後決め複利の計算

OIS の決済や、後決め複利を使う貸出の利払いでは、変動金利の受払額と利息は、期間の終わりに、契約の条件に沿って日々の TONA から計算します。積み上げ方と日数の数え方を押さえると、計算した金額の食い違いが、金利、日数、休日のどこから出たかを確かめられます。

翌日物金利を毎日積み上げた期間の利率

後決め複利の利率は、利息の期間の初日に資金を翌日物で運用し、毎営業日、受け取った利息ごと運用し直したときの増え方を、年率に直したものです。翌日物の金利は日々変わるため、期間の利率は、期間の最後の営業日の金利が分かるまで決まりません。そのため「後決め」と呼びます。これに対し、期間の初めに利率が決まる方式を「前決め」といいます¹。日本円の指標金利について、日本銀行と金融庁の資料は、TONA（無担保コール翌日物金利）の後決め複利の利率が金利支払日の直前に決まると整理しています。一方、ターム物金利の TORF（東京ターム物リスク・フリー・レート）と TIBOR（東京銀行間取引金利）は前決めです²。TONA、TORF、TIBOR は、円 LIBOR（ロンドン銀行間取引金利）の代わりの候補として整理されたものです。

日本円の OIS は、固定金利と、期間中の TONA を複利で計算した変動金利を交換する取引です。変動金利の受け払いの額は、期間の終わりに期間中の TONA を複利計算して決まります³。貸出でも、日本円金利指標に関する検討委員会が、TONA の後決め複利を使う貸出の利息の計算方式を 2020 年 12 月に整理して公表しました⁴。TONA の定義と算出の方法は、TONAで扱います。

後決め複利の求め方

後決め複利の利率は、次の 3 つの手順で求めます。まず、期間中の営業日ごとに、その日の TONA に、その金利を使う日数を掛けて 365 で割り、1 を足します。次に、それをすべての営業日について掛け合わせます。最後に、積から 1 を引いて期間の増え方にし、365 ÷ 期間の日数を掛けて年率に直します。式で書くと次のとおりです⁵。

$$R = \left( \prod_{i=1}^{d_b} \left( 1 + \frac{r_i \times n_i}{365} \right) - 1 \right) \times \frac{365}{D}$$

$R$ は期間の利率（年率）、$d_b$ は期間の営業日の数、$r_i$ は期間の $i$ 番目の営業日の TONA、$n_i$ はその TONA を使う暦日の日数、$D$ は期間の暦日の日数です。利息は、元本に $R$ と $D \div 365$ を掛けて求めます。

$$\text{利息} = \text{元本} \times R \times \frac{D}{365}$$

検討委員会の整理では、期間の利率 $R$ は小数点以下 5 桁（% で表した値）に端数処理し、利息の額は 1 円単位に端数処理します⁶。貸出で金利に上乗せするスプレッドは、複利の計算に入れず、複利で求めた利率に後から足します⁷。

深掘りSOFR Index を使った後決め複利の求め方

米ドルの翌日物金利 SOFR（Secured Overnight Financing Rate）を公表するニューヨーク連邦準備銀行（ニューヨーク連銀）は、SOFR を毎営業日複利で積み上げた指数（SOFR Index）も公表しています。期間の初日の指数を $I_x$、期間の終わりの日の指数を $I_y$、期間の暦日の日数を $d_c$ とすると、期間の後決め複利は次の式で求められます⁸。

$$R = \left( \frac{I_y}{I_x} - 1 \right) \times \frac{360}{d_c}$$

指数の比は、本文の式の積の部分で、365 を 360 にしたものに当たります。ただし、指数は小数点以下 8 桁に丸めて公表されるため、同じ期間の SOFR の 30 日平均などの公表値と、小数点以下 5 桁目で違うことがあると、ニューヨーク連銀は説明しています⁸。

日数の数え方と休日の扱い

期間の日数 $D$ は、初日を含め、最終日を含めずに数えます。検討委員会の資料はこれを「後片端落とし」と呼んでいます。年に直すときの日数計算の慣行は、TONA に合わせて 1 年を 365 日とする ACT/365（固定）です¹⁰。一方、SOFR の平均と指数は、米ドルの短期金融市場の慣行に合わせて、実際の日数を 360 で割ります¹¹。

