キャップとフロア

変動金利で借り入れている企業が利払いの上限を決めたいときや、変動金利の仕組預金を扱う金融機関が組み込んだ金利の上限や下限をヘッジするときに出てくる取引です。

行使金利との差を受け取る取引

金利キャップ（キャップ）は、ある金利が前もって決めた金利を上回ったときに、その差額を売り手が買い手に払うオプションです。金利フロア（フロア）は、前もって決めた金利を下回ったときに、差額を売り手が買い手に払います¹。この前もって決めた金利を、このページでは行使金利と呼びます。対象になる金利は、TIBOR（東京銀行間取引金利）のような変動金利の指標金利です。キャップもフロアも店頭デリバティブとして取引されています¹。コールとプットなどオプションの基本はオプションの基本（コールとプット）で扱います。

A 社が B 銀行からキャップを買う架空の例で考えます。条件は、想定元本 100 億円、期間 5 年、利払い年 1 回、行使金利年 1.50% です。A 社は B 銀行に代金（プレミアム）を約定のときに一度に払い、B 銀行は、変動金利が 1.50% を上回った年に、その差に 100 億円と期間の長さ（1 年）を掛けた金額を A 社に払います。想定元本の 100 億円そのものは受け渡しません。

キャップを買うと、変動金利がどれだけ上がっても、行使金利を超えた分は売り手から受け取れます。キャップは金利の変化に上限を付けるもの、フロアは下限を付けるものです¹。

キャップレットごとの受け払い

キャップの受け払いは、利払いの期間ごとに別々に決まります。期間の初めに決まった変動金利 $L$ が行使金利 $K$ を上回っていれば、キャップの買い手は期間の終わりに次の金額を受け取ります²。

$$\text{受取} = M \times \delta \times \max(L - K, 0)$$

$M$ は想定元本、$\delta$ は期間の長さ（年）です。日数を年に直す方法は、ほかの金利の取引と同じく日数計算の慣行で決めます³。1 つの期間の受け払いだけを取り出したオプションをキャップレット、フロアの 1 つの期間の分をフロアレットといいます。キャップはキャップレットを、フロアはフロアレットを束ねたものとみなせます⁴。フロアレットの受け取りは、$\max(K - L, 0)$ に想定元本と期間の長さを掛けた金額です²。

この式は、TIBOR のように期間の初めに金利が決まる指標金利を前提にしています。TONA（無担保コール翌日物金利）の後決め複利のように期間の終わりに利率が決まる指標金利は、この式のようには金利が決まりません⁵。後決めの指標金利を参照するキャップとフロアの条件の説明は省きます。

この例では、期間の長さをどれも 1 年とし、金利の決定日や支払日の営業日による調整は考えません。A 社のキャップで、変動金利が 1 年後に 1.0%、2 年後に 1.5%、3 年後に 2.0%、4 年後に 2.5% に決まったとします。最初の 1 年の金利は約定のときにもう決まっているため、この例では 1 年後から 5 年後までの 4 つのキャップレットを扱います。

3 年後〜4 年後の期間は、100 億円 × 1 年 × （2.0% − 1.5%）= 0.5 億円を受け取ります。1.0% と 1.5% に決まった期間は、差が 0 以下なので何も受け取りません。プレミアムは、後の「ブラック・モデルとバシュリエ・モデル」の節でブラック・モデルを使って求める約 0.62 億円とします。

図の説明

キャップの買い手の A 社から見た受け払いです。受け払いがあるのは、プレミアムを払う今と、変動金利が行使金利を上回った期間の支払日（4 年後と 5 年後）だけで、2 年後と 3 年後は何もありません。受け取りの金額は本文の表と同じです。受け取りの合計がプレミアムを上回るかは、金利の動きで決まります。

この例では受け取りの合計 1.5 億円がプレミアムを上回りますが、変動金利が 5 年間ずっと 1.5% 以下なら、A 社は何も受け取らず、払ったプレミアムの 0.62 億円がそのまま負担になります。売り手の B 銀行の損益は A 社の反対で、金利が上がらなければプレミアムの分だけ得になり、金利が上がるほど支払いが増えます。

借り入れの利払いに上限を付ける使い方

変動金利で借りている企業は、キャップを買うと、利払いの負担に上限を付けられます⁶。変動金利が行使金利を上回った分をキャップから受け取り、借り入れの利払いに充てられるためです。その代わり、キャップのない変動金利の借り入れより、プレミアムの分だけ負担が大きくなります⁶。

