VaR

市場リスクを管理する部署は、持ち高のリスク量を VaR などで測り、決めた枠や損失限度と比べて取締役会に報告します¹。

VaR は何を表すか

市場リスクは、金利、為替、株価などの市場の値動きで、持っている資産や負債の価値が下がり、損失が出るリスクです²。値動きのもとになる金利や株価を、リスクファクター（持ち高の価値を動かす要因）といいます。VaR（バリュー・アット・リスク）は、この市場リスクの大きさを、損失の金額 1 つで表します。VaR を求めるには、次の 3 つを決めます³。

資産 A を 6 億円、資産 B を 4 億円持ち、保有期間 1 日、信頼水準 99% の VaR が 2,027 万円になる架空の例で考えます。これは、翌日の損失が 2,027 万円を超える確率を 1% と見積もったという意味です³。残りの 99% の日は、損失が 2,027 万円以内に収まるか、利益が出ます。100 営業日のうち 1 日ほどは、損失が 2,027 万円を超えると見込むことになります⁴。

日本銀行の研修資料と金融研究所の論文は VaR を「最大損失額」と呼びますが、VaR は損失の上限ではありません⁵。1% の確率で起きる、2,027 万円より大きな損失の大きさは、VaR だけでは一般には分かりません⁶。

分散共分散法の求め方

分散共分散法は、損益が正規分布に従うとして、損益の標準偏差に、信頼水準で決まる係数を掛けて VaR を求める方法です⁷。リスクファクターの値動きが正規分布に従い、値動きに対する持ち高の価値の感応度が一定である、つまり持ち高の価値が値動きに比例して変わる、と仮定します⁷⁸。

2 つの資産を持つときは、次の順に計算します。

1. 資産ごとに、1 日の損益の標準偏差を、持ち高 × 日次のボラティリティ（1 日の収益率の標準偏差）で求めます。
2. 2 つの標準偏差をそれぞれ 2 乗して足し、さらに「2 × 相関 × 2 つの標準偏差の積」を足して、全体の損益の分散を求めます⁹。
3. 分散の平方根をとり、全体の損益の標準偏差にします。
4. 標準偏差に信頼水準の係数を掛けます。

$$\text{VaR} = \text{信頼水準の係数} \times \text{損益の標準偏差}$$

信頼水準の係数は、標準正規分布でその確率より下に収まる点の値で、95% なら 1.645、97.5% なら 1.960、99% なら 2.326 です¹⁰。日本銀行の研修資料は、99% の係数を 2.33 に丸めて使っています⁷。相関は、2 つの資産の値動きがどれだけ同じ向きに動くかを −1 から 1 の値で表します。正規分布と相関の考え方は、確率・統計の基礎で扱います。

図 1 は、標準正規分布で、99% の係数 2.326 より下に入る確率が 1% であることを示しています。

図の説明

平均 0、標準偏差 1 の正規分布の確率密度を、損益を横軸にして描いた曲線です。曲線は 0 を中心に左右対称の釣り鐘の形をしています。−2.326 に縦の破線があり、これは 99% の係数 2.326 の位置です（損失の側なので符号は負です）。破線より左の損失の側の塗った面積が、確率 1% にあたります。損益が平均から標準偏差の 2.326 倍より大きく損をする確率は 1% で、VaR はその境目の損失の大きさを表すことが読み取れます。

深掘り2 つの資産のポートフォリオの損益の標準偏差

資産 A と資産 B の持ち高を $w_A$、$w_B$、日次のボラティリティを $\sigma_A$、$\sigma_B$、相関を $\rho$ とします。1 日の損益の分散は、2 つの確率変数の和の分散の式から、次のとおりです⁹。

$$\sigma_P^2 = (w_A \sigma_A)^2 + (w_B \sigma_B)^2 + 2 \rho \, (w_A \sigma_A)(w_B \sigma_B)$$

その平方根 $\sigma_P$ が損益の標準偏差で、信頼水準の係数 $z$ を掛けた $z \, \sigma_P$ が VaR です。資産が 3 つ以上なら、資産ごとの組み合わせをすべて足します。日本銀行の研修資料は、この計算を相関行列と分散共分散行列の掛け算で示しています¹¹。

