理解度チェック: 数学の準備

下書きです。公開前の確認のために表示しています。

「数学の準備」の章の内容を確かめる 6 問の問題です。選択肢を選んで「回答する」を押すと、正解と解説が出ます。「正解と解説」を開いて、先に答えを見ることもできます。

1. 問 1

   架空の例として、今 100 円の価格の 1 年後の対数収益率が、平均 0%、標準偏差 20% の正規分布に従うとします。1 年後の価格の中央値と期待値について、正しいものはどれですか。

   1. A.中央値も期待値も 100 円になる
   2. B.期待値は 100 円で、中央値は約 102.02 円になる
   3. C.中央値は 100 円で、期待値は約 102.02 円になる
   正解と解説

   正解: C

   対数収益率は 0% を中心に左右対称の正規分布に従うため、価格が 100 円を上回る確率と下回る確率は半分ずつで、中央値は 100 円です。一方で、対数収益率が正規分布に従うと、価格は対数正規分布に従い、値上がりの側に長く裾を引きます。対数収益率が −20%〜+20% に入る確率は約 68.3% で、価格では約 81.87 円〜約 122.14 円の範囲です。下の幅は約 18.13 円、上の幅は約 22.14 円で、その分だけ期待値は約 102.02 円と中央値より大きくなります。

   対数収益率の平均が 0% だから価格の期待値も 100 円のままと考えると、期待値を 100 円とする選択肢を選びます。しかし、100 円になるのは中央値で、期待値は上の側の幅が大きい分だけ 100 円を上回ります。

   詳しくは: 確率・統計の基礎

2. 問 2

   架空の例として、損益の標準偏差がどちらも 10 億円の 2 つの持ち高を合わせます。2 つの損益の相関係数が 1 より小さいとき、合計の損益の標準偏差は、2 つの標準偏差の和の 20 億円と比べてどうなりますか。

   1. A.20 億円より大きくなる
   2. B.20 億円と等しくなる
   3. C.20 億円より小さくなる
   正解と解説

   正解: C

   それぞれの分散は 10 の 2 乗の 100 です。合計の損益の分散は、100 + 100 + 2 × 相関係数 × 10 × 10 で求めます（単位は億円の 2 乗）。相関係数が 1 なら分散は 400 で、標準偏差は 2 つの和と同じ 20 億円です。相関係数が小さいほど最後の項が小さくなるため、合計の分散も小さくなり、標準偏差は 20 億円を下回ります。

   相関係数が 0 なら、分散は 200 で、標準偏差は約 14.14 億円です。相関係数が −1 なら、片方の利益ともう片方の損失が打ち消し合い、標準偏差は 0 になります。2 つの標準偏差を足した値と等しくなるのは、相関係数が 1 のときだけです。相関係数は −1 から 1 までの値をとるため、合計の標準偏差が 20 億円より大きくなることはありません。

   詳しくは: 確率・統計の基礎

3. 問 3

   架空の例として、毎日、前の日と独立に、同じ確率で 1 円上がるか 1 円下がる価格があり、出発点から 100 日後の標準偏差は 10 円です。900 日後の標準偏差はいくらですか。

   1. A.30 円
   2. B.90 円
   3. C.900 円
   正解と解説

   正解: A

   1 日の動きは平均 0、分散 1 で、独立な動きの和の分散はそれぞれの分散の和になります。このため、n 日後の分散は n、標準偏差はその平方根です。100 日後は分散が 100 で標準偏差が 10 円、900 日後は分散が 900 で、標準偏差は平方根の 30 円です。

   90 円は、日数が 9 倍になったから標準偏差も 9 倍になると考えた値です。日数に比例するのは分散で、標準偏差は日数の平方根に比例します。900 円は、900 日後の分散の値です。分散の単位は円の 2 乗のため、平方根をとって円の単位に戻したものが標準偏差です。

