期待ショートフォール

期待ショートフォールは、VaR では見えない裾の損失まで含めて持ち高のリスクを見る指標です。銀行が自分のモデルでリスクの量を求める内部モデル方式では、市場リスクの自己資本の規制の値として、トレーディング・デスクごとに日次で求めます。

期待ショートフォールは何を表すか

期待ショートフォール（ES）は、損失が VaRを超えたときに、損失が平均でどれだけになるかを表します¹。VaR は決めた確率でしか超えない損失の額を示すだけで、超えたときの損失の大きさは示しません。期待ショートフォールは、VaR の先にある分布の裾の損失を、平均の形で取り込みます。資料によっては条件付き VaR（conditional VaR）などとも呼び、銀行の自己資本比率の告示は「期待ショート・フォール」と書きます²。

2 つのポートフォリオの架空の例で考えます。等しく起こりうる 200 通りのシナリオで、1 日の損益を求めます。信頼水準を 97.5% とします。200 通りの 2.5% は 5 通りなので、損失の大きい方から 5 番目が VaR、VaR を含めて上から 5 個の平均が期待ショートフォールです。

2 つの VaR はどちらも 1,600 万円で、VaR だけでは違いが見えません。期待ショートフォールは 2,200 万円と 2,620 万円で、ポートフォリオ 2 には 6,000 万円の損失が出るシナリオがあることを反映します。

期待ショートフォールの求め方

損失を $L$、信頼水準を $\alpha$（97.5% なら 0.975）、その信頼水準の VaR を $\mathrm{VaR}_\alpha$ とします。損失の分布が連続なら、期待ショートフォールは、損失が VaR 以上になるという条件のもとでの損失の期待値です³。

$$\mathrm{ES}_\alpha = E[\,L \mid L \ge \mathrm{VaR}_\alpha\,]$$

分布が連続でないときは、この式をそのまま使えず、定義を改めて厳密にする必要があります⁴。VaR と同じ値の損失がいくつも並ぶと、式はその損失をすべて平均に入れるため、$1-\alpha$ より多くの場合を平均することになります（劣加法性の節の例）。

VaR の 3 つの方法（分散共分散法、ヒストリカル法、モンテカルロ法）のどれでも、VaR を求めたのと同じ損益の分布から期待ショートフォールも求めます。ヒストリカル法とモンテカルロ法では、$n$ 個の損益（過去の日の損益か、作ったシナリオの損益）を損失の大きい順に並べ、$n(1-\alpha)$ を切り上げた整数を $k$ とします。$k$ 番目の損失が VaR で、期待ショートフォールは上から $k$ 個の損失の平均です。標本の損益は連続の分布ではないため、条件付きの期待値の式ではなく、この平均を使います。

$$\mathrm{ES}_\alpha = \frac{L_{(1)} + L_{(2)} + \cdots + L_{(k)}}{k}$$

$L_{(i)}$ は、損失の大きい方から $i$ 番目の値です。前の節の例は $n = 200$、$k = 5$ です。何番目の損失を VaR とするかは、資料によって 1 つずれることがあります⁵。

分散共分散法は、損益が平均 0 の正規分布に従うとして、損益の標準偏差 $\sigma$ から直接求めます。

$$\mathrm{ES}_\alpha = \sigma \times \frac{\varphi(z_\alpha)}{1-\alpha}$$

$z_\alpha$ は標準正規分布で下から $\alpha$ の位置にある値（VaR の係数。97.5% なら 1.9600）、$\varphi$ は標準正規分布の確率密度関数です。97.5% の係数は、$\varphi(z_{0.975}) = 0.058445$ を 0.025 で割った 2.3378 です（$z_{0.975}$ は丸める前の 1.95996）。99% なら 2.6652 で、99% の VaR の係数 2.3263 より大きくなります⁶。正規分布では、VaR も期待ショートフォールも標準偏差の定数倍です。

図 1 は、標準正規分布で、VaR の線と、その外側の裾の平均の位置（97.5% の VaR の係数 1.960、期待ショートフォールの係数 2.338）を見るものです。

図の説明

平均 0、標準偏差 1 の正規分布の確率密度を、損益を横軸にして描いた曲線です（横軸の 0 の右側は、見やすさのため少しだけ描いています）。曲線は 0 を中心に左右対称の釣り鐘の形をしています。損失の側の −1.960 に「VaR」の縦の破線があり、97.5% の VaR の位置です。破線より左の塗った面積が、確率 2.5% にあたります。さらに左の −2.338 に「ES」の縦の破線があり、期待ショートフォールの位置です。「ES」の線は、塗った裾の損失の平均の位置で、VaR の線より外側にあります。縦軸は確率密度で、面積が確率にあたります。