A 社が 100 億円を変動金利で 5 年間借りていて、前の節のキャップを買った場合の、2 年目から 5 年目の利払いは次のとおりです。

変動金利が 2.0% や 2.5% に上がった年も、差し引きの利払いは 1.5 億円（1.50% 分）で止まります。一方で、変動金利が下がった年は、キャップのない借り入れと同じく利払いが減ります。金利が上がらなかった場合は、プレミアムの 0.62 億円が、キャップを買わなかった場合より余分な負担になります。キャップを借り入れと一体にした上限金利付きの変動金利型ローンもあり、その金利は、ふつうの変動金利型ローンよりプレミアムの分だけ高くなります⁶。

フロアは、変動金利を受け取る側の下限として使われます。仕組預金には、変動金利に下限を付けたものがあり、個人向けの変動利付国債は利率が 0% を下回らない設計です。これらの商品には、フロアが組み込まれているとみなせます⁷。仕組預金を提供する金融機関は、組み込んだフロアやキャップを、キャップやフロアの取引でヘッジしています⁷。

ブラック・モデルとバシュリエ・モデル

キャップの価格は、キャップレットごとに価格を求めて足し合わせます⁹。キャップレットは、期間の初めに決まる変動金利を原資産とするオプションです。評価には、その期間のフォワードレート $F$ を、イールドカーブから求めて使います。市場では、フォワードレートの動き方の仮定が違う 2 つのモデルが使われています¹⁰。

ブラック・モデルは、フォワードレートの変化率が正規分布に従うと仮定します。そのためフォワードレートは対数正規分布に従い、0 以下の値をとりません¹⁰。変動金利が決まるまでの年数を $T$、支払日までの割引係数を $P(0, T+\delta)$、ブラック・モデルのボラティリティを $\sigma_B$ とすると、キャップレットの価格は次の式になります⁹。

$$\text{キャップレット} = M \delta P(0, T+\delta) \left[ F \Phi(d_1) - K \Phi(d_2) \right]$$ $$d_1 = \frac{\ln(F/K) + \sigma_B^2 T/2}{\sigma_B \sqrt{T}}$$ $$d_2 = d_1 - \sigma_B \sqrt{T}$$

$\Phi$ は標準正規分布の累積分布関数です。フロアレットの価格は $M \delta P(0, T+\delta) \left[ K \Phi(-d_2) - F \Phi(-d_1) \right]$ になります¹¹。キャップの価格は、すべてのキャップレットに共通の 1 つのボラティリティを使ったブラック・モデルの価格の和として示すのが、市場の慣行です⁹。

バシュリエ・モデル（正規モデル）は、フォワードレートそのものが正規分布に従うと仮定します。金利が上がる向きと下がる向きに同じように動くとみなすため、フォワードレートは 0 以下の値もとります。1900 年にルイ・バシュリエが示したモデルで、実務ではノーマル・モデルと呼ばれることが多いようです¹²。ブラック・モデルはフォワードレートが 0 以下だと価格を計算できないため、マイナス金利の下では、情報ベンダーがブラック・モデルのボラティリティを提供しなくなり、バシュリエ・モデルが広まりました¹⁰。バシュリエ・モデルのボラティリティ（正規ボラティリティ）$\sigma_N$ は金利の幅で表し、bp で示します。キャップレットの価格は次の式になります¹³。

$$\text{キャップレット} = M \delta P(0, T+\delta) \left[ (F - K) \Phi(d) + \sigma_N \sqrt{T} \varphi(d) \right]$$ $$d = \frac{F - K}{\sigma_N \sqrt{T}}$$

$\varphi$ は標準正規分布の確率密度関数です。2 つのモデルのボラティリティは、実務では $\sigma_N \approx F \sigma_B$ の近似で対応づけられています¹⁴。

最初の例の A 社のキャップを、金利スワップの時価評価のページの例と同じイールドカーブで評価します。ブラック・モデルのボラティリティは 30%、正規ボラティリティは 40bp とします。フォワードレートが 1.34% なら 30% × 1.34% ≈ 0.40% で、2 つのボラティリティがおおよそ対応する組み合わせです。

