか、カーブを分けるかで、結果が違うためです。

割引と予想でカーブを分ける

マルチカーブでは、金利スワップの評価に使うカーブを役割で分けます。1 つは、将来の受け払いを現在価値に直すための割引のカーブです。もう 1 つは、変動金利の受け払いの額を予想するためのカーブで、ここから将来の期間ごとのフォワードレートを求めます。市場のスワップの固定金利から逆算したフォワードレートの並びは、英語では projected curve ともいいます¹。割引と予想に同じ 1 本のカーブを使う方法は、シングルカーブといいます。

割引のカーブは、担保の条件で決まります。現金を担保にするときは、担保の通貨の翌日物金利を担保に付ける金利（付利）にするのが普通です。担保が十分にやりとりされる取引では、将来の受け払いをその付利の金利で割り引く必要があります²。OIS は、一定期間の翌日物金利を複利で計算した変動金利と固定金利を交換する金利スワップです。円の現金の担保には円の翌日物金利が付くため、円の OIS の固定金利から作ったカーブが割引のカーブになります。

予想のカーブは、参照する金利とその期間ごとに分けます。日本円 TIBOR（東京銀行間取引金利）のような銀行間の無担保の金利は、銀行の信用リスクを含む点で翌日物金利と性質が違います³。同じ銀行間の金利でも、期間が違えば値が違います。LIBOR（ロンドン銀行間取引金利）の期間の違う 2 つを交換するテナー・スワップは、どちらかの側に 0 でないスプレッドを足さないと釣り合いません⁴。このように、参照する金利や期間の違う 2 つの変動金利を交換するときに一方に上乗せする金利の幅を、ベーシス・スプレッドといいます。

1 本のカーブから分けるようになった経緯

金融危機の前は、デリバティブの評価の割引に通常は LIBOR を使っていました。銀行の信用リスクが目立たない間は、LIBOR をリスク・フリー・レートとみなしても特に問題になりませんでした⁵。LIBOR のスワップの固定金利から割引係数を求め、同じカーブから LIBOR のフォワードレートも求めるのが従来の方法です。2007 年より前は、LIBOR のスワップの固定金利がリスク・フリーのカーブの代わりとして使える値とみられていました⁶。

米国の市場では、3 か月の LIBOR と同じ期間の OIS の固定金利の差は、2007 年 8 月までは多くの場合 5〜10bp でした。この差は 2007 年 8 月 9 日に初めて急に広がり、2008 年 9 月 15 日のリーマン・ブラザーズの破綻の発表の後には約 350bp まで達しました⁷。銀行の信用リスクが高まって両者の差が広がると、割引に使うリスク・フリー・レートには、LIBOR より OIS の金利が適していると考えられるようになりました⁸。

金融危機の後は、担保のやりとりを前提にする取引が定着しました。日本銀行金融研究所の論文（2018 年）によると、現金の担保を受け取った取引は、OIS の金利で割り引いて評価する流れになっています⁸。予想のカーブも分かれました。円の 3 か月と 6 か月の LIBOR を交換するテナー・スワップのスプレッドは、2009 年の時点でしばしば 10bp を超えていました⁹。3 か月と 6 か月の予想のカーブは、割引のカーブとは別に作れます。期間の違うテナー・スワップの市場があれば、同じ方法を 1 か月や 12 か月の LIBOR にも広げられます。LIBOR と TIBOR を交換するスワップの市場があれば、TIBOR にも広げられます⁹。

割引のカーブと予想のカーブの作り方

マルチカーブのカーブは、次の順に作ります¹⁰。

1. OIS の固定金利から、ブートストラップで割引係数 $P(t)$ のカーブを作る。
2. 予想したい参照金利（たとえば TIBOR）を変動金利にしたスワップの、市場の固定金利を年限ごとに集める。
3. 1 の割引係数で割り引いたとき、2 のスワップの時価が 0 になるように、その参照金利のフォワードレートを短い年限から順に求める。
4. 評価するスワップの変動金利を 3 のフォワードレートで予想し、1 の割引係数で割り引く。

