金利スワップの時価評価

金利スワップを持つ会社や金融機関が、取引の価値を今の市場の金利で評価し直す場面で出てきます。この時価をどう求めるかを、カーブの作り方から順に見ていきます。

時価は何を表すか

金利スワップの時価は、残りの期間の受け払いを今の市場の金利で予想し、現在価値に直して差し引いた金額です¹。固定金利は、約定の時点で両方の当事者の受け払いの現在価値が等しくなるように決めるため、市場の金利で約定した直後の時価は 0 です²。約定の後に市場の金利が動くと、時価はプラスにもマイナスにもなります。一方の当事者の時価は、もう一方の当事者の時価の符号を逆にした値です。取引の仕組みは金利スワップで扱います。

たとえば、想定元本 100 億円、期間 5 年、固定金利 1.00% の固定払いのスワップを持っているとします。今の市場では、同じ 5 年のスワップを 1.10% で約定できます。今から固定払いのスワップを結ぶと毎年 1.10% を払うところを、この取引では 1.00% で済みます。その差の 0.10%、毎年 1,000 万円を 5 年分割り引いた金額が、固定払いの側から見た時価になります。後の計算例で求めると 48,571,481 円で、固定受けの側から見ると −48,571,481 円です。

時価の求め方

時価は次の順に求めます。

1. 市場で取引されている金利（OIS（翌日物金利スワップ）の固定金利など）から、各年限の割引係数のカーブを作る。
2. 変動金利の受け払いを、カーブから求めたフォワードレートで予想する。
3. 固定金利と変動金利の受け払いを、支払日ごとの割引係数で割り引いて足し合わせる。
4. 自分が受け取る分の現在価値から、自分が払う分の現在価値を引く。

固定金利の受け払いと変動金利の受け払いは、それぞれレッグと呼ばれます。1 のカーブは、市場のスワップの固定金利から、割引債の利回りにあたるスポットレートを理論的に求めて作ります³。1 年、2 年、3 年と短い年限から順に、市場の固定金利で評価した時価が 0 になるように割引率を求めていきます⁴。

2 で使うフォワードレートは、将来のある期間の金利を、今のカーブから求めた値です⁵。$i$ 回目の支払日を $t_i$ 年後、取引の開始を $t_0$ とし、その期間の長さ（年）を $\tau_i = t_i - t_{i-1}$ とします。$t_{i-1}$ 年から $t_i$ 年までのフォワードレート $F_i$ は、割引係数 $DF$ の比から次の式で求めます。

$$F_i = \frac{1}{\tau_i}\left(\frac{DF(t_{i-1})}{DF(t_i)} - 1\right)$$

固定金利を払い変動金利を受け取る側（固定払い）の時価 $V$ は、想定元本を $N$、固定金利を $K$、支払いの回数を $n$ として、次の式になります⁶。

$$V = N \sum_{i=1}^{n} \tau_i \,(F_i - K)\, DF(t_i)$$

固定受けの側の時価は $-V$ です。時価が 0 になる固定金利 $S$ がパーレートです。各支払日の割引係数に期間の長さを掛けて足した値を $A$ とすると、$S$ は次の式で求まります⁷。

$$S = \frac{1 - DF(t_n)}{A}, \quad A = \sum_{i=1}^{n} \tau_i \, DF(t_i)$$

パーレートを使うと、固定払いの時価は $V = N (S - K) A$ とも書けます。今のパーレートと約定した固定金利の差に、想定元本と $A$ を掛けた金額です。「時価は何を表すか」の例で、差の 0.10% を 5 年分割り引いた金額としたのは、この式の計算です。

深掘り変動金利の受け払いの現在価値が 1 − DF になる理由

フォワードレートの式を変形すると $\tau_i F_i \, DF(t_i) = DF(t_{i-1}) - DF(t_i)$ です。これを 1 回目から $n$ 回目まで足すと、隣り合う項が打ち消し合い、次の式が残ります。

$$\sum_{i=1}^{n} \tau_i F_i \, DF(t_i) = DF(t_0) - DF(t_n)$$

今から始まるスワップでは $DF(t_0) = 1$ なので、変動金利の受け払いの現在価値は、想定元本 1 あたり $1 - DF(t_n)$ です。固定金利の受け払いの現在価値は $K A$ なので、両者が等しくなる $K$ がパーレートの式になります。この関係は、予想にも割引にも同じカーブを使うときに成り立ちます。予想と割引に別のカーブを使うときは成り立たず、フォワードレートで予想した受け払いを 1 回ずつ割り引いて足します。