深掘り正規分布の期待ショートフォールの式の導き方

標準正規分布に従う $Z$ について、$Z$ が $z_\alpha$ 以上になる確率は $1-\alpha$ です。そのため、条件付きの期待値は次の積分を $1-\alpha$ で割ったものになります。

$$\int_{z_\alpha}^{\infty} x\,\varphi(x)\,dx = \varphi(z_\alpha)$$

左辺が $\varphi(z_\alpha)$ になるのは、$\varphi(x) = e^{-x^2/2}/\sqrt{2\pi}$ を微分すると $-x\,\varphi(x)$ になるためです。損失は $L = \sigma Z$ なので、期待ショートフォールは $\sigma\,\varphi(z_\alpha)/(1-\alpha)$ になります。

資産 A と資産 B での計算例

VaR のシミュレーターの初期値の持ち高で、信頼水準を 97.5% にして求めます。資産 A を 6 億円（日次のボラティリティ 1.2%）、資産 B を 4 億円（0.8%）持ち、2 つの相関は 0.3、保有期間は 1 日です。1 日の損益の標準偏差は、資産 A の 720 万円（6 億円 × 1.2%）と資産 B の 320 万円（4 億円 × 0.8%）を相関 0.3 で合わせた 871.23 万円（$\sqrt{720^2 + 320^2 + 2 \times 0.3 \times 720 \times 320}$）です。

各行の値は、標準偏差 871.23 万円に係数を掛けたものです。97.5% の期待ショートフォール 2,037 万円は、99% の VaR 2,027 万円とほぼ同じです。損益が正規分布なら係数が 2.3378 と 2.3263 で、持ち高やボラティリティによらず、この 2 つはほぼ同じ大きさになります。

同じ持ち高で、ヒストリカル法（250 日）とモンテカルロ法（1 万個のシナリオ）でも求めると、次のとおりです。シミュレーターのヒストリカル法の過去のデータとモンテカルロ法のシナリオは、どちらも正規分布から乱数で作ったもので、実際の市場のデータではありません。

ヒストリカル法は、250 日の 2.5% の 6.25 を切り上げた 7 番目の損失が VaR で、上から 7 個の平均が期待ショートフォールです。標本から求めた値は、分散共分散法の値のまわりでばらつきます。

裾の厚い分布で VaR との差が開く

裾の厚い分布（ファット・テール）は、十分大きな損失のように平均から大きく離れた値が起こる確率が、正規分布より高い分布です⁷。損益の分布が正規分布より裾が厚いと、正規分布を前提にした VaR は損失を小さく見積もるおそれがあります⁸。裾の厚さは VaR より期待ショートフォールに強く表れます。

同じ持ち高で、収益率を自由度 5 の t 分布（分散を正規分布と同じにした、裾の厚い分布）に替えると、97.5% の値は次のようになります。

モンテカルロ法では、t 分布に替えると VaR は 1,672 万円から 1,794 万円へ 7% 増え、期待ショートフォールは 2,016 万円から 2,360 万円へ 17% 増えます。標準偏差は同じでも、VaR を超えた先の損失が大きくなるためです。分散共分散法は分布によらず正規分布を前提にするため、値が変わりません。

分散の効果と劣加法性

リスクの量が劣加法性を満たすとは、2 つの持ち高を合わせたリスクの量が、それぞれのリスクの量の和を超えないことです⁹。分散してもリスクの量が増えないことを表す性質です。損益が正規分布なら VaR も劣加法性を満たしますが、正規分布でない分布では満たさないことがあります¹⁰。期待ショートフォールは、損益の分布が連続なら劣加法性を満たします。分布が連続でないときも、期待ショートフォールを厳密に定義し直せば満たすことが示されています¹¹。標本で使う上から決まった個数の平均が劣加法性を満たすことは、下の例の後で確かめます。

社債 2 本（1 本目と 2 本目）の架空の例で考えます。どちらも、等しく起こりうる 200 通りのシナリオのうち 4 通り（2%）でデフォルトし、回収はありません。VaR が劣加法性を満たさない例です。2 本が同じシナリオでデフォルトすることはなく、利息は考えません。信頼水準は 97.5% で、最初の節の例と同じく、損失の大きい方から 5 番目が VaR、VaR を含めて上から 5 個の平均が期待ショートフォールです。

