金利平価と先物為替相場

為替予約の先物相場がなぜその水準になるかを確かめるときと、為替スワップでドルを調達する費用が金利平価からどれだけずれているかを見るときに、この関係を使います。外貨建て資産の為替ヘッジの費用（ヘッジコスト）を考える前提にもなります。

先物相場は預金の組み合わせで作れる

先物相場は、今の相場（直物相場）で通貨を交換し、受渡日まで預金しておく費用で決まります。

取引の成立から受け渡しまでの期間が 2 営業日以外の取引に使う相場はフォワード相場と呼ばれ、スポット相場と区別されます。フォワード相場は、取引の期間にそれぞれの通貨で得られる金利によって決まります¹。このサイトでは、スポット相場を直物相場、フォワード相場を先物相場と呼びます。

直物相場が 1 ドル 150.00 円、180 日の円の金利が年 0.50%、米ドルの金利が年 4.50% の架空の例で考えます。180 日後に 100 万ドルを受け取る約束は、今日の次の 3 つの取引で作れます。

表の金額は受け取りを正、支払いを負で示しています²。今日の受け払いは円もドルも差し引き 0 で、180 日後に 147,060,991 円を払って 100 万ドルを受け取ります。これは 1 ドルを 147.061 円で買う約束と同じ結果です。そのため、180 日後に受け渡す先物相場は 147.061 円になります。この考え方は、先渡取引の価格を現物の価格と保有のコストで求める保有コストモデルを、通貨に当てはめたものです。言い換えると、先物相場は、円のまま運用した結果とドルに換えて運用した結果が同じになる相場です³。保有コストモデルは先渡しと先物で扱います。

手元に 146,699,267 円があるとして、同じ 180 日の運用を 2 つの経路で並べると、図 1 のとおりです。図の 147,060,991 円は、先物相場を四捨五入前の 147.060991 円として計算した値で、147.061 円に 100 万ドルを掛けた 147,061,000 円とは端数の 9 円だけ違います。

図の説明

同じ 180 日の運用を、円のまま預ける経路と、ドルに換えて預ける経路で並べた手順の図です。入口の数値は、手元の 146,699,267 円、直物 150.00 円、円の金利 0.50%、ドルの金利 4.50% で、ドルに換えると 977,995 ドル、先物相場は 147.061 円です。ドルに換える経路では、ドルを預けるのと同時に、満期の 100 万ドルを先物相場で売る約束を結びます。180 日後に受け取る円は、どちらの経路も 147,060,991 円で同じです。2 つの経路の結果が同じになる先物相場が、金利平価の式の値です。

将来の決めた日に決めた相場で通貨を受け渡す取引を為替予約といいます。

金利平価の式と日数の慣行

先物相場を直物相場と 2 つの通貨の金利で表した関係を、金利平価（カバー付き金利平価）といいます。前の節の組み合わせを式にすると、先物相場は次のとおりです。

$$F = S \times \frac{1 + r_{\text{JPY}} \times d / 365}{1 + r_{\text{USD}} \times d / 360}$$

$S$ は直物相場、$F$ は先物相場（どちらも 1 ドルあたりの円）、$r_{\text{JPY}}$ と $r_{\text{USD}}$ はそれぞれ円とドルの年率の金利、$d$ は期間の日数です。分子は円を $d$ 日借りたときに返す額の倍率、分母はドルを $d$ 日預けたときに受け取る額の倍率です。同じ形の式は、ユーロとドルの為替スワップの分析でも金利平価として使われています⁴。

2 つの通貨で 1 年の日数が違うのは、短期金融市場の日数計算の慣行に合わせるためです。米ドルの短期金融市場の慣行では、実際の日数を数え、1 年を 360 日として利息を計算します⁵。円では、日本円の OIS（オーバーナイト・インデックス・スワップ）の変動金利の計算で、無担保コール O/N 物レート（TONA）を適用する期間を、実際の日数を 365 日で割って年に直しています⁶。