計算例：資産 A と資産 B の VaR

資産 A を 6 億円（日次のボラティリティ 1.2%）、資産 B を 4 億円（同 0.8%）持ち、2 つの相関が 0.3 のとき、この例の信頼水準 99% の VaR は 2,027 万円です。6 億円は 60,000 万円、4 億円は 40,000 万円として計算します。

表の係数は、99% の係数を小数第 4 位まで出した 2.3263 です¹²。損益は平均 0 の正規分布として扱うため、同じ 1% の確率で、2,027 万円を超える利益も出ます。

資産ごとに VaR を求めると、資産 A は 2.3263 × 720 で 1,675 万円、資産 B は 2.3263 × 320 で 744 万円です。2 つを足すと 2,419 万円になり、全体の VaR の 2,027 万円より 393 万円大きくなります¹³。相関が 1 より小さいと、2 つの資産の損失が同じ日に重なるとは限らないため、全体の VaR は資産ごとの VaR の合計より小さくなります。日本銀行の研修資料の計算例でも、株式投信と国債の VaR の単純な合計より、相関を考えた VaR のほうが小さくなっています¹¹。

ヒストリカル法とモンテカルロ法の求め方

ヒストリカル法とモンテカルロ法は、1 日の損益を多数作って損失の大きい順に並べ、信頼水準に当たる順位の損失を VaR にします¹⁴。2 つの方法の違いは、損益を作るもとのデータです。

ヒストリカル法は、過去の観測期間の各日のリスクファクターの値動きが、明日も同じ確率で起きると仮定します¹⁵。今の持ち高に過去の各日の値動きを当てはめ、観測期間の日数と同じ数の損益を作ります¹⁵。250 日の観測期間なら損益は 250 個で、損失の大きい 1% は 250 × 1% = 2.5 個です。このサイトのシミュレーターは、損失の大きい順に 3 番目の損失を 99% の VaR にし、例の持ち高では 1,914 万円です¹⁶。

モンテカルロ法は、仮定した確率分布から乱数でリスクファクターの値動きを作り、持ち高の価値を計算し直して損益を作ります¹⁴。1 万個のシナリオなら、損失の大きい順に 100 番目の損失が 99% の VaR で、例では 2,023 万円です。持ち高の価値が値動きに比例し、分布に正規分布を仮定すると、モンテカルロ法の VaR は理論上、分散共分散法の VaR と一致します⁸。例の 2,023 万円が 2,027 万円からずれるのは、乱数で作ったシナリオの数に限りがあるためです。

3 つの方法の長所と短所

3 つの方法は、損益の分布をどう決めるかが違い、計算の手間と、捉えられる値動きの形が変わります¹⁷。どの方法にも制約があるため、持ち高のリスクの特徴に合った方法を選びます¹⁸。

裾が厚いとは、大きな損失が正規分布の想定より起きやすいことです。分散共分散法とモンテカルロ法は分布の形を仮定するため、仮定と実際の分布が違えば、VaR もずれます。

何によって VaR が変わるか

VaR は、信頼水準を上げるほど大きくなり、2 つの資産の相関を下げるほど小さくなります（2 つの資産をどちらも買っているとき）。資産 A と資産 B の例で、ほかの条件を変えずに 1 つずつ動かすと、分散共分散法の VaR は次のようになります。

相関が 1 のときの 2,419 万円は、資産ごとの VaR の合計と同じです。相関が低いほど、片方の損失をもう片方の利益が埋める日が増えるため、全体の VaR が小さくなります。

ヒストリカル法とモンテカルロ法の VaR は、使うデータによっても変わります。シミュレーターの乱数のシード（乱数の並びを決める出発の値）を 1〜5 に変えると、同じ分布から作ったデータでも、VaR は次のように振れます。

250 日のヒストリカル法は、損失の大きい数日で VaR が決まるため、1,653 万円から 2,166 万円まで振れます。1 万個のモンテカルロ法は 1,999 万円から 2,089 万円までで、分散共分散法の 2,027 万円の近くに集まります。実際の市場のデータで計測した例でも、観測期間が短いほど標本が少なく、ヒストリカル法の VaR の変動は大きくなります¹⁹。