1 本だけを持つと、損失が出るシナリオは 4 通りで 5 番目の損失は 0 のため、VaR は 0 です。2 本に 50 億円ずつ分けると損失が出るシナリオが 8 通りになり、VaR は 50 億円に増えます。それぞれの VaR の和（0 + 0）より合わせた VaR（50 億円）が大きく、VaR では 100 億円を 1 本に集める持ち方のほうがリスクが小さく見えます。期待ショートフォールでは、合わせた 50 億円はそれぞれの和（40 + 40 = 80 億円）を超えず、1 本に集めた 80 億円より小さくなります。確率が 2.5% より小さい大きな損失は VaR に表れず、期待ショートフォールには平均の形で入るためです¹²。

この例は損失が 0 のシナリオが多く並ぶ離散の分布なので、求め方の節の条件付きの期待値の式は使えません。1 本目に 100 億円のとき、式どおりに損失が VaR（0）以上のシナリオをすべて平均すると、200 通りすべてが入り、400 億円 ÷ 200 = 2 億円になります。1 本目と 2 本目に 50 億円ずつ持つときは、それぞれ 1 本だけの期待ショートフォールが 1 億円ずつで、合わせた持ち方の 50 億円は和の 2 億円を超えてしまいます。等しく起こりうるシナリオで上から同じ個数の損失を平均するなら、劣加法性はいつも満たされます。合わせた持ち方で損失が大きい 5 通りをとると、そこでの 1 本目の損失の和は 1 本目の上から 5 個の損失の和を超えず、2 本目も同じだからです。

期待ショートフォールの弱点

期待ショートフォールの推定値は、裾が厚い分布ほど VaR より大きくばらつきます。まれにしか出ない大きな損失が標本に入るかどうかで平均が動くため、VaR と同じ精度にするには、より多くのシミュレーションが要ります¹³。裾の厚い分布の節の t 分布の設定では、250 日のヒストリカル法の期待ショートフォールは 2,822 万円で、1 万個のモンテカルロ法の 2,360 万円と 462 万円離れています。ヒストリカル法の値は 7 個の損失の平均にすぎず、どの日が標本に入るかで大きく変わります。

確かめ方にも課題があります。VaR は、損失が VaR を上回った日を数えて実際の損益と比べられます。期待ショートフォールについては、2001 年の時点で、バックテストの手法を確立することが課題に挙げられていました¹⁴。銀行の自己資本比率の告示でも、トレーディング・デスクごとのバックテストは、期待ショートフォールではなく 97.5% と 99% の VaR で行います¹⁵。確かめ方はバックテストのページで扱います。

市場リスクの規制での経緯

銀行の市場リスクの規制には、銀行が自分のモデルでリスクの量を求める内部モデル方式があります。内部モデル方式は、1996 年の改定で VaR を使い始め、グローバル金融危機の後のトレーディング勘定の抜本的見直し（FRTB）で期待ショートフォールへ移りました。トレーディング勘定は、短期の転売や短期の価格の変動からの利益などを目的に持つ持ち高と、そのヘッジからなる区分です¹⁶。

1996 年 1 月、バーゼル銀行監督委員会は、1997 年末以降、信用リスクに加えて市場リスクにも自己資本を求める改定を公表しました。内部モデル方式の VaR は、日次で、片側 99% の信頼水準、10 営業日以上の保有期間、1 年以上の観測期間で求めます。所要自己資本は、VaR に乗数を掛けて求める仕組みでした¹⁷。今の告示での乗数と、バックテストの結果で乗数が上がる仕組みは、バックテストのページで扱います。日本では 1998 年からこの枠組みが適用されました¹⁸。

グローバル金融危機では、ほとんどの銀行でトレーディング勘定の損失が市場リスクの資本を大きく上回りました。バーゼル銀行監督委員会は 2009 年 7 月にバーゼル 2.5 を公表し、VaR にストレス VaR を上乗せしました¹⁹。ストレス VaR は、連続した 1 年のストレス期間のデータで、片側 99%、保有期間 10 日で求めた VaR です²⁰。国際的な合意では、バーゼル 2.5 は 2011 年末から実施されました²¹。