日数の慣行が違うため、円とドルの金利が同じ数値でも、先物相場は直物相場と同じになりません。円とドルの金利がどちらも年 3.00% なら、360 日で割るドルの利息のほうが多く、先物相場は直物相場より円高になります。先物相場が直物相場と一致するのは、ドルの金利が円の金利の 360 ÷ 365 倍のときです。

深掘り金利の差で表す近似の式

金利平価の式の両辺を直物相場で割って 1 を引き、金利と日数を掛けた値が小さいとして近似すると、先物相場と直物相場の差の割合は、2 つの通貨の期間の金利の差にほぼ等しくなります。

$$\frac{F - S}{S} \approx r_{\text{JPY}} \times \frac{d}{365} - r_{\text{USD}} \times \frac{d}{360}$$

両辺の自然対数をとっても同じ近似になり、為替スワップの直物と先物の差を年率に直したものは、2 つの通貨の金利の差と解釈できます⁴。直物 150.00 円、円 0.50%、ドル 4.50%、180 日の例では、近似の式による差は 150.00 × (0.002466 − 0.022500) で −3.005 円です。正確な式の −2.939 円より絶対値で 0.066 円大きくなります。近似の誤差は、金利の条件が同じなら期間が長いほど大きくなり、この例の条件で 90 日なら 0.017 円、360 日なら 0.259 円です。そのため、計算例とシミュレーターは近似の式ではなく正確な式を使っています。

計算例：180 日の先物相場

直物相場 150.00 円、円の金利 0.50%、ドルの金利 4.50%、期間 180 日では、先物相場は 147.061 円です。途中の値は次のとおりです。

先物相場と直物相場の差をフォワード・ポイントといいます。フォワード・ポイントは 2 つの通貨の金利の差を反映した値で、別名を直先スプレッドやスワップポイントといいます⁷。この例では、ドル円のフォワード・ポイントを銭（1 円の 100 分の 1）で表します。直先スプレッドを 30 銭のように銭で表す例もあります⁸。この例のフォワード・ポイントは −2.939 円、つまり −293.90 銭です⁹。

年率は、フォワード・ポイントを直物相場で割り、1 年の日数と期間の日数の比を掛けて求めます。この例の年率は、1 年を 365 日として −3.97% です。円の金利 0.50% と、ドルの金利を 365 日に直した 4.5625% の差（−4.0625%）に近い値です。2 つが一致しないのは、年率がドルの預金の倍率 1.0225 で割った後の値だからです。

フォワード・ポイントの符号

ドルの金利が円の金利より高いと、先物相場は直物相場より円高・ドル安になります。ドル円の先物相場が直物相場よりドル安・円高のときをドル・ディスカウント、その逆をドル・プレミアムと呼びます¹。計算例のフォワード・ポイントがマイナスなのは、ドルの金利 4.50% が円の金利 0.50% より高く、ドル・ディスカウントになっているためです。

先物相場は、市場参加者が将来の直物相場をどう見ているかを表す値ではありません。実際には、通貨が将来高くなるか安くなるかという思惑ではなく、2 つの通貨の金利の差から求めた直先スプレッドを直物相場に加減して決まります。例外的な時期を除いてドルの金利が円の金利より高かったため、ドル円の先物相場はほぼ常に直物相場より円高・ドル安の水準にありました⁷。外貨建て資産の為替をヘッジするときの費用（ヘッジコスト）は、機関投資家の運用で出てきます。

金利と期間で先物相場がどう変わるか

先物相場と直物相場の差は、2 つの通貨の金利の差が大きいほど、期間が長いほど大きくなります。計算例の条件で期間だけを 360 日に延ばすと、先物相場は 144.249 円、フォワード・ポイントは −575.15 銭で、180 日の 2 倍近くに広がります。円の金利を、1 年の日数をそろえたドルの金利（ドルの金利 × 365 ÷ 360）より高くすると、フォワード・ポイントはプラス（ドル・プレミアム）に変わります。

先物相場が式の値からずれたときの裁定

市場の先物相場が金利平価の式の値から離れると、預金と為替予約を組み合わせて、為替相場の動きによらない利益を得られる取引（裁定取引）ができます。直先スプレッドを年率に直した値が金利の差と一致しているとき、金利平価が成立しているといいます。一致しないときは直物と先物の売買が増えて差が縮まるため、通常は金利平価が成り立ちます⁸。