VaR の使い方と分からないこと

金融機関では、取締役会が市場リスクに見合う資本を割り当て、市場リスク全体を VaR の枠で管理する例があります²⁰。債券の金利リスクや株式のリスクなど、リスクの種類ごとに、VaR の枠と、DV01 や残高の枠を組み合わせて使う例も示されています²⁰。リスク管理部門は、リスク量と枠への抵触の状況を取締役会に報告します¹。

VaR だけでは、その額を超えたときに損失がどれだけ大きくなるかは一般には分かりません。信頼水準 99% の VaR が同じ 2,027 万円でも、残りの 1% の日の損失が 2,100 万円で止まるか、5,000 万円に達するかは VaR からは分かりません⁶。超えたときの損失の平均を表す量は、期待ショートフォールで扱います。

VaR は過去のデータから統計の方法で推定した値で、観測期間に入っていないストレスの出来事には備えられません²¹。これまでにない市場の局面の変化が起きると、VaR は将来の損失を小さく見積もるおそれがあります²¹。そのため、過去や仮想の大きな値動きで損失を測るストレステストで補います²¹。VaR を超えた損失が信頼水準から見込む回数に収まっているかは、バックテストで確かめます⁴。

注

1. 日本銀行金融機構局 金融高度化センター「市場リスク管理態勢の整備」（2019 年 9 月）の「６．リスク管理部門の役割」（34 ページ）と「市場リスクの把握と報告」（35 ページ）。 ↩ ↩²

2. 日本銀行金融機構局 金融高度化センター「市場リスク管理態勢の整備」（2019 年 9 月）の「１．市場リスクとは」（3 ページ）。資料は金融検査マニュアルの定義として、資産・負債の価値が変動して損失を被るリスクに加え、資産・負債から生まれる収益が変動して損失を被るリスクも挙げています。 ↩

3. 日本銀行金融機構局 金融高度化センター「Ⅱ．市場リスクの把握と管理」（2012 年 6 月）の「３．ＶａＲによるリスク量の把握」（19 ページ）と「市場ＶａＲ（概念図）」（21 ページ）。概念図は、99% VaR について、将来の損失が VaR を超える確率を 1% としています。 ↩ ↩²

4. 日本銀行金融機構局 金融高度化センター「Ⅱ．市場リスクの把握と管理」（2012 年 6 月）の「４．バックテストによるＶａＲの検証」（39 ページ）。99% の信頼水準の VaR では、VaR を超える損失が出る確率を 100 回に 1 回としています。 ↩ ↩² ↩³

5. 日本銀行金融機構局 金融高度化センター「Ⅱ．市場リスクの把握と管理」（2012 年 6 月）19 ページと、安藤美孝「ヒストリカル法によるバリュー・アット・リスクの計測：市場価格変動の非定常性への実務的対応」（日本銀行金融研究所「金融研究」、2004 年 11 月）3 ページ。どちらも VaR を最大損失額と呼びます。 ↩

6. 山井康浩、吉羽要直「バリュー・アット・リスクのリスク指標としての妥当性について」（日本銀行金融研究所「金融研究」、2001 年 4 月）38〜39 ページ。損益が正規分布に従わない場合は、VaR だけを求めても、VaR を超える損失の大きさについての情報は一般には得られないとしています。正規分布に従う場合は、VaR を計算することでその情報が得られるとしています。 ↩ ↩² ↩³

7. 日本銀行金融機構局 金融高度化センター「Ⅱ．市場リスクの把握と管理」（2012 年 6 月）の「Ａ．分散共分散法」と「分散共分散法」（23〜24 ページ）。資料は 99% の VaR を、2.33 に感応度（デルタ）と標準偏差を掛けた値として示しています。 ↩ ↩² ↩³

8. 安藤美孝「ヒストリカル法によるバリュー・アット・リスクの計測：市場価格変動の非定常性への実務的対応」（日本銀行金融研究所「金融研究」、2004 年 11 月）の「イ．分散共分散法」と「ロ．モンテカルロ法」（4 ページ）。 ↩ ↩²

9. 産業技術総合研究所「期待値・分散の定義および演算」の「平均値（期待値）・分散の演算」。2 つの確率変数の和の分散が、それぞれの分散と共分散の 2 倍の和になることを示しています。共分散は、相関と 2 つの標準偏差の積です。 ↩ ↩²