続いてバーゼル銀行監督委員会は、FRTB として、2016 年 1 月に「マーケット・リスクの最低所要自己資本」を公表し、2019 年 1 月に見直した最終の規則を公表しました²²。内部モデル方式では、VaR が裾の損失を捉えないことから期待ショートフォールを採用し、VaR とストレス VaR の二重の枠組みを、ストレス期間のデータを使った期待ショートフォールに一本化しました²³。

日本では、内部モデル方式を使う銀行に、告示が次のように求めています。期待ショートフォールは、片側 97.5% の信頼水準で日次に求めます。ストレス期間は、少なくとも 2007 年まで遡る観測期間のうち、市場が最も厳しかった 12 か月です²⁴。保有期間は一律の 10 日ではなくなり、リスクファクター（持ち高の価値を動かす要因）の市場の流動性に応じて、10、20、40、60、120 日のどれかの流動性ホライズンを使います²⁵。流動性ホライズンを期待ショートフォールに反映する算式は、FRTB のページで扱います。

FRTB を含むバーゼル III の最終化の告示は、国際統一基準金融機関と、内部モデルを採用する国内基準金融機関には、2024 年 3 月 31 日から適用されています。内部モデルを採用しない国内基準金融機関には、2025 年 3 月 31 日から適用されています。2023 年 3 月 31 日以降は、届け出により早く適用することもできました²⁶。ほかの国と地域では、2025 年 12 月時点で、EU が市場リスクの実施を 2027 年に延ばし、英国が市場リスクの内部モデルの適用を 2028 年に延ばす予定でした。米国は実施の時期を決めていませんでした²⁷。

注

1. 山井康浩、吉羽要直「バリュー・アット・リスクのリスク指標としての妥当性について」（『金融研究』2001 年 4 月）の p.38「ロ．期待ショートフォール」。 ↩

2. 山井康浩、吉羽要直「期待ショートフォールによるポートフォリオのリスク計測」（『金融研究』2001 年 12 月）の p.55（conditional VaR などの呼び方）。告示の呼び方は、金融庁「銀行法第十四条の二の規定に基づき、銀行がその保有する資産等に照らし自己資本の充実の状況が適当であるかどうかを判断するための基準」の第 1 条第 96 号（25 ページ）。 ↩

3. 山井康浩、吉羽要直「期待ショートフォールによるポートフォリオのリスク計測」（2001 年 12 月）の p.55 の式（1）。資料は損失を X、信頼水準を 100(1−α)% と書き、α を VaR を超える確率に使います。このページの α は信頼水準で、資料の 1−α にあたります。 ↩

4. 山井康浩、吉羽要直「リスク指標の性質に関する理論的整理」（『金融研究』2001 年 12 月）の p.119 の注 32（「確率変数の分布関数が連続関数ではない場合は、期待ショートフォールをより厳密に定義し直す必要がある」）。資料は p.96 で、分布が連続であることを前提にしています。 ↩

5. 山井康浩、吉羽要直「期待ショートフォールによるポートフォリオのリスク計測」（2001 年 12 月）の p.56 の注 9 は、n 回のシミュレーションの損失を並べた上から n(1−信頼水準) + 1 番目を VaR の推計値とし、そこまでの平均を期待ショートフォールの推計値としています。このページの例とシミュレーターは、n(1−信頼水準) を切り上げた番目を使います。 ↩

6. 山井康浩、吉羽要直「バリュー・アット・リスクのリスク指標としての妥当性について」（2001 年 4 月）の p.38 の本文と注 8（正規分布での期待ショートフォールの式と、99% で標準偏差の 2.33 倍と 2.67 倍）。97.5% の係数は同じ式から計算しました。 ↩

7. 山井康浩、吉羽要直「期待ショートフォールによるポートフォリオのリスク計測」（2001 年 12 月）の p.57（損失額が裾の厚い分布に従うと、十分大きな損失が起こる確率が正規分布より高い）。 ↩

8. 日本銀行金融機構局 金融高度化センター「Ⅱ．市場リスクの把握と管理」（2012 年 6 月）の p.23「分散共分散法」の欠点。 ↩

9. 山井康浩、吉羽要直「バリュー・アット・リスクのリスク指標としての妥当性について」（2001 年 4 月）の p.34 の注 1。 ↩

10. 山井康浩、吉羽要直「バリュー・アット・リスクのリスク指標としての妥当性について」（2001 年 4 月）の p.39（正規分布での VaR の劣加法性と、正規分布でないときの問題）。 ↩

