バックテスト

内部モデル方式で市場リスクを管理する銀行は、VaR が実際の損益と合っているかをバックテストで毎日確かめます。結果は所要自己資本に掛ける乗数に反映され、モデル検証部署の検証にもバックテストが入ります。

VaR を実際の損益で確かめる理由

VaR（バリュー・アット・リスク）は、過去の観測データから統計の方法で求めた推定値です。そのため、計った後に実際の損益と比べて、推定が外れていないかを確かめる必要があります。この検証をバックテストといいます¹。VaR の定義と計り方は VaR のページで扱います。

バックテストでは、超過（損失が VaR を上回った日）の回数を数えます。信頼水準 99% の VaR なら、損失が VaR を上回るのは 100 日に 1 日の見込みです。超過の回数が、この見込みを大きく上回っていないかを確かめます¹。

市場リスクの所要自己資本を自社のモデルで求める銀行（告示の「内部モデル方式採用行」）は、規制のうえでもバックテストを行います²。自己資本比率の告示では、バックテストを「バック・テスティング」と呼びます。VaR と日次の仮想損益、実損益を比べる手続です³。超過は告示では「バック・テスティングの超過」と呼び、仮想損益か実損益が VaR を上回ることを指します⁴。

毎日の比べ方と超過の数え方

内部モデル方式を使う銀行は、告示の定めにより次のように比べます。比べるのは、評価日を含む直近 250 営業日の日次の VaR と日次の損益です⁴。

1. 銀行は、営業日の終わりの持ち高について、保有期間 1 日、信頼水準 99% の VaR を計ります。
2. 翌営業日の終わりに、銀行はその 1 日の損益を求めます（比べる損益の種類は次の節）。
3. 損失が前日の VaR を上回っていれば、その日を超過として記録します。利益の日と、損失が VaR 以下の日は超過に数えません。
4. 直近 250 営業日の超過の回数を数え、次の節以降の基準で判断します。

X 銀行の 5 営業日の損益が次のようになった架空の例で考えます。金額は億円です。

3 日目の損失 12 億円は前日の VaR 11 億円を上回るので超過です。5 日目の損失 11.5 億円は VaR 12 億円を下回るので、損失の日でも超過にはなりません。1 日目と 4 日目は利益で、超過とは関係しません。

損益や VaR が観測できない日は、超過の回数を調整します。実損益だけが観測できなければ実損益の超過回数に 1 を足し、仮想損益だけが観測できなければ仮想損益の超過回数に 1 を足します。それ以外の観測できない場合は、両方に 1 を足します⁴。超過の原因がモデル化できないリスクファクター（持ち高の価値を動かす要因）にあるときは、金融庁長官に届け出れば、その超過を回数から除けます⁴。

比べる損益（仮想損益と実損益）

告示は、比べる損益として仮想損益と実損益の 2 つを定めています。仮想損益は、前日の終業時に持っていた持ち高を、当日の終業時の市場データで評価し直して出す日次の損益です。手数料、フィー、日中の取引、新規と変更の取引などは含めません⁵。実損益は、日次の損益計算で求めた実際の損益で、日中の取引と新規・変更の取引を含みます。手数料とフィーは含めません⁵。

仮想損益は前日の持ち高のままの値動きを表し、実損益にはその日の売買の結果も入ります。2 つの損益でそれぞれ超過の回数を数え、多い方をバックテストの結果に使います⁴。

超過の回数を二項分布で判断する

モデルが正しく、日ごとの超過が互いに関係なく 1% の確率で起きるとすると、250 日の超過の回数 $K$ は二項分布に従います⁷。$K$ が $k$ 回になる確率は次の式です。

$$P(K = k) = {}_{250}C_{k}\,(0.01)^{k}\,(0.99)^{250-k}$$

${}_{250}C_{k}$ は 250 日から超過の $k$ 日を選ぶ組み合わせの数です。超過の回数の平均は $250 \times 0.01 = 2.5$ 回です。

図の説明

直前の表の「ちょうどその回数の確率」を、超過の回数を横軸にして折れ線で結んだ図です。確率は 0 回の 8.11% から 2 回の 25.74% まで上がって最大になり、その後は 3 回の 21.49%、4 回の 13.41%、5 回の 6.66% と下がり、10 回では 0.02% になります。5 回と 10 回の位置に縦線があり、表の「その回数以上の確率」は 5 回で 10.78%、10 回で 0.03% です。点の間は表の値を直線で結んだだけで、表にある値ではありません。正しいモデルでも超過は 2 回前後が多く、右の裾に入る 10 回以上は、まれにしか起きません。