計算例：5 年の固定払いスワップ

翌日物金利が 0.50%、OIS の固定金利が 1 年 0.60%、2 年 0.75%、5 年 1.10%、10 年 1.50% の架空の例で考えます。OIS は、固定金利と翌日物金利の複利を交換する金利スワップです⁸。この金利から、年 1 回の支払い、期間はどれも 1 年とみなしてカーブを作ります。翌日物金利はカーブの最も短い点（1 日）を決めるだけで、この 5 年のスワップの時価には効きません。評価するのは、想定元本 100 億円、期間 5 年、年 1 回の支払い、固定金利 1.00% の固定払いのスワップです。

固定払いの側から見た支払日ごとの受け払いは、次の表になります。受け取りを正、支払いを負にしています⁹。

はじめの 2 年は予想した変動金利が固定金利の 1.00% より低く、固定払いの側の差し引きは支払いです。3 年目から 5 年目は変動金利の予想が 1.3407% で固定金利を上回り、受け取りになります。時価は受け取りの現在価値のほうが大きく、48,571,481 円のプラスです。

表の固定と変動の列を、割り引く前の受け払いとして描くと、次の図 1 になります。

図の説明

想定元本 100 億円、固定金利 1.00% の 5 年の固定払いスワップについて、固定払いの側から見た、割り引く前の受け払いを描いた図です。固定金利の支払いは、毎年 1 億円です。変動金利の受け取りは、カーブから求めた予想で、1 年後が 0.6 億円、2 年後が 0.9014 億円、3 年後から 5 年後はどれも 1.3407 億円です。変動の受け取りは、1 年後と 2 年後は固定の支払いを下回り、3 年後から上回ります。矢印の長さは金額の大きさの目安です。

レッグごとに見ると、固定金利の支払いの現在価値は −485,714,808 円、変動金利の受け取りの現在価値は 534,286,289 円です。変動のほうは、想定元本に 1 − DF(5 年) = 1 − 0.946571 を掛けた値と一致します。割引係数の和 $A$ は 4.857148 で、5 年のパーレートは (1 − 0.946571) ÷ 4.857148 = 1.10% です。カーブを 5 年の OIS の固定金利から作ったため、パーレートは 5 年の OIS の固定金利に戻ります。$N (S - K) A$ で求めても、100 億円 × 0.10% × 4.857148 = 48,571,481 円で、表の合計と同じです。

3 年目から 5 年目のフォワードレートがどれも 1.3407% なのは、カーブを作るのに使った 2 年と 5 年の間を、割引係数の対数を直線で結んで補間したためです。この補間では、その間のフォワードレートが一定になります。補間の方法を変えると、3〜5 年の変動金利の予想と時価が変わります。

金利が動いたときの時価の変化（DV01）

市場の金利がすべて 1bp（0.01%）上がったときの時価の変化を DV01 といいます¹⁰。日本銀行の研修資料は、同じ考え方の量を BPV（ベーシス・ポイント・バリュー）と呼び、すべての期間の金利を 1bp 上げた後の現在価値から、今の現在価値を引く式で示しています。この資料は BPV を「現在価値の減少額」と説明する一方、計算例の BPV はマイナスの値で示しています¹¹。符号の向きは、値を比べる前に確かめます。以下の DV01 は、金利が上がって時価が増えるときをプラスにしています。

計算例のカーブで、翌日物と OIS の 5 つの金利をすべて 1bp 上げてカーブを作り直すと、固定払いの時価は 4,841,366 円増えます。すべて 1bp 下げると 4,844,229 円減ります。上げと下げの差の半分を DV01 とすると 4,842,798 円です。固定払いは金利が上がると得をし、下がると損をします。固定受けでは、時価と DV01 の符号がどちらも逆になります。