合計は、ブラック・モデルで 62,499,186 円、バシュリエ・モデルで 59,061,714 円です¹⁵。1 年後〜2 年後のキャップレットはフォワードレートが 0.90% と低く、30% × 0.90% ≈ 27bp が 40bp より小さいため、バシュリエ・モデルの価格の方が高くなります。

深掘りマイナス金利とシフテッド・ブラック

ブラック・モデルの式には $\ln(F/K)$ があり、$F$ が 0 以下では対数をとれないため、価格を計算できません¹³。金利がマイナスになる前は、スワップションでもブラック・モデルが標準でした¹⁰。

ほかに、フォワードレートと行使金利に一定の幅を足して正の値にしてからブラック・モデルを使う方法もあり、シフテッド・ログノーマル・モデル（シフテッド・ブラック）と呼ばれます。どれだけ足すかは市場の慣行によるところが大きいとされます。2021 年 10 月時点では、実務でバシュリエ・モデルとシフテッド・ブラックの両方が併用されています¹⁶。

金利とボラティリティによる価値の変化

キャップの価値は、フォワードレートが上がるほど、ボラティリティが大きいほど高くなります。前の節の A 社のキャップを、条件を 1 つずつ変えて評価し直すと、次のとおりです。イールドカーブの上げ下げは、カーブの元にした市場の金利（翌日物金利と OIS の固定金利）をすべて同じ幅だけ動かし、カーブを作り直したものです。そのため、フォワードレートの動きは、動かした幅と少しずれます。

金額は、前の節と同じくシミュレーターで計算した値です¹⁵。

イールドカーブを上げた場面とボラティリティを大きくした場面は、どちらも買い手の A 社の得になり、売り手の B 銀行には同じ額の損になります。金利が下がったり、ボラティリティが小さくなったりすると、逆に買い手が損をし、売り手が得をします。フロアの価値は、フォワードレートが下がるほど高くなります。イールドカーブを 1.5% 下げた場面は、フォワードレートが 0 を下回るため、ブラック・モデルでは計算できませんが、バシュリエ・モデルでは 763,819 円と求められます。

キャップとフロアの差は金利スワップ

行使金利、期間、支払日、想定元本が同じなら、キャップの価格はフロアの価格と金利スワップの価値の和に等しくなります⁸。ここでの金利スワップは、行使金利を固定金利として払い、変動金利を受け取る取引です。キャップを買ってフロアを売ると、どの期間でも、変動金利が行使金利を上回れば差額を受け取り、下回れば差額を払うためです。

$$\max(L - K, 0) - \max(K - L, 0) = L - K$$

この関係は、キャップとフロアの間のプット・コール・パリティで、受け払いそのものから導かれるため、どのモデルを使っても成り立ちます。最初の例では、同じ条件のフロアの価格はブラック・モデルで 167,321,889 円、バシュリエ・モデルで 163,884,417 円です。キャップから引くと、どちらのモデルでも −104,822,703 円になり、1 年後から 5 年後まで固定金利 1.50% を払う金利スワップの価値と一致します¹⁵。フォワードレート（0.90%〜1.34%）が 1.50% より低いため、固定金利 1.50% を払う側にとって価値はマイナスです。

リスクと取引の実務

キャップの買い手が負う損失は、払ったプレミアムまでです。売り手は、変動金利が行使金利を上回るほど多く払うため、損失が受け取ったプレミアムを大きく上回ることがあります。時価は、「金利とボラティリティによる価値の変化」の節で見たとおり、イールドカーブとボラティリティの動きで変わります。

この例のようにプレミアムを約定のときに払う場合、キャップの買い手は、プレミアムを先に払い、差額を各期間の終わりに売り手から受け取ります。売り手が払えなくなるおそれは、取引相手の信用リスクにあたります。取引の契約の書式や、清算機関を通すかどうかの説明は省きます。

キャップとフロアは店頭で取引され、条件を決めて業者に価格を聞きます。たとえば、「想定元本1億円、期間10年、頻度を半年に1度、権利行使価格を0%、参照金利をDTIBOR（6か月物）としたフロアのビッドが欲しい」という注文があります⁷。

2021 年 8 月時点では、フロアは仕組預金などのヘッジに使われるため行使金利 0% のものが取引される傾向があり、キャップはさまざまな行使金利で取引されています⁷。同じ時点で、金利のオプションの分析には、キャップやフロアよりもスワップションが多く使われます。スワップションの方が流動性が比較的高く、データも取りやすいためです¹⁷。

