現在価値と割引係数 | デリバティブ・コンパス

現在価値は、将来に受け取るお金や支払うお金を、今の時点の価値に直した金額です。将来の金額に割引係数（将来の 1 円の今の価値）を掛けて求め、債券などの価格を付けるもとになります。

債券の価格付けや、金利が動いたときの評価額の変化を管理する業務では、将来の受け払いの現在価値を計算します。評価額が動いた理由は、金利の動きと割引係数の変化に分けて説明できます。

現在価値は将来のお金の今の価値

金利が 2% の架空の例で考えます。今の 100 円を預けると 1 年後に 102 円になります。逆に言えば、1 年後に受け取る 102 円の今の価値は 100 円です。このように、将来のお金を今の時点の価値に直すことを「割り引く」といい、直した金額を現在価値（PV）といいます。

割引係数の求め方

将来の 1 円の今の価値を割引係数（ディスカウント・ファクター、DF）といいます¹。年に 1 回の複利で考えると、1 年後の割引係数は 1 を「1＋金利」で 1 回割った値、2 年後は 2 回割った値です。金利 2% なら、1 年後は 1 ÷ 1.02 で約 0.9804、2 年後は 1 ÷ 1.02 ÷ 1.02 で約 0.9612 になります。複利の数え方による違いは複利と割引で扱います。

将来のキャッシュフロー（お金の受け払い）の現在価値は、その金額に、受け取る時点の割引係数を掛けて求めます。キャッシュフローが何回もあるときは、キャッシュフローごとに現在価値を求めて足し合わせます²。

深掘り割引係数と現在価値の式

年に 1 回の複利の金利 $r_t$ で、 $t$ 年後の割引係数は次の式になります。

DF(t) = \frac{1}{(1 + r_t)^t}

各時点のキャッシュフロー $C_t$ の現在価値を足し合わせると、次の式になります。

PV = \sum_{t=1}^{n} C_t \times DF(t)

$r_t$ は $t$ 年後までの期間の金利（スポットレート）で、期間ごとに違う値を使えます。期間によらず同じ金利とみなすときは $r_t = r$ とします。

計算例：3 年の債券の現在価値

元本 100 億円、利息が年 1 回 2%（毎年 2 億円）、満期 3 年の債券を、割り引く金利 2% で評価する例で考えます。金利は期間によらず一定とします³。

図 13 年の債券のキャッシュフロー

図の説明

債券の保有者は、1 年後と 2 年後に利息 2 億円を受け取り、3 年後に利息 2 億円と元本 100 億円の合わせて 102 億円を受け取ります。どれも受取のため、矢印はすべて上向きです。矢印の長さは金額の大きさの目安で、小さい金額も見えるよう、利息の矢印は実際の比より長く描いています。

受け取る時点ごとに割引係数を掛けると、次の表になります。

受け取る時点	キャッシュフロー（億円）	割引係数（金利 2%）	現在価値（億円、金利 2%）
1 年後	2	0.9804	1.96
2 年後	2	0.9612	1.92
3 年後	102	0.9423	96.12
合計			100.00

利息の率と割り引く金利が同じ 2% なので、現在価値の合計は元本と同じ 100 億円になります。

金利が上がると現在価値は下がる

割引係数は、割り引く金利が高いほど小さくなります。金利がプラスなら、受け取る時点が遠いほど小さくもなります。同じ債券を金利 5% で割り引くと、割引係数はどの時点でも 2% のときより小さく、現在価値の合計は 91.83 億円です⁴。金利が 2% から 5% に上がっただけで、将来のキャッシュフローは変わらないのに、現在価値は約 8.17 億円下がります。

受け取る時点	キャッシュフロー（億円）	割引係数（金利 5%）	現在価値（億円、金利 5%）
1 年後	2	0.9524	1.90
2 年後	2	0.9070	1.81
3 年後	102	0.8638	88.11
合計			91.83

