理解度チェック: 金利と時間価値

下書きです。公開前の確認のために表示しています。

「金利と時間価値」の章の内容を確かめる 5 問の問題です。選択肢を選んで「回答する」を押すと、正解と解説が出ます。「正解と解説」を開いて、先に答えを見ることもできます。

1. 問 1

   架空の例として、金利 2% の半年ごとの複利で 100 円を預けると、1 年後の金額はいくらですか。

   1. A.101.00 円
   2. B.102.00 円
   3. C.102.01 円
   4. D.102.02 円
   正解と解説

   正解: C

   半年ごとの複利では、年の金利 2% を 1 年の回数の 2 で割った 1% の利息を、半年ごとに付けます。100 円は半年後に 101 円になり、1 年後には 101 円の 1% が付いて 102.01 円になります。式で書くと 100 × 1.01 × 1.01 ＝ 102.01 です。

   102.00 円は年 1 回の複利の金額です。半年後に付いた 1 円の利息にも後の半年で利息が付くため、半年ごとの複利はそれより 0.01 円多くなります。101.00 円は半年後の金額で、102.02 円は回数を限りなく増やした連続複利の 1 年後の金額です。

   詳しくは: 複利と割引

2. 問 2

   架空の例として、金利 2% で 10 年後に受け取る 100 円の現在価値は、複利の回数を増やしていくと（年 1 回、半年ごと、毎月、連続複利）、どうなりますか。

   1. A.小さくなる
   2. B.変わらない
   3. C.大きくなる
   正解と解説

   正解: A

   複利の回数が多いほど、今の 100 円の 10 年後の金額は大きくなります。割引はこの計算の逆で、将来の金額を同じ倍率で割るため、割引係数と現在価値は小さくなります。10 年後の 100 円の現在価値は、年 1 回の複利で 82.03 円、半年ごとで 81.95 円、毎月で 81.89 円、連続複利で 81.87 円です。

   同じ「2%」でも、複利の数え方が違えば将来の金額と割引係数は違う値になるため、「変わらない」は誤りです。「大きくなる」は、将来の金額が大きくなることと現在価値の向きを取り違えています。

   詳しくは: 複利と割引

3. 問 3

   割引係数（ディスカウント・ファクター）は何を表しますか。

   1. A.今の 1 円を預けたときの、将来の金額
   2. B.将来の 1 円を受け取るまでに付く利息の額
   3. C.すべての期間の金利が 1bp 上がったときの現在価値の変化
   4. D.将来に受け取る 1 円の、今の時点の価値
   正解と解説

   正解: D

   割引係数は、将来に受け取る 1 円の今の価値です。年に 1 回の複利なら、1 を「1＋金利」で年数の回数だけ割って求め、金利 2% の 1 年後の割引係数は約 0.9804 です。将来のキャッシュフローの金額に、受け取る時点の割引係数を掛けると、その現在価値になります。

   「今の 1 円を預けたときの将来の金額」は逆向きの計算で、金利 2% なら今の 100 円は 1 年後に 102 円になります。割引係数は利息の額ではなく、将来の金額に掛けて今の価値を求めるための値です。すべての期間の金利が 1bp（0.01%）上がったときの現在価値の変化は BPV（ベーシス・ポイント・バリュー）といい、金利が動いたときのリスクの大きさを測るのに使います。

   詳しくは: 現在価値と割引係数

4. 問 4

   架空の例として、元本 100 億円、利息が年 1 回 2%、満期 3 年の債券があり、割り引く金利は期間によらず一定とします。割り引く金利が 2% から 5% に上がると、この債券の現在価値は何億円下がりますか。

   1. A.3.00 億円
   2. B.6.00 億円
   3. C.8.17 億円
   4. D.91.83 億円
   正解と解説

   正解: C

   割引係数は、割り引く金利が高いほど小さくなります。金利が 2% から 5% になると、現在価値の合計は 100.00 億円から 91.83 億円になります。1 年後の割引係数は 0.9804 から 0.9524 に、3 年後は 0.9423 から 0.8638 に下がるためです。

   100.00 億円から 91.83 億円を引いて、現在価値は約 8.17 億円下がります。この債券の利息は毎年 2 億円と決まっているため、割り引く金利が上がっても受け取るキャッシュフローは同じです。掛ける割引係数が小さくなるため、現在価値が下がります。

   91.83 億円は金利が上がったあとの現在価値で、下がった額ではありません。3.00 億円は金利の上がり幅 3 ポイントを元本にそのまま掛けた額、6.00 億円は 3 年分の利息の合計で、どちらも現在価値の変化ではありません。

   詳しくは: 現在価値と割引係数

5. 問 5

   架空の例として、1 年のスポットレートが 2.00%、2 年のスポットレートが 2.25%（どちらも年 1 回の複利）のとき、1 年後から 2 年後までのフォワードレートに最も近い値はどれですか。

   1. A.4.25%
   2. B.2.50%
   3. C.2.25%
   4. D.2.00%
   正解と解説

   正解: B

   フォワードレートは、2 つの運用で 2 年後の金額が同じになるように決まります。1 つは 2 年のスポットレートで 2 年間運用する方法で、もう 1 つは 1 年のスポットレートで 1 年運用してから、フォワードレートで運用し直す方法です。100 を運用すると、前者では 2 年後に約 104.55、後者では 1 年後に 102.00 になります。そのため、フォワードレートは 104.55 ÷ 102.00 − 1 で約 2.50% です。

   1 年後から 1 年間のフォワードレートを $F_{1,1}$ とすると、2 つのスポットレートから次の式で求められます。

   $$F_{1,1} = \frac{(1 + 0.0225)^2}{1 + 0.02} - 1 \approx 0.0250$$

   スポットレートが年限とともに上がる区間では、フォワードレートはスポットレートより高くなります。そのため、答えは 2 年のスポットレートの 2.25% より高い値です。2.00% は 1 年のスポットレートで、フォワードレートがこれと同じになるのは、スポットレートが年限によらず同じときです。4.25% は 2 つのスポットレートの合計で、金利を足しても 1 年後から 2 年後までの金利にはなりません。

   詳しくは: ゼロレートとフォワードレート