図の説明

図は、手順 1 から 4 のつながりを示します。OIS の固定金利から割引係数を求め、その割引係数と TIBOR のスワップの固定金利から TIBOR のフォワードレートを求めます。評価するスワップは、そのフォワードレートで変動金利を予想し、同じ OIS の割引係数で割り引いて時価を出します。シングルカーブとの違いは 2 点です。割引係数が OIS という別の市場から決まること、TIBOR のフォワードレートを割引係数の比ではなく、時価が 0 になる条件から求めることです。

手順 1 は金利カーブのブートストラップで扱います。手順 3 の式は次のとおりです。$n$ 年の TIBOR のスワップの市場の固定金利を $S_n$、$i$ 回目の支払日を $t_i$、その期間の長さ（年）を $\tau_i$、その期間の TIBOR のフォワードレートを $F_i$ とします。固定金利と変動金利の支払日が同じなら、市場の固定金利で時価が 0 になる条件は、想定元本 1 あたり次の式です¹¹。

$$S_n \sum_{i=1}^{n} \tau_i P(t_i) = \sum_{i=1}^{n} \tau_i F_i P(t_i)$$

左辺は固定金利の受け払いの現在価値、右辺は変動金利の受け払いの現在価値です。$n - 1$ 回目までのフォワードレートが求まっていれば、$F_n$ は次の式で求まります。

$$F_n = \frac{S_n \sum_{i=1}^{n} \tau_i P(t_i) - \sum_{i=1}^{n-1} \tau_i F_i P(t_i)}{\tau_n P(t_n)}$$

シングルカーブでは、フォワードレートを割引係数の比 $F_i = (P(t_{i-1})/P(t_i) - 1)/\tau_i$ から求めます。マルチカーブでは、TIBOR のフォワードレートを OIS の割引係数の比からは求めません。割引の金利と予想する金利の間に 0 でないベーシス・スプレッドがある限り、この比の関係は予想する金利では成り立たないためです¹²。

評価するスワップが、市場のスワップと同じ支払日で、固定金利 $K$ の固定払いなら、時価 $V$ は次の式になります。$N$ は想定元本、$A$ は OIS の割引係数に期間の長さを掛けて足した値です。

$$V = N \sum_{i=1}^{n} \tau_i (F_i - K) P(t_i) = N (S_n - K) A$$

右の等号は、上の時価が 0 になる条件から出ます。シングルカーブでは、$A$ を予想と同じカーブの割引係数で計算します。マルチカーブでは、$S_n$ は TIBOR のスワップの市場の固定金利のまま、$A$ だけが OIS の割引係数から計算した値に替わります。

深掘り変動金利の受け払いの現在価値とベーシス・スプレッドの関係

ここでは今から始まるスワップ（$P(t_0) = 1$）を考えます。OIS の割引係数の比から求めた OIS のフォワードレートを $F^{\mathrm{OIS}}_i = (P(t_{i-1})/P(t_i) - 1)/\tau_i$、$n$ 年の OIS の固定金利を $S^{\mathrm{OIS}}_n$ とします。OIS のカーブはシングルカーブなので、OIS の変動金利の受け払いの現在価値は、想定元本 1 あたり次の式になります。

$$\sum_{i=1}^{n} \tau_i F^{\mathrm{OIS}}_i P(t_i) = 1 - P(t_n) = S^{\mathrm{OIS}}_n A$$

一方、TIBOR の変動金利の受け払いの現在価値は、時価が 0 になる条件から $S_n A$ です。そのため、次の関係になります。

$$\sum_{i=1}^{n} \tau_i F_i P(t_i) = 1 - P(t_n) + (S_n - S^{\mathrm{OIS}}_n) A$$

TIBOR のスワップの固定金利が OIS の固定金利より高い分だけ、TIBOR の変動金利の受け払いの現在価値は $1 - P(t_n)$ より大きくなります。言い換えると、満期に元本 1 を返す TIBOR の変動利付債の価値（変動金利の受け払いの現在価値と $P(t_n)$ の和）は、OIS で割り引くと $1 + (S_n - S^{\mathrm{OIS}}_n) A$ になり、TIBOR のスワップの固定金利が OIS より高ければ元本の 1 より大きくなります。LIBOR を払う変動利付債でも、同じ関係が成り立ちます¹³。

OIS の変動金利に $b$ を足して TIBOR の変動金利と交換するベーシス・スワップを考えます。支払日と期間の長さが TIBOR のスワップと同じなら、時価が 0 になる $b$ は次の条件で決まります。

$$\sum_{i=1}^{n} \tau_i (F^{\mathrm{OIS}}_i + b) P(t_i) = \sum_{i=1}^{n} \tau_i F_i P(t_i)$$