この例の 1 年から 3 年では、割引係数の下がり方は遠い時点ほど大きくなります。金利が 2% から 5% になると、1 年後の割引係数は 0.0280 下がるのに対し、3 年後は 0.0785 下がります。反対に、割り引く金利が下がれば割引係数は大きくなり、受け取るキャッシュフローの現在価値は上がります。

1 回だけ受け取る 100 の現在価値で比べると、金利 2% では 10 年後の割引係数が 0.8203、現在価値が 82.03 です。金利が 5% なら、10 年後の割引係数は 0.6139 まで下がります。

シミュレーター金利と年数による割引係数の変化

JavaScript を有効にすると、値を動かして結果を確かめられます。下のグラフと結果は初期値で計算したものです。

割引係数（複利の頻度: 年 1 回）
割引係数（連続複利とみなした場合）

10 年後の割引係数: 0.8203
10 年後に受け取る 100 の現在価値: 82.03
同じ金利を連続複利とみなした割引係数: 0.8187

単純化している点

金利は期間によらず一定とし、金利カーブの形は考えません。
年数は日数計算の慣行を使わずに年単位で数えます。

このシミュレーターは学習のために単純化した計算で、実際の取引の評価やリスク管理には使えません。（免責事項）

シミュレーターの説明

金利と満期までの年数を変えて、0 年から満期までの割引係数のグラフと、満期に受け取る 100 の現在価値の動きを見ます。金利を上げると、どちらも小さくなります。金利がプラスなら、年数を延ばしても小さくなります。複利の頻度も変えられ、グラフには比べるために連続複利とみなした曲線も出ます。

実務での使われ方

利息や元本などの将来のキャッシュフローを現在価値に直して評価し、金利などが動いたときの変わり方を調べる考え方を、日本銀行の資料は「現在価値アプローチ」と呼んでいます⁵。現在価値を動かすもの（リスクファクター）には、金利のほか、株価や為替があります。金融機関は、リスクファクターが動いたときの現在価値の変化を計算し、リスクの大きさとして管理します⁶。

前提と限界

計算例は、どの期間も同じ金利で割り引き、年数も整数にしています。実際の市場では、1 年、2 年、3 年と期間ごとに金利が違い、その期間の金利（スポットレート）で割り引きます⁸。スポットレートの求め方はゼロレートとフォワードレートで扱います。

注

日本銀行金融機構局金融高度化センター「Ⅰ．市場リスクの計測手法 ― 現在価値アプローチ―」（2009 年 3 月）の 7 ページ。同じセンターの「Ⅱ．市場リスクの把握と管理」（2012 年 6 月）の 5 ページも、割り引く掛け目を「ディスカウント・ファクター」と呼んでいます。 ↩
「Ⅱ．市場リスクの把握と管理」（2012 年 6 月）の「現在価値の計測方法」（5 ページ）。 ↩
同じ資料の「具体例① 債券投資」（6 ページ）と「具体例② 債券投資」（8 ページ）の条件です。 ↩
現在価値は、割引係数を丸めずに計算してから億円の小数第 2 位に四捨五入しています。表の各時点の値（丸めた後）の合計は 91.82 億円です。 ↩
「Ⅱ．市場リスクの把握と管理」（2012 年 6 月）の「現在価値アプローチの考え方」（4 ページ）。 ↩
同じ資料の「（参考）リスクファクター：現在価値の変動をもたらすもの」（11 ページ）と「（参考）金融商品とリスクファクター」（12 ページ）。同じ考え方は「Ⅰ．市場リスクの計測手法 ― 現在価値アプローチ―」（2009 年 3 月）の 20 ページ。 ↩
「Ⅱ．市場リスクの把握と管理」（2012 年 6 月）の「（１）ＢＰＶ（ベーシス・ポイント・バリュー）」（13 ページ）。 ↩
同じ資料の「（参考）割引率（スポットレート）の定義」（10 ページ）。 ↩

要点