対数正規分布では、値 XX の自然対数 ln⁡X\ln X が正規分布に従います1。正規分布は負の値もとりますが、対数を戻した XX は 0 から無限大の範囲の値しかとりません1。たとえば ln⁡X=0\ln X = 0 なら X=1X = 1、ln⁡X=−2\ln X = -2 のように負でも XX は約 0.14 で、0 以下にはなりません。

価格のモデルでは、対数収益率（連続複利の収益率）が正規分布に従うと考えると、価格は対数正規分布に従い、負の値になりません。講義資料は、これを対数収益率が好まれる理由の 1 つ（有限責任の原則との整合）に挙げ、ブラック・ショールズ・モデルなどが使う対数正規モデルとも整合するとしています2。

ただし、実際の株式収益率は、正規分布と比べて極端なマイナスの値をとる可能性が高く、裾野が厚い（極端な値が出る確率が大きい）と、同じ資料は指摘しています3。対数正規分布は、ブラック・ショールズ・モデルなどが置く仮定であり、実際の分布そのものではありません。

注

  1. NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods「Lognormal Distribution」（1.3.6.6.9）。冒頭の定義（Y = ln(X) が正規分布に従うとき X は対数正規分布に従う）と、Common Statistics の Range（0 から ∞）。 ↩ ↩2

  2. 祝迫得夫「Lecture 2」（一橋大学経済研究所）p2「なぜ対数リターンの方が好ましいのか？」の (1)（有限責任の原則との整合性）と (3)（ブラック・ショールズ等で用いられる対数正規モデルとの整合性）。ページは PDF のページ。 ↩

  3. 同じ資料 p3「株式収益率の分布について，対数正規性を仮定することの問題点」の (1)（極端なマイナスの値）と (2)（裾野の厚い分布）。 ↩