休日の分は、日ごとに積み上げません。直前の営業日の金利を使い、次の営業日までの暦日の日数を掛けます¹²。そのため、金曜日の TONA は、次の月曜日が祝日でなければ、土曜日と日曜日を含めた 3 日分として、1 ＋ 金利 × 3 ÷ 365 を掛けます¹³。営業日は、変動金利の算出場所である東京の休日で決めます¹³。日付が休日に当たるときの営業日の調整について、検討委員会の貸出サブグループの意見照会では、修正翌営業日（Modified Following）を採用することに圧倒的多数が賛同しました¹⁰。

1 週間の後決め複利の計算例

祝日のない 1 週間の例で計算します。期間は 2026 年 3 月 23 日（月）から 3 月 30 日（月）までの 7 日で、営業日は 23 日から 27 日（金）までの 5 日です。金利は、下のシミュレーターのサンプルの翌日物金利を使う架空の例で考えます。サンプルの値は実際の TONA ではありません。日付と使う金利の日数の対応は、次の図のとおりです。

図の説明

2026 年 3 月 23 日から 30 日までの期間で、日ごとに使う金利の日数を古い順に並べた図です。23 日から 26 日の 4 営業日は、その日の金利を 1 日分使います。27 日（金）は土曜日と日曜日を含めて 3 日分使います。30 日は期間の終わりの日で、日数には数えません。日数の合計は期間の暦日の日数 7 日と同じになります。図の間隔は時間の長さを表さず、塗りの丸は期間の初日と終わりの日です。

最後の倍率から 1 を引いた 0.0001395414 が、7 日間の増え方です。これに 365 ÷ 7 を掛けると、期間の利率は 0.7276% です。元本 1 億円の利息は、1 億円 × 0.7276% × 7 ÷ 365 で、13,954 円になります¹⁴。

期間と金利の動きによる利率の違い

期間の利率は、期間中の日々の金利を日数で重み付けして積み上げた値になるため、途中で金利が上がると、上がる前と後の金利の間の値になります。2026 年 2 月 2 日から 5 月 1 日までの 88 日の期間で、同じサンプルの金利（3 月 18 日までは 0.477% 前後、3 月 19 日からは 0.727% 前後）を使うと、期間の利率は 0.5997% です。元本 1 億円の利息は、1 億円 × 0.5997% × 88 ÷ 365 で、144,587 円になります¹⁴。上がった後の金利を使う日が期間の約半分のため、利率は 2 つの金利のほぼ中ほどになります。このサンプルは祝日（2 月 11 日、2 月 23 日、3 月 20 日、4 月 29 日）も営業日として金利を使っているため、実際の東京の営業日で計算した値とは違います。

単利の平均との違い

期間中の金利を複利にせず、日数で重み付けして平均する方法を単利の平均といいます。式で書くと次のとおりです。

$$\text{単利の平均} = \frac{1}{D} \sum_{i=1}^{d_b} r_i \times n_i$$

検討委員会の資料は、貸出で実務上の必要に応じて単利を使うことを妨げないとしています¹⁵。

金利がプラスなら、後決め複利は単利の平均より高くなります。1 ＋ 金利 × 日数 ÷ 365 を掛け合わせると、足し合わせた分に加えて、利息に付く利息の分が積に入るためです。88 日の例では、後決め複利の 0.5997% に対し、単利の平均は 0.5993% で、元本 1 億円の利息の差は 102 円です。同じ期間なら、差は金利の水準が高いほど大きくなります。同じ 88 日で金利が毎日 0.5% なら後決め複利は 0.5003% ですが、毎日 5% なら 5.0296% で、単利の平均の 5% より 0.03% ほど高くなります¹⁴。

期間の終わりまで利率が決まらない問題

後決め複利では、利息の額が期間の終わりまで決まりません。日本銀行は、ある営業日の TONA の確定した値（確報値）を翌営業日の午前 10 時頃に公表するため¹⁶、期間の最後の営業日の TONA は、期間の終わりの日になってから分かります。リスク・フリー・レートに関する勉強会の 2018 年 4 月の資料にある日本円の OIS の例では、期間の終わりの日に TONA の公表を待って変動金利の額を計算し、その 2 営業日後に差額を決済します¹⁷。