金利が動く前と後の時価を並べると、次の表になります。金利を上げた後と下げた後の値は、動く前の時価に上の増減を足し引きして求めています。

固定払いは、金利が上がると時価が増え、下がると減ります。固定受けは、同じ金利の動きで、増減の向きが逆になります。上げた後と下げた後の時価の差の半分は 4,842,798 円で、上の DV01 と同じです。

DV01 の大きさは、$N \times A \times 0.01\%$ = 100 億円 × 4.857148 × 0.0001 = 4,857,148 円に近い値です。金利が 1bp 上がると 5 年のパーレートがちょうど 1bp 上がり、$V = N (S - K) A$ の $S$ が増えるためです。実際の DV01 がこれより小さいのは、金利が上がると割引係数が小さくなり、$A$ も減るためです。固定金利がパーレートと同じ 1.10% の取引では、時価が 0 なので $A$ の減り方の影響がほぼなくなり、DV01 は 4,857,148 円になります。

DV01 は、どの金利を 1bp 動かすかでも変わります。上の値は、市場で取引されている OIS の固定金利を動かしてカーブを作り直した値です。日本銀行の資料の BPV と同じく、年 1 回の複利のスポットレートのほうを各年限で 1bp 動かすと、上げと下げの差の半分は同じ取引で 4,824,279 円です¹²。社内の報告やシステムの間で DV01 を比べるときは、何を動かした値かをそろえる必要があります。

途中解約と清算機関の変動証拠金

時価は、取引を途中で終えるときの金額の目安になります。スワップは、一方の当事者が相手に時価を払うことで途中で終えることができます¹⁴。

日本銀行が事務局を務める勉強会の資料（2018 年）は、日本円の OIS はほぼすべての取引で中央清算機関を使っているとしています⁸。同じ資料は、担保（変動証拠金）付きのデリバティブ取引を OIS の固定金利から作った割引のカーブで評価している場合に、その割引のカーブが動くリスクを OIS でヘッジできるとしています¹⁵。日本証券クリアリング機構（JSCC）は、清算している金利スワップについて、前営業日と当日のイールドカーブで計算した時価（NPV）の変動をカバーする金額を、変動証拠金としています¹⁶。

計算例の前提と実際の取引との違い

計算例は、割引にも変動金利の予想にも、同じ 1 本の OIS のカーブを使っています。TIBOR のようなターム物の金利は、銀行の信用リスクを含む点で翌日物金利と性質が違います¹⁸。翌日物金利に連動するものと TIBOR に連動するものの間では、両者の差（スプレッド）が動くリスクがあり、それをヘッジする OIS/TIBOR のベーシス・スワップもあります¹⁹。この差が動く以上、TIBOR を参照するスワップの変動金利を、翌日物金利から作った OIS のカーブのフォワードレートだけで予想すると、差の分を反映できません。予想と割引に別のカーブを使う方法はマルチカーブで扱います。

計算例は、支払いを年 1 回、期間をどれも 1 年とみなしています。日本銀行が事務局を務める勉強会の資料は、日本円の OIS の基本的な取引方式の一例として、変動金利を営業日ごとの翌日物金利の複利で計算し、暦日の日数を 365 で割って年に直す式を示しています。決済は満期日の 2 営業日後としています¹⁷。

計算例の時価には、取引の相手が倒れるリスクや、担保の資金を調達する費用を含めていません。

注

1. Society of Actuaries "Interest Rate Swaps"（2017 年 5 月）の 6 章 "Market Value"（15 ページ）。資料は、残りの受け払いを評価の時点のスポットレートで割り引いた現在価値を時価（market value）とし、一方の当事者の時価はもう一方の当事者の時価の符号を逆にした値だとしています。 ↩

2. 同じ資料の 2 章 "Definitions"（5 ページ）。固定金利（swap rate）は、両方の当事者の受け払いの現在価値が等しくなるように決まるとしています。約定の時点で時価が 0 になることは、6 章（15 ページ）。 ↩

3. 日本銀行金融機構局 金融高度化センター「Ⅱ．市場リスクの把握と管理」（2012 年 6 月）の「（参考）割引率（スポットレート）の定義」（10 ページ）。スワップレート（固定金利）からスポットレートを理論的に導く図があります。 ↩