注

1. 服部孝洋「債券（金利）オプション入門―スワップションについて―」（「ファイナンス」2021 年 8 月号）の「６．キャップとフロア」、58〜59 ページ。 ↩ ↩² ↩³

2. Ernesto Mordecki "24. Pricing Fixed Income Derivatives through Black's Formula" の 18〜19 枚目（"24e. Interest rate options"）。 ↩ ↩²

3. European Banking Federation の金利取引の付属書（Edition 2020）の 3 条 (3) と 4 条 (2)、2 ページ。変動の金額の計算に、日数計算の割合（Day Count Fraction）が使われます。 ↩

4. 服部孝洋「債券（金利）オプション入門―スワップションについて―」（「ファイナンス」2021 年 8 月号）の「６．３ キャップレットとフロアレット」、59 ページ。 ↩

5. 日本銀行金融市場局・金融機構局、金融庁総合政策局・監督局「円LIBOR移行対応の振り返りと今後の取り組み」（日銀レビュー 2022-J-8、2022 年 5 月）の 3 ページ、図表 2「代替金利指標の３つの選択肢」の「金利決定のタイミング」。TIBOR は「前決め」、TONA 後決め複利は「後決め」としています。 ↩

6. 金融広報中央委員会「3-5 オプション取引活用の例（やさしいデリバティブ）」の「キャップ付ローン」。 ↩ ↩² ↩³

7. 服部孝洋「債券（金利）オプション入門―スワップションについて―」（「ファイナンス」2021 年 8 月号）の「６．キャップとフロア」、59 ページ。 ↩ ↩² ↩³ ↩⁴

8. Ernesto Mordecki "24. Pricing Fixed Income Derivatives through Black's Formula" の 20 枚目（"Remarks"）。 ↩ ↩²

9. Martin Haugh "Market Models"（Term Structure Models: IEOR E4710、2010 年）の 2 ページ、"Black's Formula for Caplets" の式 (3) とその後の段落。資料の $\delta Z_t^{T+\delta}$ がこのページの $\delta P(0, T+\delta)$、$L(t, T)$ が $F$ にあたります（想定元本 1 あたりの式）。 ↩ ↩² ↩³

10. 服部孝洋「スワップション入門（モデル編）―ノーマル（ブラック）・モデルおよびSABRモデルについて―」（「ファイナンス」2021 年 10 月号）の「２．１ 正規分布と対数正規分布」と「２．２ 数式を用いたモデルの概要」、56〜57 ページ。資料はスワップションのスワップレートで説明しています。 ↩ ↩² ↩³ ↩⁴

11. キャップレットの式と、キャップレット − フロアレット ＝ $M \delta P(0, T+\delta)(F - K)$ の関係（「キャップとフロアの差は金利スワップ」の節）から求めた式です。Haugh "Market Models" の 2 ページは、フロアレットにも同じような式があるとしています。 ↩

12. 服部孝洋「スワップション入門（モデル編）」（「ファイナンス」2021 年 10 月号）の 57〜58 ページと、58 ページの注 5。 ↩

13. 服部孝洋「スワップション入門（モデル編）」（「ファイナンス」2021 年 10 月号）の「３．２ ノーマルおよびブラック・モデルにおけるオプションの公式（価格式）」、60〜61 ページの式 (4)、注 12、式 (5)。資料の式はペイヤーズ・スワップションのもので、アニュイティ $A$ を 1 期間の $\delta P(0, T+\delta)$ に置き換えるとキャップレットの式になります。 ↩ ↩²

14. 服部孝洋「スワップション入門（モデル編）」（「ファイナンス」2021 年 10 月号）の「３．１ データでみるノーマル・ボルとブラック・ボルの違い」、59〜60 ページの式 (3)。 ↩

15. 金額は、シミュレーターの計算結果を円未満で四捨五入した値です。 ↩ ↩² ↩³

16. 服部孝洋「スワップション入門（モデル編）」（「ファイナンス」2021 年 10 月号）の「２．４ シフティッド・ログノーマル・モデル」、58〜59 ページ。 ↩

17. 服部孝洋「債券（金利）オプション入門―スワップションについて―」（「ファイナンス」2021 年 8 月号）の「６．キャップとフロア」、58 ページ。 ↩