フォワード測度

ニューメレールに割引債を選ぶと、期間 $\delta$ のキャップレットの価格は、割引債の価格に、受け取りの期待値を掛けた形で書けます。時点 $t$ のキャップレットの価格は $\delta\,Z_t^{T+\delta}\,E^{T+\delta}_t[(L(T,T) - K)^+]$ で、$Z_t^{T+\delta}$ は満期 $T+\delta$ の割引債の価格、$E^{T+\delta}$ はそのフォワード測度での期待値です。同じ価格を、別のニューメレール（資料の $B_t$）と測度 $Q$ で書くと、受け取りを $B_{T+\delta}$ で割った期待値に、$B_t$ を掛けた形です¹。

$\delta = 0.5$ のキャップレットの架空の例で考えます。満期 $T+\delta$ の割引債の価格が 0.98、フォワード測度での受け取りの期待値 $E^{T+\delta}[(L - K)^+]$ が 0.4% とします。想定元本 1 のキャップレットの価格は $0.5 \times 0.98 \times 0.004 = 0.00196$ で、想定元本 100 億円なら 0.196 億円（1,960 万円）です。

測度を取り替えると、フォワードレートの動き方も変わります。最後の日付 $T_{M+1}$ のフォワード測度では、最後のフォワードレート $L_M$ はマルチンゲールで、ドリフトが 0 です。それ以外のフォワードレートはマルチンゲールでなく、ドリフトが残ります²。測度は、ほかにスワップション向けのスワップ測度があります³。

注

1. Martin Haugh「Market Models」（Columbia University、Term Structure Models: IEOR E4710、2010 年）の 2 ページ「Black's Formula for Caplets」。本文は、資料の $P^{T+\delta}$ を $E^{T+\delta}$ と書いています。 ↩

2. 同「Market Models」の 8 ページ、式 (23) の前後（割引債の価格を $Z^{M+1}_t$ で割った値が $P^{M+1}$ のマルチンゲールであること）、式 (24)、(25)、Remark 3。 ↩

3. 同「Market Models」の 6 ページ「Numeraire-EMM Pairs」。スポット測度（口座 $B^*_t$ を基準）、フォワード測度 $P^T$（満期 $T$ の割引債を基準）、スワップ測度（スワップションの解析的な評価に使う）。 ↩