左辺は $(S^{\mathrm{OIS}}_n + b) A$、右辺は $S_n A$ なので、$b = S_n - S^{\mathrm{OIS}}_n$ です。同じ年限の TIBOR のスワップと OIS の固定金利の差が、ベーシス・スワップのスプレッドにあたります。支払日や期間の長さが違う取引では、この関係はそのままは成り立ちません。

計算例：3 年の TIBOR スワップ

OIS の固定金利が 1 年 0.50%、2 年 0.75%、3 年 1.00% の架空の例で考えます。TIBOR を変動金利にしたスワップの固定金利は、1 年 0.80%、2 年 1.05%、3 年 1.30% です。

日本円 TIBOR には 1 週間物から 12 か月物までの 5 つの期間があります¹⁴。一方、清算機関の日本証券クリアリング機構（JSCC）が清算する TIBOR のスワップの変動金利の期間は、1 か月、3 か月、6 か月です¹⁵。この例では計算を簡単にするため、変動金利を 12 か月の TIBOR とし、固定金利も変動金利も年 1 回、同じ日に受け払いするとします。期間はどれも 1 年（$\tau_i = 1$）とみなし、日数計算の慣行と営業日の調整は考えません。

評価するのは、すでに約定している想定元本 100 億円、残り 3 年、固定金利 1.00% の固定払いのスワップです。固定金利を払い、TIBOR の変動金利を受け取ります。

まず、2 つの市場の金利からそれぞれブートストラップで割引係数を求めます¹⁶。

右の列は、TIBOR のスワップを割引にも使うシングルカーブの割引係数です。OIS の固定金利のほうが低いため、OIS の割引係数はどの年限でも大きくなります。

次に、TIBOR のフォワードレートを 3 つの方法で求めます。シングルカーブは右の列の割引係数の比から、マルチカーブは上の $F_n$ の式で OIS の割引係数から求めます。比べるために、OIS の割引係数の比から求めた OIS のフォワードレートも並べます。

マルチカーブの 1〜2 年は、(1.05% × (0.995025 + 0.985149) − 0.80% × 0.995025) ÷ 0.985149 で約 1.3025% です。0〜1 年はどちらの方法でも 1 年の固定金利と同じ 0.8000% です。1 年目より先では、マルチカーブのフォワードレートがシングルカーブよりわずかに低くなります。LIBOR と OIS の差がプラスでカーブが右上がりのとき、OIS で割り引くと LIBOR のフォワードレートが下がる向きは、LIBOR のスワップを使った教材の例でも同じです¹⁷。

最後に、固定払いの側から見た支払日ごとの受け払い（予想した変動金利 − 固定金利）を割り引き、足し合わせます。受け取りを正、支払いを負にしています。

マルチカーブの時価は、$N (S_n - K) A$ = 100 億円 × (1.30% − 1.00%) × 2.950667 で 88,520,007 円です（$A$ は丸める前の値で計算）。シングルカーブでは $A$ が TIBOR のスワップから作った割引係数の和 2.933232 になり、87,996,965 円です。丸める前の値どうしの差は 523,043 円で、割引係数の違いから来ます。固定受けの側から見ると、どちらも符号が逆になります。

OIS のカーブだけで予想と割引の両方をすると、時価は 0 円になります。3 年の OIS の固定金利が、この取引の固定金利と同じ 1.00% だからです。この例のように支払日と期間がそろっていれば、TIBOR のスワップの固定金利との差 0.30% が、OIS と TIBOR を交換するベーシス・スワップのスプレッドにあたります（導出は上の深掘り）。OIS のカーブだけで予想すると、このベーシス・スプレッドの分、100 億円 × 0.30% × 2.950667 で 88,520,007 円を時価に反映できません。

ベーシス・スプレッドが動いたときの時価

マルチカーブでは、TIBOR のスワップの固定金利が変わらなくても、OIS の金利が動くと時価が変わります。上の例で、TIBOR のスワップの固定金利はそのままで、OIS の固定金利だけがどの年限も 0.20% 下がったとします。OIS は 1 年 0.30%、2 年 0.55%、3 年 0.80% になり、ベーシス・スプレッドは 0.30% から 0.50% に広がります。