計算例の条件で、ある銀行の 180 日の先物相場だけが式の値の 147.061 円からずれていたとします。どちらの向きにずれても、100 万ドルあたり次の差が残ります。

146.50 円の場合は、予約で受け取る 100 万ドルを、借りたドルの返済（元本と利息で 100 万ドル）に充てます。147.50 円の場合は、ドルの預金の満期で受け取る 100 万ドルを、予約で売り渡します。どちらも今日の受け払いは差し引き 0 です。

ただし、この利益が得られるのは、表の金利で借りたり預けたりでき、取引の相手が約束を守る場合です。裁定で説明できないずれが残る原因には、ドルの資金市場の流動性が落ちて裁定に使うドルを十分に集められないこと、金利に表れない取引の相手の信用リスクがあること、取引の手数料、測定の誤差があります¹¹。

金利平価からのずれ：通貨ベーシス

為替スワップは、直物と先物の受け渡しを逆の向きに同時に行う取引です。為替スワップで円などを担保にドルを調達するとき、ドルの市場の金利に上乗せされる幅を、ドル資金調達プレミアムと呼びます¹²。金利平価からのずれは、この正の幅（ドル資金調達プレミアム）と、符号付きの値（通貨ベーシス）の 2 通りで表します。

計算例の条件で、市場の先物相場が 147.061 円ではなく 146.881 円（フォワード・ポイント −311.90 銭）だったとします。円を 0.50% で借り、直物でドルを買い、180 日後にドルを 146.881 円で売る為替スワップを結びます。これはドルを年 4.75% で借りたのと同じ費用です（150.00 × 1.002466 ÷ 146.881 − 1 を 360 ÷ 180 倍した 4.7506% を、小数第 2 位に丸めた値）。ドルの市場の金利 4.50% との差の 0.25%（25bp）が、この例のドル資金調達プレミアムです。

同じずれを、円などの側の金利に足す符号付きの値で表したものが通貨ベーシスです。この例で、先物相場 146.881 円が金利平価の式の値と一致するように円の金利を置き換えます。すると 0.50% に約 −0.25%（−25bp）を足した値になります（150.00 × (1 ＋ 円の金利 × 180 ÷ 365) ÷ 1.0225 ＝ 146.881 を解いた値）。ドルの調達が割高なとき、円などの側から見た通貨ベーシスはマイナスになり、ドル資金の需要が強いほどマイナスの側に大きくなります¹³¹²。通貨ベーシスは通貨スワップの金利の建値にも使われます。どの通貨の金利にどう付けるかは通貨スワップで扱います。

為替スワップの市場とドルの資金市場の間で分断がなく、参加者の信用リスクに偏りがないといった条件の下では、裁定によってドル資金調達プレミアムは理論的に 0 になります。プレミアムが大きく広がるのは、信用リスクへの警戒が強まっているか、市場の分断が生じているときです¹²。プレミアムが広がった時期と、その背景は次のとおりです¹⁴。

2014 年以降の広がりでは、それまでの危機のときと違い、信用リスクの指標の上昇はみられていません¹⁴。2014 年半ばごろからは、為替スワップ市場などで四半期末にドルの調達金利が上がる傾向もみられ、その背景には米国や欧州などの銀行のレバレッジ比率規制への対応があります¹⁵。2020 年春に国際金融市場が不安定になったときには、ドルの調達コストが大きく上昇しました。ドルに対する通貨ベーシスは、日本円や欧州の通貨ではマイナス、豪ドルやニュージーランド・ドルではプラスで推移してきました¹³。

注

1. 日本銀行「「外国為替市況」の解説」の「（参考）「時系列統計データ検索サイト」に過去計数のみ掲載の項目」の「1. 3ヶ月フォワード・スプレッド」。 ↩ ↩²

2. 金額は 1 円、1 ドル未満を四捨五入しています。計算は四捨五入の前の値で行っています（ドルの預金は 977,995.11 ドル、円の借入は 146,699,266.50 円）。 ↩