   詳しくは: ランダムウォークとブラウン運動

4. 問 4

   日々の値動きが、前の日と同じ向きに動きやすい相場があります。1 日の標準偏差に日数の平方根を掛けて期間の標準偏差を求めると、実際のばらつきと比べてどうなりますか。

   1. A.大きく見積もる
   2. B.小さく見積もる
   3. C.実際と同じ値になる
   正解と解説

   正解: B

   前の日と同じ向きに動きやすい（前の日との共分散がプラスの）相場では、期間の分散は、各日の分散の和より、日どうしの共分散の和の 2 倍だけ大きくなります。日数に比例するとして平方根で換算した値は、この共分散の分を含まないため、実際のばらつきを小さく見積もります。

   大きく見積もるのは、反対の向きに動きやすい（共分散がマイナスの）相場です。日々の値動きが独立なら平方根の換算が成り立ちますが、独立でない相場では成り立たないため、実際と同じ値にはなりません。

   詳しくは: ランダムウォークとブラウン運動

5. 問 5

   架空の例として、株価 $S_t$ が $dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t$ に従い、$\mu = 5\%$、$\sigma = 30\%$ とします。$W_t$ はブラウン運動です。株価の対数 $\ln S_t$ の $dt$ の項の係数（対数のドリフト）はいくらですか。

   1. A.年率 0.5%
   2. B.年率 5%
   3. C.年率 −4%
   4. D.年率 9.5%
   正解と解説

   正解: A

   伊藤の補題を $f = \ln S$ に当てると、$dt$ の項の係数は $\mu - \sigma^2/2$ です。追加の項 $-\sigma^2/2$ は、$\ln S$ の 2 階微分が負（$-1/S^2$）であることから出ます。$\sigma^2 = 0.3^2 = 0.09$ で、$\sigma^2/2 = 0.045$ です。したがって $0.05 - 0.045 = 0.005$ で、年率 0.5% です。

   5% は、$\mu$ をそのまま対数のドリフトとした値で、ふつうの連鎖律が使える場合の答えです。ブラウン運動では 2 次の項が残るため、$\mu$ より小さくなります。−4% は、追加の項の $1/2$ を忘れて $\sigma^2 = 0.09$ をそのまま引き、$0.05 - 0.09$ とした値です。9.5% は、追加の項の符号を逆にして $0.05 + 0.045$ とした値です。

   詳しくは: 確率微分の初歩（伊藤の補題）

6. 問 6

   株価 $S_t$ がボラティリティ $\sigma$ の幾何ブラウン運動に従い、金利 $r$ が一定のとき、現金 $x_t$ と原資産の持ち高 $y_t$ だけで、途中の出し入れなしにオプションの価格 $C(S, t)$ を複製します。$dW_t$ の項を等しく置くと、$y_t$ は何に等しくなりますか。

   1. A.$\partial C/\partial t$（オプションの価格の、時間による変化）
   2. B.$\partial C/\partial S$（オプションの価格の、原資産の価格による 1 階の変化）
   3. C.$\partial^2 C/\partial S^2$（オプションの価格の、原資産の価格による 2 階の変化）
   正解と解説

   正解: B

   オプションの価格の動きの $dW_t$ の項は $\sigma S\,\partial C/\partial S$、現金と原資産の組み合わせの $dW_t$ の項は $y_t \sigma S$ です。2 つを等しく置くと、$y_t = \partial C/\partial S$ になります。

   $\partial C/\partial t$ と $\partial^2 C/\partial S^2$ は、$dt$ の項に現れます。$dt$ の項を等しく置くと、現金が金利 $r$ で増える分（$e^{rt}$ は連続複利の倍率、$dt$ の係数）$r x_t e^{rt}$ が $\partial C/\partial t + \tfrac{1}{2}\sigma^2 S^2\,\partial^2 C/\partial S^2$ に等しいという式が得られ、持ち高 $y_t$ ではなく現金の側が決まります。これを組み合わせの価値の式に入れて整理すると、偏微分方程式が得られます。

   詳しくは: 確率微分の初歩（伊藤の補題）