4. 日本銀行金融機構局 金融高度化センター「【補足資料】スポットレートとその応用」（2012 年 8 月）の「キャッシュフロー分解」（7 ページ）と「スポットレートの計算式」（8 ページ）。資料は、1 年、2 年、3 年の割引率を市場金利から逆算して、この順に求めるとしています。 ↩

5. Society of Actuaries "Interest Rate Swaps"（2017 年 5 月）の Example 1（5 ページ）。今のスポットレートから、1 年後から 2 年後までの金利を計算し、フォワードレートと呼んでいます。 ↩

6. 同じ資料の 3 章 "General Formula" の式 (3.7)（10 ページ）。資料の式は決済期間ごとの実効金利で書いてあり、このページの $\tau_i F_i$ と $\tau_i K$ が、資料のフォワードレートと swap rate にあたります。 ↩

7. 同じ資料の 4 章 "Special Formula" の式 (4.1) と (4.2)（12 ページ）。資料の $P_t$ はこのページの割引係数 $DF(t)$、資料の $R$ は決済期間の長さが等しいときの $\tau_i S$ にあたります。 ↩

8. リスク・フリー・レートに関する勉強会「日本円ＯＩＳ（Overnight Index Swap）─取引の概要と活用事例─」（2018 年 4 月）の「２．OIS とは何か」（3 ページ）。 ↩ ↩²

9. 表の金額は、割引係数とフォワードレートを丸めずに計算してから円未満を四捨五入しています。フォワードレートと割引係数の表示は丸めた値です。合計は丸める前の値を足してから四捨五入しています。 ↩

10. Office of Financial Research "Short-term interest rate futures (DV01)"（Hedge Fund Monitor）。DV01 を "dollar value of a one basis point change in yield" と説明しています。2026 年 9 月 24 日に確かめた内容です。 ↩

11. 日本銀行金融機構局 金融高度化センター「Ⅱ．市場リスクの把握と管理」（2012 年 6 月）の「（１）ＢＰＶ（ベーシス・ポイント・バリュー）」（13 ページ）と「ＢＰＶ、ＧＰＳの計算例」（15 ページ）。15 ページの計算例では、BPV は −0.0484 億円です。 ↩

12. 構築したカーブの 1〜5 年の割引係数から年 1 回の複利のスポットレート $r_t$（$DF(t) = 1/(1+r_t)^t$）を求め、どの年限も ±0.01% 動かした割引係数で評価し直した値です。1bp 上げると 4,822,857 円増え、1bp 下げると 4,825,701 円減ります。 ↩

13. 日本銀行金融機構局 金融高度化センター「Ⅱ．市場リスクの把握と管理」（2012 年 6 月）の「（２）ＧＰＳ（グリッド・ポイント・センシティビティ）」（14 ページ）と「ＢＰＶ、ＧＰＳの計算例」（15 ページ）。 ↩

14. Society of Actuaries "Interest Rate Swaps"（2017 年 5 月）の 6 章 "Market Value"（15 ページ）の脚注 8。 ↩

15. リスク・フリー・レートに関する勉強会「日本円ＯＩＳ（Overnight Index Swap）─取引の概要と活用事例─」（2018 年 4 月）の「（デリバティブのディスカウント・リスクのヘッジ）」（10 ページ）。 ↩

16. 日本証券クリアリング機構「金利スワップ取引に係る証拠金の種類」の「変動証拠金」と「日中証拠金」。2026 年 9 月 24 日に確かめた内容です。 ↩ ↩²

17. リスク・フリー・レートに関する勉強会「日本円ＯＩＳ（Overnight Index Swap）─取引の概要と活用事例─」（2018 年 4 月）の「基本的な取引方式」（5 ページ）。資料は、実際の取引手順は取引先と確かめる必要があるとし、変動金利の計算式を一例として示しています。 ↩ ↩²

18. 同じ資料の「（１）IBOR と OIS レートの性質の違い」（7〜8 ページ）。 ↩

19. 同じ資料の「（OIS/IBOR ベーシス・スワップ）」（10 ページ）。 ↩