このとき OIS の割引係数は 0.997009、0.989077、0.976301 になり、その和 $A$ は 2.962386 に増えます。固定払いの時価は 100 億円 × 0.30% × 2.962386 で 88,871,592 円（$A$ は丸める前の値で計算）になり、351,585 円増えます。固定受けの側は、時価が −88,520,007 円から −88,871,592 円になり、同じ額だけ損をします。TIBOR のフォワードレートも 1.3020%、1.8086% と少し下がります。ただし、時価は $N (S_n - K) A$ で決まるため、変わるのは $A$ の分だけです。シングルカーブでは TIBOR のスワップの固定金利しか使わないため、時価は 87,996,965 円のまま変わりません。

時価がプラスの側は $A$ が増えると得をし、マイナスの側は損をします。約定した固定金利が今の TIBOR のスワップの固定金利より高く、固定払いの時価がマイナスなら、同じ動きで固定払いの側が損をします。

LIBOR 停止後の円の予想のカーブ

円の LIBOR は、すべての期間が 2021 年 12 月末に公表を停止しました²⁰。JSCC は、清算していた円 LIBOR を参照する金利スワップを、2021 年 12 月に TONA（無担保コールオーバーナイト物レート）を参照する OIS へまとめて変換しました²¹。移行の経緯と実務はLIBOR からの移行で扱います。

TIBOR のうち、ユーロ円 TIBOR はすべての期間が 2024 年 12 月末で公表を停止しました（最後の公表は 2024 年 12 月 30 日）²²。一方、日本円 TIBOR について、全銀協 TIBOR 運営機関は 2024 年 6 月の資料で公表を続けるとし²³、2023 年 3 月の市中協議の結果では恒久的な公表停止を何も検討していないとしています²⁴。

JSCC が 2026 年 9 月時点で清算の対象にしている円の金利スワップのうち、固定金利と変動金利を交換するものは 2 種類です。変動金利が TONA のもの（OIS）と、日本円 TIBOR（1 か月、3 か月、6 か月）のものです。変動金利どうしを交換するものには、テナー・スワップ（日本円 TIBOR どうし、OIS どうし）と、OIS と日本円 TIBOR を交換するカーブ・スワップがあります²⁵。この一覧に LIBOR を参照する取引はありません。

そのため、JSCC が清算する円の金利スワップをマルチカーブで評価するときの予想のカーブは、TONA と、日本円 TIBOR の期間ごとになります。日本円 TIBOR を参照する取引には、OIS のカーブのほかに TIBOR の期間ごとのフォワードレートが要ります。TONA を参照する OIS は、担保の付利も翌日物金利なら、同じ OIS のカーブで予想と割引ができます²⁶。

前提と限界

ここでの計算は、円の現金の担保が毎日十分にやりとりされ、担保に翌日物金利が付く取引を前提にしています。式は、担保が連続的に、時価の全額分、現金でやりとりされるという単純化を置いて導かれています²⁸。担保を別の通貨で受け渡す取引では、その通貨の金利が割引に入るため、割引のカーブが変わります²⁹。

担保のない取引では、担保でカバーされない分に、取引相手と自分の信用リスクの調整（信用評価調整）を反映します。取引相手の分を CVA（Credit Valuation Adjustment）、自分の分を DVA（Debt Valuation Adjustment）といいます。2018 年の時点では、割引に LIBOR などの資金調達の金利を使う扱いでした³⁰。

計算例は、年 1 回の支払いで、固定金利と変動金利の支払日が同じとしました。実際の取引では両者の支払いの頻度が違うことがあり³¹、日数計算で期間の長さを数えます。市場の金利がない年限のフォワードレートは、補間の方法で変わります。

注

1. Donald J. Smith "A Teaching Note on Pricing and Valuing Interest Rate Swaps Using LIBOR and OIS Discounting"（2012 年 6 月）の 3 ページ。 ↩

2. Masaaki Fujii, Yasufumi Shimada, Akihiko Takahashi "A Note on Construction of Multiple Swap Curves with and without Collateral"（2009 年）の 3.1 節（9〜10 ページ）。 ↩

3. リスク・フリー・レートに関する勉強会「日本円ＯＩＳ（Overnight Index Swap）─取引の概要と活用事例─」（2018 年 4 月）の「（１）IBOR と OIS レートの性質の違い」（7〜8 ページ）。 ↩