11. 山井康浩、吉羽要直「リスク指標の性質に関する理論的整理」（2001 年 12 月）の p.119 の定理 17（分布関数が連続な場合の期待ショートフォールの劣加法性）と注 32、注 34（連続でない場合は定義し直す必要があり、離散の場合の扱いと劣加法性の証明は Acerbi and Tasche［2001］による）。p.102 の例 5 も参照。 ↩

12. 例は、山井康浩、吉羽要直「バリュー・アット・リスクのリスク指標としての妥当性について」（2001 年 4 月）の p.41 の「大口与信がある場合の信用リスク計測」（100 本の社債、デフォルト率 1%、信頼水準 95%）を、手で計算できる大きさに変えたものです。 ↩

13. 山井康浩、吉羽要直「期待ショートフォールによるポートフォリオのリスク計測」（2001 年 12 月）の p.53 の要旨と p.57。 ↩

14. 山井康浩、吉羽要直「バリュー・アット・リスクのリスク指標としての妥当性について」（2001 年 4 月）の p.33 の要旨（推計値の安定性とバックテスティング手法の確立が課題）。 ↩

15. 金融庁「銀行法第十四条の二の規定に基づき、銀行がその保有する資産等に照らし自己資本の充実の状況が適当であるかどうかを判断するための基準」の第 275 条の 3 第 2 項（461 ページ）。 ↩

16. 金融庁金融研究センター ディスカッションペーパー DP2017-5「自己資本規制におけるマーケット・リスク計測」（2017 年 10 月）の p.1 の概要（標準的方式と内部モデル方式）と p.4（トレーディング勘定）。 ↩

17. バーゼル銀行監督委員会「マーケット・リスクを自己資本合意の対象に含めるための改定」（1996 年 1 月、日本銀行による仮訳）の p.1 の序文の 1 と、p.56〜58 の「Ｂ．４ 定量的基準」の（ａ）〜（ｄ）、（ｉ）、（ｊ）。 ↩

18. 金融庁金融研究センター ディスカッションペーパー DP2017-5（2017 年 10 月）の p.5。 ↩

19. 金融庁金融研究センター ディスカッションペーパー DP2017-5（2017 年 10 月）の p.2 と p.9。 ↩

20. 金融庁金融研究センター ディスカッションペーパー DP2017-5（2017 年 10 月）の p.9 と p.11 の表の「ストレス VaR の算出」。 ↩

21. 金融庁、日本銀行「「マーケット・リスクの最低所要自己資本」の概要」（2016 年 4 月）の p.2「最終文書公表の経緯」。 ↩

22. 金融庁、日本銀行「「マーケット・リスクの最低所要自己資本」の概要」（2019 年 1 月）の p.2「経緯」。 ↩

23. 金融庁、日本銀行「「マーケット・リスクの最低所要自己資本」の概要」（2016 年 4 月）の p.9 の①と②。 ↩

24. 金融庁「銀行法第十四条の二の規定に基づき、銀行がその保有する資産等に照らし自己資本の充実の状況が適当であるかどうかを判断するための基準」の第 276 条の 2 第 1 項（片側 97.5%、日次。467 ページ）と、第 1 条第 97 号（市場混乱時は、少なくとも平成 19 年まで遡る観測期間のうち最も市況が厳しい 12 か月。25 ページ）。 ↩

25. 同じ告示の第 276 条の 2 第 2 項と第 3 項（468〜469 ページ）。10〜120 日の流動性ホライズンは、金融庁、日本銀行「「マーケット・リスクの最低所要自己資本」の概要」（2016 年 4 月）の p.14 にもあります。 ↩

26. 金融庁「「自己資本比率規制（第１の柱・第３の柱）に関する告示の一部改正（案）」等に対するパブリックコメントの結果等について」（2022 年 4 月 28 日）の「５．公布・適用日等について」。 ↩

27. 金融庁「バーゼル規制の概要」（2026 年 8 月）の p.10「バーゼルⅢ最終化の実施時期」。 ↩

28. 金融庁「銀行法第十四条の二の規定に基づき、銀行がその保有する資産等に照らし自己資本の充実の状況が適当であるかどうかを判断するための基準」の第 276 条の 2 第 1 項から第 3 項（467〜469 ページ）と、第 276 条の 3 第 1 項（市場混乱時を想定した期待ショート・フォール。470 ページ）。 ↩