10. National Institute of Standards and Technology「Cumulative Distribution Function of the Standard Normal Distribution」（e-Handbook 1.3.6.7.1）の臨界値の表。累積確率 0.950、0.975、0.990 の臨界値は 1.645、1.960、2.326。 ↩

11. 日本銀行金融機構局 金融高度化センター「Ⅱ．市場リスクの把握と管理」（2012 年 6 月）の「分散共分散法（デルタ法）の計算例」（30 ページ）。株式投信と国債の単独の VaR の単純な合計 10.99 に対し、相関を考えた VaR は 8.35 です。 ↩ ↩²

12. 2.3263 は、注の NIST の表の「Area under the Normal Curve from 0 to X」で、0 から 2.32 までの面積 0.48983 と 2.33 までの 0.49010 の間を、0.49 になる点まで直線で按分した値です。シミュレーターは丸めない係数で計算し、画面の値は万円未満を四捨五入しています。 ↩

13. 丸める前の値の差（2.3263 × 1,040 = 2,419.35 から 2.3263 × 871.23 = 2,026.74 を引いた 392.61）を、万円未満で四捨五入した値です。表の丸めた値どうしの差は 392 万円です。 ↩

14. 日本銀行金融機構局 金融高度化センター「Ⅱ．市場リスクの把握と管理」（2012 年 6 月）31〜32、36〜37 ページ。信頼水準に当たるパーセンタイル値から VaR を求めるとしています。手順は、安藤美孝「ヒストリカル法によるバリュー・アット・リスクの計測：市場価格変動の非定常性への実務的対応」（2004 年 11 月）5〜6 ページ。 ↩ ↩²

15. 安藤美孝「ヒストリカル法によるバリュー・アット・リスクの計測：市場価格変動の非定常性への実務的対応」（日本銀行金融研究所「金融研究」、2004 年 11 月）の「（1）ヒストリカル法によるVaRの算出手順」（5〜6 ページ）。 ↩ ↩²

16. 何番目の損失を VaR にするかは、決め方によって違います。シミュレーターは、損失を大きい順に並べて、日数 × (1 − 信頼水準) を切り上げた順位（250 日なら 3 番目）の損失を使います。金融研究所の論文（安藤、2004 年 11 月）の「標本分位点法」は、(日数 + 1) × (1 − 信頼水準) 番目を使い、整数でないときは前後の 2 つの損益を直線で按分します（6 ページ）。 ↩

17. 日本銀行金融機構局 金融高度化センター「Ⅱ．市場リスクの把握と管理」（2012 年 6 月）23、31、33（留意事項③）、36 ページ。分散共分散法がシミュレーションを要さずオプションに向かない点は、安藤美孝「ヒストリカル法によるバリュー・アット・リスクの計測」（2004 年 11 月）4 ページ。 ↩

18. 日本銀行金融機構局 金融高度化センター「Ⅱ．市場リスクの把握と管理」（2012 年 6 月）の「市場ＶａＲの計測手法」（22 ページ）。 ↩

19. 安藤美孝「ヒストリカル法によるバリュー・アット・リスクの計測：市場価格変動の非定常性への実務的対応」（日本銀行金融研究所「金融研究」、2004 年 11 月）の図表 4 の説明（9〜10 ページ）。250、500、750 営業日の観測期間で計測した VaR を比べています。 ↩

20. 日本銀行金融機構局 金融高度化センター「市場リスク管理態勢の整備」（2019 年 9 月）の「市場リスク全体枠：設定の考え方」（16 ページ）と「留意事項：各種リスク枠の設定」（19 ページ）。資料は DV01 に当たる量を BPV と呼んでいます。 ↩ ↩²

21. 日本銀行金融機構局 金融高度化センター「Ⅱ．市場リスクの把握と管理」（2012 年 6 月）の「５．ＶａＲの補完とストレステスト」（46〜47 ページ）、ストレスシナリオの例（48 ページ）と「留意事項④」（38 ページ）。48 ページは、過去のショックの値動きをそのまま使うシナリオと、将来ありうる値動きを想定するシナリオを挙げています。 ↩ ↩² ↩³