4. Fujii ほか論文の 1 章（1 ページ）。 ↩

5. 川上高志「ヘッジ取引におけるデリバティブ信用評価調整の影響についての考察」（日本銀行金融研究所『金融研究』2018 年 4 月）の 2 章（1）（123 ページ）。 ↩

6. Smith 教材の 1 ページ、14 ページ、15 ページ。 ↩

7. Smith 教材の 17 ページ。資料は米国の市場を例にしています。 ↩

8. 川上論文の 2 章（1）（122〜123 ページ）。 ↩ ↩²

9. Fujii ほか論文の 2.3 節（4〜5 ページ）。 ↩ ↩²

10. Smith 教材の 17〜22 ページ。割引係数は 17〜19 ページ、LIBOR のフォワードレートは 20〜22 ページ。 ↩

11. Fujii ほか論文の 3.3 節、式 (3.17)（11〜12 ページ）。対応は $C_M$ → $S_n$、$\Delta_m$ → $\tau_i$、$E^c_t[L(T_{m-1}, T_m)]$ → $F_i$、$D_{t,T_m}$ → $P(t_i)$。 ↩

12. Fujii ほか論文の 2.2 節、式 (2.2)（4 ページ）。米ドルの LIBOR を割引の金利にする例で、通貨スワップのベーシス・スプレッドが 0 でない限り成り立たない関係です。 ↩

13. Smith 教材の 3 ページと 23 ページ。 ↩

14. 全銀協TIBOR運営機関「金利指標改革を踏まえた全銀協TIBORの現状および今後の展望」（2024 年 6 月）の「①全銀協TIBORとは」（1 ページ）。 ↩

15. 日本証券クリアリング機構「清算対象取引（金利スワップ）」の条件「5．変動金利の期間」（2026 年 9 月 24 日確認）。 ↩

16. 割引係数とフォワードレートは丸める前の値で計算し、表示の桁で四捨五入しています。表示した割引係数から計算し直すと、時価は数円ずれます。 ↩

17. Smith 教材の 21 ページ。 ↩

18. 計算例のカーブで、表の金利だけを 1bp 動かしてカーブを作り直し、時価を丸める前の値で計算し直した差です。 ↩

19. 前掲の日本円 OIS の資料の「（OIS/IBOR ベーシス・スワップ）」（10 ページ）。 ↩

20. 日本銀行金融市場局・金融機構局、金融庁総合政策局・監督局「円LIBOR移行対応の振り返りと今後の取り組み」（日銀レビュー、2022 年 5 月）の 1 ページと図表 1。 ↩

21. 同じ資料の 8 ページの脚注 23。 ↩

22. 全銀協TIBOR運営機関「全銀協TIBOR改革」の「全銀協TIBOR改革Next」の経緯（2026 年 9 月 24 日確認）。 ↩

23. 全銀協TIBOR運営機関「金利指標改革を踏まえた全銀協TIBORの現状および今後の展望」（2024 年 6 月）の 4 ページ。 ↩

24. 全銀協TIBOR運営機関「全銀協TIBOR改革」の「【日本円TIBORを参照する契約へのフォールバック条項の導入】」（2026 年 9 月 24 日確認）。2023 年 3 月公表の市中協議の結果の考え方です。 ↩

25. 日本証券クリアリング機構「清算対象取引（金利スワップ）」の表と条件「3．スワップの種類」「4．変動金利の種類」「11．日数計算式」（2026 年 9 月 24 日確認）。 ↩ ↩²

26. Fujii ほか論文の 3.2 節、式 (3.14)（11 ページ）。OIS の固定金利の条件です。 ↩

27. Fujii ほか論文の 2.5 節（8 ページ）。 ↩

28. Fujii ほか論文の 3.1 節（9 ページ）。 ↩

29. Fujii ほか論文の 3.1 節、式 (3.13)（10 ページ）。 ↩

30. 川上論文の 2 章（1）（123〜124 ページ）。 ↩

31. Fujii ほか論文の 2.3 節（4 ページ）と 2.4 節（7 ページ）。円の金利スワップの変動金利は 6 か月ごと、米ドルの金利スワップは固定金利が年 1 回、変動金利が 3 か月ごとの例です。 ↩