利息を期間の終わりの日に払う貸出や債券では、利息の額を確かめて支払いを準備する時間がありません。この問題に対して、何営業日か前の金利を使うルックバックなどの計算の慣行があります¹⁸。ルックバック、ロックアウト、支払い遅延の仕組みと利率への影響は、ルックバック、ロックアウト、支払い遅延で扱います。

注

1. 日本円金利指標に関する検討委員会「日本円金利指標の適切な選択と利用等に関する市中協議」（2019 年 7 月）の 10 ページ、「選択肢（１）O/N RFR 複利（前決め）」「選択肢（２）O/N RFR 複利（後決め）」。 ↩

2. 日本銀行金融市場局・金融機構局、金融庁総合政策局・監督局「円LIBOR移行対応の振り返りと今後の取り組み」（日銀レビュー 2022-J-8、2022 年 5 月）の 3 ページ、図表 2「代替金利指標の３つの選択肢」の「金利決定のタイミング」。 ↩

3. リスク・フリー・レートに関する勉強会「日本円ＯＩＳ（Overnight Index Swap）─取引の概要と活用事例─」（2018 年 4 月）の 8 ページ、「（変動金利の受払額が金利計算期間の満期日に確定）」。 ↩

4. 日本円金利指標に関する検討委員会「貸出における TONA（後決め）のコンベンション（利息計算方式）について」の本文 1 ページ。公表の年月は、日本銀行「円LIBOR移行対応の振り返りと今後の取り組み」（2022 年 5 月）の 3 ページ、図表 3 による。 ↩

5. 日本円金利指標に関する検討委員会「貸出における TONA（後決め）のコンベンション（利息計算方式）について」の別紙 1 ページ、「１．記号・数式等」。資料は $R$ を $ACR_{db}$、$r_i$ を $TONA_i$、$d_b$ を $db$、$D$ を $tn_{db}$ と書いています。 ↩

6. 同じ資料の本文 2 ページの「端数処理」と、別紙 1 ページの「【ステップ２】利息額（Interest Amount）の計算」。 ↩

7. 同じ資料の本文 3 ページ、「スプレッドの取扱い」。 ↩

8. Federal Reserve Bank of New York, "Additional Information about Reference Rates Administered by the New York Fed" の "Calculation Methodology for the SOFR Averages and Index"。 ↩ ↩²

9. 日本円金利指標に関する検討委員会「貸出における TONA（後決め）のコンベンション（利息計算方式）について」の本文 2 ページの「利息計算手法」と、別紙 1〜2 ページ、「２．各方式の計算式」。 ↩ ↩²

10. 同じ資料の本文 2 ページ、「日数計算」「計算期間の初日と最終日の取扱い」「営業日」。 ↩ ↩²

11. Federal Reserve Bank of New York, "Additional Information about Reference Rates Administered by the New York Fed" の "Calculation Methodology for the SOFR Averages and Index" の 2 つ目の段落。 ↩

12. 日本円金利指標に関する検討委員会「貸出における TONA（後決め）のコンベンション（利息計算方式）について」の本文 2 ページ、「休日処理」。 ↩

13. リスク・フリー・レートに関する勉強会「日本円ＯＩＳ（Overnight Index Swap）─取引の概要と活用事例─」（2018 年 4 月）の 5 ページ、「基本的な取引方式」。 ↩ ↩²

14. このページの計算例とシミュレーターは、利率を途中で丸めずに利息を求め、1 円未満を四捨五入して示しています。検討委員会の整理のとおり利率を小数点以下 5 桁（%）に端数処理すると、88 日の例の利息は 144,587.6 円になります。 ↩ ↩² ↩³

15. 日本円金利指標に関する検討委員会「貸出における TONA（後決め）のコンベンション（利息計算方式）について」の本文 2 ページ、「単利」。 ↩

16. 日本銀行金融市場局「「コール市場関連統計」の解説」の「３．公表方法」（2 ページ）の表。 ↩

17. リスク・フリー・レートに関する勉強会「日本円ＯＩＳ（Overnight Index Swap）─取引の概要と活用事例─」（2018 年 4 月）の 5 ページ「基本的な取引方式」と、6 ページ「例２：１年未満のOIS 清算取引で、満期時のみに利払いを行うケース」。 ↩

18. 日本円金利指標に関する検討委員会「貸出における TONA（後決め）のコンベンション（利息計算方式）について」の本文 1 ページ、「Lookback 期間（調整日数）」。 ↩