判断は、統計の検定の考え方で行います。「モデルは正しい」と仮定すると、250 日で 10 回以上の超過が起きる確率は 0.03% しかありません。10 回以上の超過が出たら、仮定が誤っている（モデルに問題がある）と判断します⁸。

一方で、正しいモデルでも超過が 5 回以上になる確率は 10.78% あります。5〜9 回は、モデルの問題を示してはいるものの決め手にはならない範囲です⁹。X 銀行の超過が 250 日で 6 回なら、正しいモデルで 6 回以上になる確率は 4.12% です。3 回なら、正しいモデルでも 45.68% の確率で起きる回数です。

告示の 3 ゾーン・アプローチと乗数

告示は、直近 250 営業日の超過の回数で、銀行全体のバックテストの結果を 3 つのゾーンに分けます。この分け方を3 ゾーン・アプローチといいます⁹。告示はゾーンを「バック・テスティングゾーン」と呼び、ゾーンに応じた乗数を市場リスクの所要自己資本（告示の「マーケット・リスク相当額」）に掛けます¹¹。

図の説明

銀行全体のバックテストの図です。超過の回数を 2 つの質問で順に見ます。9 回以下かを先に尋ね、「いいえ」ならレッド・ゾーンです。「はい」なら 4 回以下かを尋ね、「いいえ」ならアンバー・ゾーン、「はい」ならグリーン・ゾーンです。乗数の値は直前の表のとおりです。超過が増えるほど、ゾーンが進み、乗数も上がります。

告示の定義では、グリーン・ゾーンは「モデルの品質及び精度に問題がないとする結果」、アンバー・ゾーンは「モデルに問題がある可能性が示唆されるが決定的でないとする結果」、レッド・ゾーンは「モデルに問題がある可能性が非常に高いとする結果」です¹¹。真ん中のゾーンを、2012 年の日本銀行の研修資料は「イエロー・ゾーン」、2016 年の金融庁・日本銀行の概要は Yellow zone と書いています⁹。

乗数を掛けるのは、期待ショートフォールで求めた額の直近 60 営業日の平均です。告示の式では、所要自己資本のうち内部モデルで求める部分から、デフォルト・リスクの分を除いた額 $C_A$ を次のように求めます¹²。

$$C_A = \max\left(IMCC_{t-1} + SES_{t-1},\; m_c \cdot IMCC_{avg} + SES_{avg}\right)$$

$IMCC$ はモデル化できるリスクファクターについて期待ショートフォールで求めた額、$SES$ はモデル化できないリスクファクターについてストレスのシナリオで求めた額です。添字 $t-1$ は算出の基準日の値、$avg$ は基準日を含む直近 60 営業日の平均です。$m_c$ は上の表の乗数で、金融庁長官が指定する定性的アドオンを足すこともあります¹²。

X 銀行の $IMCC_{avg}$ が 100 億円、$SES_{avg}$ が 20 億円、基準日の $IMCC$ が 110 億円、$SES$ が 20 億円の架空の例で考えます。超過が 3 回（グリーン・ゾーン）なら、$1.50 \times 100 + 20 = 170$ 億円が基準日の値の合計 130 億円を上回るので、$C_A$ は 170 億円です。超過が 6 回（アンバー・ゾーン）なら $1.76 \times 100 + 20 = 196$ 億円で、26 億円増えます。

デスクごとの検証と損益要因分析テスト

トレーディング勘定の抜本的見直し（FRTB）では、銀行全体のバックテストに加えて、トレーディング・デスク（事業戦略を決めて取引をするトレーダーのグループ）ごとの検証も求めます¹³。今の告示では、デスクごとのバックテストと損益要因分析テストの 2 つに合格したデスクだけが、内部モデル方式を使えます²。

デスクごとのバックテストでは、直近 250 営業日について、信頼水準 97.5% と 99% の 1 日の VaR を仮想損益、実損益と比べます。超過が直近 12 か月で 97.5% なら 30 回、99% なら 12 回を超えたデスクは、市場リスクを標準的方式で求めます¹⁴。

損益要因分析テストは、リスク理論損益（デスクのリスク管理モデルで求めた損益）と仮想損益を日ごとに比べます。指標は、順位の相関（スピアマンの順位相関）と分布の近さ（コルモゴロフ・スミルノフ検定。KS 検定）の 2 つです。その値でデスクを 3 つのゾーンに分けます¹⁵。

デスクごとのバックテストと損益要因分析テストは四半期ごとに行い、テストの結果によるデスクの分類を更新します¹⁶。

所要自己資本は期待ショートフォールで求めますが、バックテストは VaR で行います。2016 年の金融庁と日本銀行の概要によると、「流動性ホライズンにわたるリスク指標を用いた検定やESを用いた検定は困難」なため、VaR の超過の回数を数える従来の枠組みを広げて使います¹⁷。