3. 公益財団法人 国際通貨研究所「直先スプレッドと先物相場の算出方法」。資料の例は、直物 1 ドル 112 円、3 か月の円の金利 0.01%、ドルの金利 1.1% で、期間を 3 ÷ 12 年として先物相場を 111.70 円と求めています。 ↩

4. 日本銀行「為替スワップを利用した米ドル資金の調達コストの動向について」（日銀レビュー、2012 年 3 月）の脚注 2（7 ページ）。ユーロとドルの為替スワップの式で、どちらの金利も 1 年を 360 日としています。 ↩ ↩²

5. Federal Reserve Bank of New York「Additional Information about Reference Rates Administered by the New York Fed」の SOFR Averages and Index の説明。 ↩

6. リスク・フリー・レートに関する勉強会「日本円ＯＩＳ（Overnight Index Swap）─取引の概要と活用事例─」（2018 年 4 月）の「基本的な取引方式」の変動金利の計算方法（5 ページ）。無担保コール O/N 物レートを適用する期間を「実日数（カレンダー上の日数）/365 日」としています。 ↩

7. 公益財団法人 国際通貨研究所「直先スプレッドと先物相場の算出方法」の冒頭の段落。 ↩ ↩²

8. 公益財団法人 国際通貨研究所「金利平価」。直物 1 ドル 112 円、3 か月の先物相場 111.70 円の例で、直先スプレッドを 30 銭（▲0.30 円）とし、年率に直した 1.07% がドルと円の金利の差の 1.09% とほぼ一致するとしています。 ↩ ↩²

9. フォワード・ポイントと年率は、四捨五入の前の先物相場（147.060991 円）から求めています。 ↩

10. 日本銀行「「外国為替市況」の解説」の「1. 3ヶ月フォワード・スプレッド」。計算式は「年率＝スプレッド×（360÷日数）÷スポット相場（1年＝360日で換算）」です。この項目は、時系列統計データ検索サイトに過去の計数だけを載せている項目として説明されています。 ↩

11. 日本銀行「為替スワップを利用した米ドル資金の調達コストの動向について」（日銀レビュー、2012 年 3 月）の脚注 4（7 ページ）。 ↩

12. 日本銀行「グローバルな為替スワップ市場の動向について」（日銀レビュー、2016 年 7 月）の要旨（1 ページ）、「最近のドル資金調達プレミアム拡大」（1〜2 ページ）と図表 1。要旨はドル LIBOR に上乗せされる幅をドル資金調達プレミアムとし、同じ幅を節の本文と図表 1 の題で通貨ベーシスとも呼んでいます。 ↩ ↩² ↩³

13. 日本銀行金融市場局「店頭デリバティブ取引データからみた通貨スワップ市場：感染症拡大の影響とその後の回復を中心に」（日銀レビュー、2021 年 5 月）の「はじめに」（1 ページ）と「通貨スワップ取引の概要」（2 ページ）。通貨ベーシスがドルの調達プレミアムに相当し、通貨ベーシス（資料の記号は α）が負なら相対的にドル資金需要が強いとしています。 ↩ ↩²

14. 日本銀行「グローバルな為替スワップ市場の動向について」（日銀レビュー、2016 年 7 月）の要旨（1 ページ）と「最近のドル資金調達プレミアム拡大」（2 ページ）。 ↩ ↩²

15. 日本銀行「グローバルな為替スワップ市場の動向について」（日銀レビュー、2016 年 7 月）の「ドル資金市場でのマーケットメイク活動」（4 ページ）。 ↩

16. 日本銀行「為替スワップを利用した米ドル資金の調達コストの動向について」（日銀レビュー、2012 年 3 月）の「はじめに」（1 ページ）、「ドル転コストの構成要素」（2 ページ）、脚注 1・2（7 ページ）。資料は、ユーロ圏の金融機関から見たドル転の費用を「ユーロ調達金利＋為替スワップのコスト（β）」と表しています。 ↩