超過が出たときの対応と検証の体制

2012 年の日本銀行の研修資料は、超過が出たら原因と背景の分析が重要で、VaR が捉えていないストレスの事象の洗い出しや、VaR のモデルの改善につなげることができるとしています。主な原因は次のとおりです¹⁸。

• ストレスの事象の発生
• VaR を計った後のボラティリティの上昇
• 実際の損益の分布が、正規分布より裾が厚いこと
• 損益のトレンドや自己相関
• 観測データの不足（VaR が安定しない）
• 観測期間の選び方（遠い過去の、値動きの小さいデータが効く）

損益にトレンドや自己相関があると、1 日の VaR から保有期間の VaR を求める平方根の換算が合わなくなります¹⁸。換算は確率・統計の基礎で扱います。

観測期間に含まれないストレスの事象は、VaR に表れません。この限界はストレステストで補います¹⁹。

内部モデル方式を使う銀行には、告示が定める超過の後の対応もあります。銀行全体とデスクごとのバックテストの超過は、内容と原因を文書に記録して保存します⁴。銀行全体のバックテストがアンバー・ゾーンかレッド・ゾーンになったときと、デスクごとのバックテストで超過が直近 12 か月で 97.5% なら 30 回、99% なら 12 回を超えたときは、原因と対処の方針を書いた書類を添えて、遅滞なく金融庁長官に届け出ます²⁰。届け出たゾーンなどの分類に、市場の特殊な要因などによる事象が含まれていると認められるときは、銀行はその分類に使った超過を取り消せます²¹。

検証の体制にも、告示の要件があります。銀行は、市場リスクを管理する部署を置きます。内部モデル方式の設計・運用から独立したモデル検証部署が、承認のときと、その後は年 1 回以上、モデルを検証します¹⁶。モデルの検証には、バックテストと損益要因分析テストを入れ、バックテストでは仮想損益の求め方も検証します²²。

注

1. 日本銀行金融機構局 金融高度化センター「Ⅱ．市場リスクの把握と管理」（2012 年 6 月）の「４．バックテストによるＶａＲの検証」（39 ページ）。 ↩ ↩²

2. 「銀行法第十四条の二の規定に基づき、銀行がその保有する資産等に照らし自己資本の充実の状況が適当であるかどうかを判断するための基準」の第 275 条（459 ページ）。トレーディング・デスクの定義は第 1 条第 89 号（24 ページ）。 ↩ ↩²

3. 「銀行法第十四条の二の規定に基づき、銀行がその保有する資産等に照らし自己資本の充実の状況が適当であるかどうかを判断するための基準」（平成十八年金融庁告示第十九号。金融庁の全体版、2026 年 8 月 24 日更新）の第 271 条の 3 第 3 項第 7 号（436 ページ）。「内部モデル方式採用行」の語は第 275 条など。 ↩

4. 「銀行法第十四条の二の規定に基づき、銀行がその保有する資産等に照らし自己資本の充実の状況が適当であるかどうかを判断するための基準」の第 275 条の 2（全社的なバック・テスティング。460〜461 ページ）。第 1 項は比較、第 2 項は超過の定義と観測できない日の調整、第 3 項は除外、第 6 項は記録、第 7 項は 99% 以外の信頼水準。デスクごとの記録は第 275 条の 3 第 5 項（462 ページ）。 ↩ ↩² ↩³ ↩⁴ ↩⁵ ↩⁶ ↩⁷

5. 「銀行法第十四条の二の規定に基づき、銀行がその保有する資産等に照らし自己資本の充実の状況が適当であるかどうかを判断するための基準」の第 1 条第 92 号（仮想損益）と第 95 号（実損益）（24〜25 ページ）。どちらも、自己資本比率の計算で別に扱いが決まっている評価調整と、普通株式等 Tier1 資本などから控除される評価調整を除きます。 ↩ ↩²

6. 「銀行法第十四条の二の規定に基づき、銀行がその保有する資産等に照らし自己資本の充実の状況が適当であるかどうかを判断するための基準」の第 275 条の 5 第 3 項から第 5 項と第 7 項（463 ページ）。仮想損益と実損益を定める第 1 条第 92 号、第 95 号は「評価調整」、第 275 条の 5 は「時価調整」と書いています。 ↩ ↩²

7. 日本銀行金融機構局 金融高度化センター「Ⅱ．市場リスクの把握と管理」（2012 年 6 月）の「ＶａＲを超過する損失が発生する回数（Ｋ）とその確率」（41 ページ）と「バックテスト（２項検定）」（42 ページ）。表の確率は 42 ページの表と同じ値で、式から計算し直しても一致します。 ↩

8. 日本銀行金融機構局 金融高度化センター「Ⅱ．市場リスクの把握と管理」（2012 年 6 月）の 43 ページ。 ↩

9. 日本銀行金融機構局 金融高度化センター「Ⅱ．市場リスクの把握と管理」（2012 年 6 月）の「バーゼル銀行監督委員会の３ゾーン・アプローチ」（40 ページ。研修資料は、元はバーゼル銀行監督委員会の 1996 年 1 月の枠組みとしています）。金融庁、日本銀行「「マーケット・リスクの最低所要自己資本」の概要」（2016 年 4 月）の「４－⑫」（22 ページ）。 ↩ ↩² ↩³

10. 金融庁、日本銀行「「マーケット・リスクの最低所要自己資本」の概要」（2016 年 4 月）の「４－⑭ モデル検証」（24 ページ）。 ↩

11. 「銀行法第十四条の二の規定に基づき、銀行がその保有する資産等に照らし自己資本の充実の状況が適当であるかどうかを判断するための基準」の第 275 条の 2 第 4 項と第 5 項（460〜461 ページ）。 ↩ ↩²

12. 「銀行法第十四条の二の規定に基づき、銀行がその保有する資産等に照らし自己資本の充実の状況が適当であるかどうかを判断するための基準」の第 279 条（477〜478 ページ）。本文の $C_A$、$IMCC$、$SES$、$m_c$ は告示の記号のままです。 ↩ ↩²

13. 金融庁、日本銀行「「マーケット・リスクの最低所要自己資本」の概要」（2016 年 4 月）の「１―① 最終文書公表の経緯」（2 ページ）、「３－① 標準的方式と内部モデル方式の関係」の③（8 ページ）、「４－⑨ デスク・レベルでの検証（２）：バックテスト」（19 ページ）。 ↩

14. 「銀行法第十四条の二の規定に基づき、銀行がその保有する資産等に照らし自己資本の充実の状況が適当であるかどうかを判断するための基準」の第 275 条の 3 第 1 項、第 2 項、第 4 項（461〜462 ページ）。比べる期間を第 1 項は「直近二百五十営業日」、回数の基準の期間を第 4 項は「直近十二月」と書いています。 ↩

15. 「銀行法第十四条の二の規定に基づき、銀行がその保有する資産等に照らし自己資本の充実の状況が適当であるかどうかを判断するための基準」の第 1 条第 94 号（リスク理論損益。24 ページ）、第 275 条の 4 第 1 項（462 ページ）、第 275 条の 7（465 ページ）、第 275 条の 8（465〜466 ページ）。 ↩

16. 「銀行法第十四条の二の規定に基づき、銀行がその保有する資産等に照らし自己資本の充実の状況が適当であるかどうかを判断するための基準」の第 272 条の 6 第 10 号ロ（3）（四半期ごとの実施と分類の更新。443 ページ）、第 11 号（マーケット・リスク管理部署。443 ページ）、第 15 号（モデル検証部署。444 ページ）。 ↩ ↩²

17. 金融庁、日本銀行「「マーケット・リスクの最低所要自己資本」の概要」（2016 年 4 月）の「４－⑨ デスク・レベルでの検証（２）：バックテスト」（19 ページ）。 ↩

18. 日本銀行金融機構局 金融高度化センター「Ⅱ．市場リスクの把握と管理」（2012 年 6 月）の「バックテストの分析・活用」（44 ページ）と「ＶａＲ超過損失の発生原因・背景」（45 ページ）。 ↩ ↩²

19. 日本銀行金融機構局 金融高度化センター「Ⅱ．市場リスクの把握と管理」（2012 年 6 月）の「５．ＶａＲの補完とストレステスト」（46 ページ）。 ↩

20. 「銀行法第十四条の二の規定に基づき、銀行がその保有する資産等に照らし自己資本の充実の状況が適当であるかどうかを判断するための基準」の第 275 条の 9（466〜467 ページ）。損益要因分析テストでアンバー・ゾーンかレッド・ゾーンになったときも届け出ます。 ↩

21. 「銀行法第十四条の二の規定に基づき、銀行がその保有する資産等に照らし自己資本の充実の状況が適当であるかどうかを判断するための基準」の第 275 条の 10（467 ページ）。取り消せるのは、分類に使ったバックテストの超過と、損益要因分析テストの不合格の結果です。 ↩

22. 「銀行法第十四条の二の規定に基づき、銀行がその保有する資産等に照らし自己資本の充実の状況が適当であるかどうかを判断するための基準」の第 272 条の 7 第 2 項第 2 号（446 ページ）。 ↩